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1. 下列二次根式中，无论$x$取什么值都有意义的是（
A.$\sqrt{x^2 -5}$
B.$\sqrt{-x -5}$
C.$\sqrt{x}$
D.$\sqrt{x^2 +1}$
D
）A.$\sqrt{x^2 -5}$
B.$\sqrt{-x -5}$
C.$\sqrt{x}$
D.$\sqrt{x^2 +1}$
答案
1.D
解析
【分析】
要解决本题，首先要明确二次根式有意义的核心条件：被开方数必须是非负数（即大于等于0）。我们的解题思路是逐个分析每个选项的被开方数，判断其是否对任意实数x都满足非负的要求，排除不符合的选项后即可得到正确答案。
【解析】
二次根式有意义的条件为：被开方数≥0，据此逐一分析选项：
A. 被开方数为$x^2-5$，当$|x|＜\sqrt{5}$时，$x^2-5＜0$，此时二次根式无意义，不符合要求；
B. 被开方数为$-x-5$，当$x＞-5$时，$-x-5＜0$，此时二次根式无意义，不符合要求；
C. 被开方数为$x$，当$x＜0$时，二次根式无意义，不符合要求；
D. 被开方数为$x^2+1$，由于任意实数的平方都具有非负性，即$x^2≥0$，因此$x^2+1≥1＞0$，对任意x都满足被开方数为非负数，该二次根式始终有意义，符合要求。
【答案】
D
【知识点】
二次根式有意义的条件；平方的非负性
【点评】
本题是二次根式相关的基础题型，核心考查对二次根式有意义条件的理解和应用，解题时结合平方数的非负性逐一排查选项即可快速求解。
【难度系数】
0.9
要解决本题，首先要明确二次根式有意义的核心条件：被开方数必须是非负数（即大于等于0）。我们的解题思路是逐个分析每个选项的被开方数，判断其是否对任意实数x都满足非负的要求，排除不符合的选项后即可得到正确答案。
【解析】
二次根式有意义的条件为：被开方数≥0，据此逐一分析选项：
A. 被开方数为$x^2-5$，当$|x|＜\sqrt{5}$时，$x^2-5＜0$，此时二次根式无意义，不符合要求；
B. 被开方数为$-x-5$，当$x＞-5$时，$-x-5＜0$，此时二次根式无意义，不符合要求；
C. 被开方数为$x$，当$x＜0$时，二次根式无意义，不符合要求；
D. 被开方数为$x^2+1$，由于任意实数的平方都具有非负性，即$x^2≥0$，因此$x^2+1≥1＞0$，对任意x都满足被开方数为非负数，该二次根式始终有意义，符合要求。
【答案】
D
【知识点】
二次根式有意义的条件；平方的非负性
【点评】
本题是二次根式相关的基础题型，核心考查对二次根式有意义条件的理解和应用，解题时结合平方数的非负性逐一排查选项即可快速求解。
【难度系数】
0.9
2.若式子$\frac{\sqrt{m-1}}{m+2}$在实数范围内有意义，则$m$的取值范围是
$m≥1$
。答案
2.$m≥1$
解析
【分析】
要确定式子有意义时m的取值范围，需结合代数式的结构分别列限制条件：首先二次根式的被开方数必须是非负数，其次分式的分母不能为0，分别解出两个限制条件对应的m的范围，再取公共部分即可得到最终取值范围。
【解析】
若$\frac{\sqrt{m-1}}{m+2}$在实数范围内有意义，需同时满足两个条件：
1. 二次根式的被开方数非负：$m-1≥0$，解得$m≥1$；
2. 分式的分母不为0：$m+2≠0$，解得$m≠-2$。
由于$m≥1$的取值范围已经满足$m≠-2$，因此m的取值范围是$m≥1$。
【答案】
$m≥1$
【知识点】
二次根式有意义的条件；分式有意义的条件
【点评】
本题属于基础概念题，解题关键是明确含二次根式的分式有意义的双重限制条件，易错点是部分同学会遗漏分母不为0的要求，本题中两个限制条件的公共部分仅需保留更严格的$m≥1$即可。
【难度系数】
0.9
要确定式子有意义时m的取值范围，需结合代数式的结构分别列限制条件：首先二次根式的被开方数必须是非负数，其次分式的分母不能为0，分别解出两个限制条件对应的m的范围，再取公共部分即可得到最终取值范围。
【解析】
若$\frac{\sqrt{m-1}}{m+2}$在实数范围内有意义，需同时满足两个条件：
1. 二次根式的被开方数非负：$m-1≥0$，解得$m≥1$；
2. 分式的分母不为0：$m+2≠0$，解得$m≠-2$。
由于$m≥1$的取值范围已经满足$m≠-2$，因此m的取值范围是$m≥1$。
【答案】
$m≥1$
【知识点】
二次根式有意义的条件；分式有意义的条件
【点评】
本题属于基础概念题，解题关键是明确含二次根式的分式有意义的双重限制条件，易错点是部分同学会遗漏分母不为0的要求，本题中两个限制条件的公共部分仅需保留更严格的$m≥1$即可。
【难度系数】
0.9
3. 下列计算正确的是 （
A.$\sqrt{2^2}=2$
B.$\sqrt{(-2)^2}=-2$
C.$\sqrt{2^2}=\pm2$
D.$\sqrt{(-2)^2}=\pm2$
A
）A.$\sqrt{2^2}=2$
B.$\sqrt{(-2)^2}=-2$
C.$\sqrt{2^2}=\pm2$
D.$\sqrt{(-2)^2}=\pm2$
答案
3.A
解析
【分析】
本题考查算术平方根的相关计算，解题核心是明确算术平方根的非负性：符号$\sqrt{a}$表示的是$a$的算术平方根，当$a≥0$时，其运算结果一定是非负数。解题时可先计算每个选项中根号内的乘方结果，再根据算术平方根的定义求出化简结果，逐一比对选项判断正误即可。
【解析】
根据算术平方根的定义：非负数$a$的算术平方根$\sqrt{a}$的运算结果为非负数，逐一分析选项：
A选项：先计算根号内的乘方：$2^2=4$，4的算术平方根是2，即$\sqrt{2^2}=\sqrt{4}=2$，该选项计算正确；
B选项：先计算根号内的乘方：$(-2)^2=4$，4的算术平方根是2，即$\sqrt{(-2)^2}=\sqrt{4}=2≠-2$，该选项计算错误；
C选项：$\sqrt{2^2}=\sqrt{4}=2$，算术平方根只有唯一的非负结果，不存在$\pm2$的情况，该选项计算错误；
D选项：$\sqrt{(-2)^2}=\sqrt{4}=2$，算术平方根结果非负，不存在$\pm2$的情况，该选项计算错误。
综上，计算正确的是A选项。
【答案】
A
【知识点】
算术平方根的定义，二次根式的化简
【点评】
本题属于基础概念题，易错点是混淆算术平方根和平方根的概念，需注意只有符号为$\pm\sqrt{a}$时才是求$a$的平方根，结果有正负两个，单独的$\sqrt{a}$求的是算术平方根，结果仅为非负数。
【难度系数】
0.8
本题考查算术平方根的相关计算，解题核心是明确算术平方根的非负性：符号$\sqrt{a}$表示的是$a$的算术平方根，当$a≥0$时，其运算结果一定是非负数。解题时可先计算每个选项中根号内的乘方结果，再根据算术平方根的定义求出化简结果，逐一比对选项判断正误即可。
【解析】
根据算术平方根的定义：非负数$a$的算术平方根$\sqrt{a}$的运算结果为非负数，逐一分析选项：
A选项：先计算根号内的乘方：$2^2=4$，4的算术平方根是2，即$\sqrt{2^2}=\sqrt{4}=2$，该选项计算正确；
B选项：先计算根号内的乘方：$(-2)^2=4$，4的算术平方根是2，即$\sqrt{(-2)^2}=\sqrt{4}=2≠-2$，该选项计算错误；
C选项：$\sqrt{2^2}=\sqrt{4}=2$，算术平方根只有唯一的非负结果，不存在$\pm2$的情况，该选项计算错误；
D选项：$\sqrt{(-2)^2}=\sqrt{4}=2$，算术平方根结果非负，不存在$\pm2$的情况，该选项计算错误。
综上，计算正确的是A选项。
【答案】
A
【知识点】
算术平方根的定义，二次根式的化简
【点评】
本题属于基础概念题，易错点是混淆算术平方根和平方根的概念，需注意只有符号为$\pm\sqrt{a}$时才是求$a$的平方根，结果有正负两个，单独的$\sqrt{a}$求的是算术平方根，结果仅为非负数。
【难度系数】
0.8
4.若实数$x$、$y$满足$\sqrt{2x-1}+2(y-1)^2=0$，则$x+y$的值等于（
A.1
B.$\frac{3}{2}$
C.2
D.$\frac{5}{2}$
B
）A.1
B.$\frac{3}{2}$
C.2
D.$\frac{5}{2}$
答案
4.B
解析
【分析】
首先回忆非负数的相关性质：算术平方根、偶次幂都属于非负数，若两个非负数的和为0，则这两个非负数各自都等于0。解题时先根据这个性质分别列出关于x和y的方程，求解得到x、y的值后，代入计算x+y即可得到结果。
【解析】
解：
∵ $\sqrt{2x-1} ≥ 0$，$2(y-1)^2 ≥ 0$，且二者的和为0
∴ 两个非负项均为0，即：
$\begin{cases}2x - 1 = 0 \\y - 1 = 0\end{cases}$
解得：$\begin{cases}x = \frac{1}{2} \\y = 1\end{cases}$
∴ $x + y = \frac{1}{2} + 1 = \frac{3}{2}$
故选B。
【答案】
B
【知识点】
非负数的性质、二次根式的非负性、偶次方的非负性
【点评】
本题考查非负数性质的基础应用，解题核心是明确“若干个非负数的和为0时，每个非负数的值均为0”，计算难度低，是基础类常考题。
【难度系数】
0.8
首先回忆非负数的相关性质：算术平方根、偶次幂都属于非负数，若两个非负数的和为0，则这两个非负数各自都等于0。解题时先根据这个性质分别列出关于x和y的方程，求解得到x、y的值后，代入计算x+y即可得到结果。
【解析】
解：
∵ $\sqrt{2x-1} ≥ 0$，$2(y-1)^2 ≥ 0$，且二者的和为0
∴ 两个非负项均为0，即：
$\begin{cases}2x - 1 = 0 \\y - 1 = 0\end{cases}$
解得：$\begin{cases}x = \frac{1}{2} \\y = 1\end{cases}$
∴ $x + y = \frac{1}{2} + 1 = \frac{3}{2}$
故选B。
【答案】
B
【知识点】
非负数的性质、二次根式的非负性、偶次方的非负性
【点评】
本题考查非负数性质的基础应用，解题核心是明确“若干个非负数的和为0时，每个非负数的值均为0”，计算难度低，是基础类常考题。
【难度系数】
0.8
5. 一次函数 $ y = -mx + n $ 的图象经过第二、三、四象限，则化简 $ \sqrt{(m - n)^2} + \sqrt{n^2} $ 所得的结果是（
A.$ m $
B.$ -m $
C.$ 2m - n $
D.$ m - 2n $
D
）A.$ m $
B.$ -m $
C.$ 2m - n $
D.$ m - 2n $
答案
5.D
解析
【分析】
解题需分两步走：第一步先结合一次函数图象经过的象限，利用一次函数y=kx+b的图象与系数的对应关系，判断出m、n的正负性；第二步根据二次根式的性质$\sqrt{a^2}=|a|$，先判断绝对值内代数式的正负，再去绝对值合并同类项即可得到化简结果。
【解析】
1. 确定m、n的符号：
∵一次函数$ y = -mx + n $的图象经过第二、三、四象限
∴一次项系数$-m＜0$，常数项$n＜0$
解得：$m＞0$，$n＜0$
2. 判断绝对值内式子的正负：
∵$m＞0$，$n＜0$，
∴$m-n=m+|n|＞0$
3. 化简原式：
根据二次根式性质$\sqrt{a^2}=|a|$可得：
$\sqrt{(m - n)^2} + \sqrt{n^2}=|m-n|+|n|$
∵$m-n＞0$，$n＜0$，
∴$|m-n|=m-n$，$|n|=-n$
代入得：原式$=(m-n)+(-n)=m-2n$
【答案】
D
【知识点】
一次函数图象性质，二次根式化简，绝对值运算
【点评】
本题是一次函数与二次根式化简的基础综合题，核心考点是一次函数图象与系数的对应关系、二次根式的化简规则，只要掌握两个知识点的基本应用就能顺利解题。
【难度系数】
0.7
解题需分两步走：第一步先结合一次函数图象经过的象限，利用一次函数y=kx+b的图象与系数的对应关系，判断出m、n的正负性；第二步根据二次根式的性质$\sqrt{a^2}=|a|$，先判断绝对值内代数式的正负，再去绝对值合并同类项即可得到化简结果。
【解析】
1. 确定m、n的符号：
∵一次函数$ y = -mx + n $的图象经过第二、三、四象限
∴一次项系数$-m＜0$，常数项$n＜0$
解得：$m＞0$，$n＜0$
2. 判断绝对值内式子的正负：
∵$m＞0$，$n＜0$，
∴$m-n=m+|n|＞0$
3. 化简原式：
根据二次根式性质$\sqrt{a^2}=|a|$可得：
$\sqrt{(m - n)^2} + \sqrt{n^2}=|m-n|+|n|$
∵$m-n＞0$，$n＜0$，
∴$|m-n|=m-n$，$|n|=-n$
代入得：原式$=(m-n)+(-n)=m-2n$
【答案】
D
【知识点】
一次函数图象性质，二次根式化简，绝对值运算
【点评】
本题是一次函数与二次根式化简的基础综合题，核心考点是一次函数图象与系数的对应关系、二次根式的化简规则，只要掌握两个知识点的基本应用就能顺利解题。
【难度系数】
0.7
6.(郑州市第四中学月考)下列根式中,不是最简二次根式的是 (
A.$\sqrt{8}$
B.$\sqrt{10}$
C.$\sqrt{6}$
D.$\sqrt{2}$
A
)A.$\sqrt{8}$
B.$\sqrt{10}$
C.$\sqrt{6}$
D.$\sqrt{2}$
答案
6.A
解析
【分析】
解题前首先要明确最简二次根式的两个判定条件：①被开方数的因数是整数，因式是整式；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。我们只需要逐个验证四个选项是否符合上述两个条件，不符合条件的选项即为本题答案。
【解析】
根据最简二次根式的判定规则，对各选项逐一分析：
A选项：$\sqrt{8}$的被开方数8可拆分为$4×2$，其中4是可以开得尽方的因数（$\sqrt{4}=2$），因此$\sqrt{8}=2\sqrt{2}$，不属于最简二次根式，符合题意；
B选项：$\sqrt{10}$的被开方数10分解因数为$2×5$，2和5均不能开得尽方，属于最简二次根式，不符合题意；
C选项：$\sqrt{6}$的被开方数6分解因数为$2×3$，2和3均不能开得尽方，属于最简二次根式，不符合题意；
D选项：$\sqrt{2}$的被开方数2是质数，不能开得尽方，属于最简二次根式，不符合题意。
【答案】
A
【知识点】
最简二次根式的判定；二次根式化简
【点评】
本题是基础考查题，核心是对最简二次根式定义的理解，只要牢记判定条件，正确分解被开方数的因数，就能快速得出答案。
【难度系数】
0.9
解题前首先要明确最简二次根式的两个判定条件：①被开方数的因数是整数，因式是整式；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。我们只需要逐个验证四个选项是否符合上述两个条件，不符合条件的选项即为本题答案。
【解析】
根据最简二次根式的判定规则，对各选项逐一分析：
A选项：$\sqrt{8}$的被开方数8可拆分为$4×2$，其中4是可以开得尽方的因数（$\sqrt{4}=2$），因此$\sqrt{8}=2\sqrt{2}$，不属于最简二次根式，符合题意；
B选项：$\sqrt{10}$的被开方数10分解因数为$2×5$，2和5均不能开得尽方，属于最简二次根式，不符合题意；
C选项：$\sqrt{6}$的被开方数6分解因数为$2×3$，2和3均不能开得尽方，属于最简二次根式，不符合题意；
D选项：$\sqrt{2}$的被开方数2是质数，不能开得尽方，属于最简二次根式，不符合题意。
【答案】
A
【知识点】
最简二次根式的判定；二次根式化简
【点评】
本题是基础考查题，核心是对最简二次根式定义的理解，只要牢记判定条件，正确分解被开方数的因数，就能快速得出答案。
【难度系数】
0.9
7. 下列各组二次根式中，属于同类二次根式的是（
A.$\sqrt{3}$与$\sqrt{18}$
B.$\sqrt{63}$与$\sqrt{28}$
C.$\sqrt{0.5}$与$\sqrt{\dfrac{2}{3}}$
D.$\sqrt{12}$与$\sqrt{72}$
B
）A.$\sqrt{3}$与$\sqrt{18}$
B.$\sqrt{63}$与$\sqrt{28}$
C.$\sqrt{0.5}$与$\sqrt{\dfrac{2}{3}}$
D.$\sqrt{12}$与$\sqrt{72}$
答案
7.B
解析
【分析】
要判断是否为同类二次根式，首先需明确判定规则：先将每个二次根式化为最简二次根式，若化简后被开方数相同，则属于同类二次根式。解题时只需逐个化简每个选项中的两个二次根式，再对比化简后的被开方数即可。
【解析】
我们先将各选项中的二次根式化为最简二次根式，再对比被开方数：
A选项：$\sqrt{18}=\sqrt{9×2}=3\sqrt{2}$，与$\sqrt{3}$的被开方数分别为2和3，不相同，不属于同类二次根式；
B选项：$\sqrt{63}=\sqrt{9×7}=3\sqrt{7}$，$\sqrt{28}=\sqrt{4×7}=2\sqrt{7}$，化简后被开方数均为7，属于同类二次根式；
C选项：$\sqrt{0.5}=\sqrt{\dfrac{1}{2}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$，$\sqrt{\dfrac{2}{3}}=\dfrac{\sqrt{6}}{3}$，被开方数分别为2和6，不相同，不属于同类二次根式；
D选项：$\sqrt{12}=\sqrt{4×3}=2\sqrt{3}$，$\sqrt{72}=\sqrt{36×2}=6\sqrt{2}$，被开方数分别为3和2，不相同，不属于同类二次根式。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
1.同类二次根式的判定 2.最简二次根式的化简
【点评】
本题是二次根式部分的基础常考题，核心考查同类二次根式的判断方法，易错点是未将二次根式化为最简就直接对比原被开方数，熟练掌握二次根式的化简规则是解题的关键。
【难度系数】
0.7
要判断是否为同类二次根式，首先需明确判定规则：先将每个二次根式化为最简二次根式，若化简后被开方数相同，则属于同类二次根式。解题时只需逐个化简每个选项中的两个二次根式，再对比化简后的被开方数即可。
【解析】
我们先将各选项中的二次根式化为最简二次根式，再对比被开方数：
A选项：$\sqrt{18}=\sqrt{9×2}=3\sqrt{2}$，与$\sqrt{3}$的被开方数分别为2和3，不相同，不属于同类二次根式；
B选项：$\sqrt{63}=\sqrt{9×7}=3\sqrt{7}$，$\sqrt{28}=\sqrt{4×7}=2\sqrt{7}$，化简后被开方数均为7，属于同类二次根式；
C选项：$\sqrt{0.5}=\sqrt{\dfrac{1}{2}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$，$\sqrt{\dfrac{2}{3}}=\dfrac{\sqrt{6}}{3}$，被开方数分别为2和6，不相同，不属于同类二次根式；
D选项：$\sqrt{12}=\sqrt{4×3}=2\sqrt{3}$，$\sqrt{72}=\sqrt{36×2}=6\sqrt{2}$，被开方数分别为3和2，不相同，不属于同类二次根式。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
1.同类二次根式的判定 2.最简二次根式的化简
【点评】
本题是二次根式部分的基础常考题，核心考查同类二次根式的判断方法，易错点是未将二次根式化为最简就直接对比原被开方数，熟练掌握二次根式的化简规则是解题的关键。
【难度系数】
0.7
8.(周口市商水县期末)下列二次根式的计算，正确的是（
A.$\sqrt{5} · \sqrt{15} = \sqrt{20}$
B.$\sqrt{2} + \sqrt{5} = \sqrt{10}$
C.$\sqrt{18} ÷ \sqrt{2} = 3$
D.$\sqrt{18} = 9\sqrt{2}$
C
）A.$\sqrt{5} · \sqrt{15} = \sqrt{20}$
B.$\sqrt{2} + \sqrt{5} = \sqrt{10}$
C.$\sqrt{18} ÷ \sqrt{2} = 3$
D.$\sqrt{18} = 9\sqrt{2}$
答案
8.C
解析
【分析】
本题考查二次根式的相关运算，解题思路是逐一分析每个选项，结合二次根式的乘法法则、除法法则、化简规则以及同类二次根式的合并要求判断选项正误即可。首先回忆二次根式运算法则：乘法是$\sqrt{a}·\sqrt{b}=\sqrt{ab}$（$a≥0$，$b≥0$），除法是$\sqrt{a}÷\sqrt{b}=\sqrt{\frac{a}{b}}$（$a≥0$，$b＞0$），只有同类二次根式才能合并，二次根式化简要把能开方的因数全部开出来。
【解析】
我们逐个判断选项：
A选项：根据二次根式乘法法则，$\sqrt{5}·\sqrt{15}=\sqrt{5×15}=\sqrt{75}=5\sqrt{3}≠\sqrt{20}$，故A错误；
B选项：$\sqrt{2}$和$\sqrt{5}$不是同类二次根式，不能直接合并相加，故B错误；
C选项：根据二次根式除法法则，$\sqrt{18}÷\sqrt{2}=\sqrt{18÷2}=\sqrt{9}=3$，故C正确；
D选项：化简$\sqrt{18}=\sqrt{9×2}=\sqrt{9}×\sqrt{2}=3\sqrt{2}≠9\sqrt{2}$，故D错误。
【答案】
C
【知识点】
二次根式的乘除运算；二次根式的化简；同类二次根式的合并
【点评】
本题是二次根式运算的基础题，核心考查二次根式的基本运算法则和化简方法，掌握相关运算规则是快速解题的关键。
【难度系数】
0.8
本题考查二次根式的相关运算，解题思路是逐一分析每个选项，结合二次根式的乘法法则、除法法则、化简规则以及同类二次根式的合并要求判断选项正误即可。首先回忆二次根式运算法则：乘法是$\sqrt{a}·\sqrt{b}=\sqrt{ab}$（$a≥0$，$b≥0$），除法是$\sqrt{a}÷\sqrt{b}=\sqrt{\frac{a}{b}}$（$a≥0$，$b＞0$），只有同类二次根式才能合并，二次根式化简要把能开方的因数全部开出来。
【解析】
我们逐个判断选项：
A选项：根据二次根式乘法法则，$\sqrt{5}·\sqrt{15}=\sqrt{5×15}=\sqrt{75}=5\sqrt{3}≠\sqrt{20}$，故A错误；
B选项：$\sqrt{2}$和$\sqrt{5}$不是同类二次根式，不能直接合并相加，故B错误；
C选项：根据二次根式除法法则，$\sqrt{18}÷\sqrt{2}=\sqrt{18÷2}=\sqrt{9}=3$，故C正确；
D选项：化简$\sqrt{18}=\sqrt{9×2}=\sqrt{9}×\sqrt{2}=3\sqrt{2}≠9\sqrt{2}$，故D错误。
【答案】
C
【知识点】
二次根式的乘除运算；二次根式的化简；同类二次根式的合并
【点评】
本题是二次根式运算的基础题，核心考查二次根式的基本运算法则和化简方法，掌握相关运算规则是快速解题的关键。
【难度系数】
0.8
9.2、5、m是某三角形三边的长，则$\sqrt{(m-3)^2} + \sqrt{(m-7)^2}$等于（
A.$2m - 10$
B.$10 - 2m$
C.$10$
D.$4$
D
）A.$2m - 10$
B.$10 - 2m$
C.$10$
D.$4$
答案
9.D
解析
【分析】
要解决这个问题，首先需利用二次根式的性质将待求式转化为绝对值形式，再结合三角形三边关系求出m的取值范围，最后根据绝对值的性质去符号、化简计算即可得到结果。具体思考路径：1. 回忆二次根式性质：√(a²)=|a|，先改写原式；2. 利用三角形三边“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”的规则，确定m的取值范围；3. 根据m的范围判断绝对值内式子的正负，去绝对值后合并计算。
【解析】
第一步：根据三角形三边关系求m的取值范围
已知三角形三边长为2、5、m，因此满足：
5 - 2 ＜ m ＜ 5 + 2，即3 ＜ m ＜ 7。
第二步：利用二次根式性质改写原式
根据二次根式性质√(a²)=|a|，可得：
$\sqrt{(m-3)^2} + \sqrt{(m-7)^2} = |m - 3| + |m - 7|$。
第三步：去绝对值并化简
因为3 ＜ m ＜ 7，所以m - 3 ＞ 0，m - 7 ＜ 0，根据绝对值的性质：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，因此：
$|m - 3| = m - 3$，$|m - 7| = 7 - m$。
代入原式计算：
原式 $= (m - 3) + (7 - m) = m - 3 + 7 - m = 4$。
因此答案选D。
【答案】
D
【知识点】
三角形三边关系、二次根式的性质、绝对值的化简
【点评】
本题属于基础综合类考题，将三角形边长的性质与二次根式、绝对值化简知识点结合考查，解题的核心是先通过三角形三边关系确定m的取值范围，再正确脱去绝对值符号计算，是代数与几何结合的常考基础题型。
【难度系数】
0.7
要解决这个问题，首先需利用二次根式的性质将待求式转化为绝对值形式，再结合三角形三边关系求出m的取值范围，最后根据绝对值的性质去符号、化简计算即可得到结果。具体思考路径：1. 回忆二次根式性质：√(a²)=|a|，先改写原式；2. 利用三角形三边“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”的规则，确定m的取值范围；3. 根据m的范围判断绝对值内式子的正负，去绝对值后合并计算。
【解析】
第一步：根据三角形三边关系求m的取值范围
已知三角形三边长为2、5、m，因此满足：
5 - 2 ＜ m ＜ 5 + 2，即3 ＜ m ＜ 7。
第二步：利用二次根式性质改写原式
根据二次根式性质√(a²)=|a|，可得：
$\sqrt{(m-3)^2} + \sqrt{(m-7)^2} = |m - 3| + |m - 7|$。
第三步：去绝对值并化简
因为3 ＜ m ＜ 7，所以m - 3 ＞ 0，m - 7 ＜ 0，根据绝对值的性质：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，因此：
$|m - 3| = m - 3$，$|m - 7| = 7 - m$。
代入原式计算：
原式 $= (m - 3) + (7 - m) = m - 3 + 7 - m = 4$。
因此答案选D。
【答案】
D
【知识点】
三角形三边关系、二次根式的性质、绝对值的化简
【点评】
本题属于基础综合类考题，将三角形边长的性质与二次根式、绝对值化简知识点结合考查，解题的核心是先通过三角形三边关系确定m的取值范围，再正确脱去绝对值符号计算，是代数与几何结合的常考基础题型。
【难度系数】
0.7
10.(河北省中考)与$\sqrt{3^2 - 2^2 - 1^2}$结果相同的是（
A.$3 - 2 + 1$
B.$3 + 2 - 1$
C.$3 + 2 + 1$
D.$3 - 2 - 1$
A
）A.$3 - 2 + 1$
B.$3 + 2 - 1$
C.$3 + 2 + 1$
D.$3 - 2 - 1$
答案
10.A
解析
【分析】
要解决这道题，我们分两步思考：第一步先计算出题干中二次根式的结果，第二步分别计算四个选项的运算结果，将两者对比即可找到答案。计算时注意运算顺序：先算乘方，再算根号内的加减，最后计算算术平方根；有理数加减按从左到右的顺序计算即可。
【解析】
首先计算题干中式子的结果：
先计算根号内的乘方：$3^2=9$，$2^2=4$，$1^2=1$
再计算根号内的加减：$3^2 - 2^2 - 1^2=9-4-1=4$
最后计算算术平方根：$\sqrt{4}=2$
接下来分别计算各选项的结果：
A选项：$3-2+1=1+1=2$，与题干结果相同；
B选项：$3+2-1=5-1=4$，与题干结果不同；
C选项：$3+2+1=6$，与题干结果不同；
D选项：$3-2-1=1-1=0$，与题干结果不同。
因此选A。
【答案】
A
【知识点】
乘方运算，算术平方根的计算，有理数的加减运算
【点评】
本题属于基础运算类题目，核心考查运算顺序和运算法则的掌握程度，计算时只要仔细按规则运算，就不易出错。
【难度系数】
0.9
要解决这道题，我们分两步思考：第一步先计算出题干中二次根式的结果，第二步分别计算四个选项的运算结果，将两者对比即可找到答案。计算时注意运算顺序：先算乘方，再算根号内的加减，最后计算算术平方根；有理数加减按从左到右的顺序计算即可。
【解析】
首先计算题干中式子的结果：
先计算根号内的乘方：$3^2=9$，$2^2=4$，$1^2=1$
再计算根号内的加减：$3^2 - 2^2 - 1^2=9-4-1=4$
最后计算算术平方根：$\sqrt{4}=2$
接下来分别计算各选项的结果：
A选项：$3-2+1=1+1=2$，与题干结果相同；
B选项：$3+2-1=5-1=4$，与题干结果不同；
C选项：$3+2+1=6$，与题干结果不同；
D选项：$3-2-1=1-1=0$，与题干结果不同。
因此选A。
【答案】
A
【知识点】
乘方运算，算术平方根的计算，有理数的加减运算
【点评】
本题属于基础运算类题目，核心考查运算顺序和运算法则的掌握程度，计算时只要仔细按规则运算，就不易出错。
【难度系数】
0.9
11. 计算：
(1) $\sqrt{54} + 6\sqrt{\dfrac{1}{6}} - \sqrt{24}$；
(2) $-3\sqrt{\dfrac{8}{27}} ÷ \sqrt{\dfrac{3}{4}} × \sqrt{27}$；
(3) $(\sqrt{5} + 3)(\sqrt{5} - 3) - (\sqrt{3} - 1)^2$。
(1) $\sqrt{54} + 6\sqrt{\dfrac{1}{6}} - \sqrt{24}$；
(2) $-3\sqrt{\dfrac{8}{27}} ÷ \sqrt{\dfrac{3}{4}} × \sqrt{27}$；
(3) $(\sqrt{5} + 3)(\sqrt{5} - 3) - (\sqrt{3} - 1)^2$。
答案
(1) 解: 原式$=3\sqrt{6}+\sqrt{6}-2\sqrt{6}=2\sqrt{6}.$
(2) 解: 原式$=-3 × \sqrt{\dfrac{8}{27}×\dfrac{4}{3}×27} = - 3 × \dfrac{4\sqrt{6}}{3} =-4\sqrt{6}.$
(3) 解: 原式$=5-9-(3-2\sqrt{3}+1)=-4-4+2\sqrt{3}=-8+2\sqrt{3}.$
(2) 解: 原式$=-3 × \sqrt{\dfrac{8}{27}×\dfrac{4}{3}×27} = - 3 × \dfrac{4\sqrt{6}}{3} =-4\sqrt{6}.$
(3) 解: 原式$=5-9-(3-2\sqrt{3}+1)=-4-4+2\sqrt{3}=-8+2\sqrt{3}.$
解析
【分析】
这三道题是二次根式运算的常规题型，解题思路如下：
(1) 二次根式加减运算：先把每一项都化为最简二次根式，再合并同类二次根式即可；
(2) 二次根式乘除混合运算：将除法转化为乘法后，把系数和被开方数分别相乘，最后化简为最简二次根式，运算过程中注意符号的处理；
(3) 含乘法公式的二次根式混合运算：先分别用平方差公式计算$(\sqrt{5} + 3)(\sqrt{5} - 3)$，用完全平方公式计算$(\sqrt{3} - 1)^2$，再去括号合并同类项得到结果。
【解析】
(1) 先化简各项：$\sqrt{54}=3\sqrt{6}$，$6\sqrt{\dfrac{1}{6}}=\sqrt{6}$，$\sqrt{24}=2\sqrt{6}$
原式$=3\sqrt{6}+\sqrt{6}-2\sqrt{6}=2\sqrt{6}$
(2) 先将除法转化为乘法，再根据二次根式乘法法则计算：
原式$=-3 × \sqrt{\dfrac{8}{27}×\dfrac{4}{3}×27} = - 3 × \dfrac{4\sqrt{6}}{3} =-4\sqrt{6}$
(3) 分别套用平方差公式和完全平方公式展开：
原式$=(5-9)-(3-2\sqrt{3}+1)=-4-4+2\sqrt{3}=-8+2\sqrt{3}$
【答案】
(1) $\boldsymbol{2\sqrt{6}}$；(2) $\boldsymbol{-4\sqrt{6}}$；(3) $\boldsymbol{2\sqrt{3}-8}$（或$\boldsymbol{-8+2\sqrt{3}}$）
【知识点】
二次根式化简、二次根式混合运算、乘法公式应用
【点评】
本题覆盖了二次根式的常见运算类型，要求熟练掌握二次根式的化简规则和运算顺序，整式乘法公式同样适用于二次根式运算，计算时注意符号的变化，养成结果化为最简二次根式的习惯。
【难度系数】
0.75
这三道题是二次根式运算的常规题型，解题思路如下：
(1) 二次根式加减运算：先把每一项都化为最简二次根式，再合并同类二次根式即可；
(2) 二次根式乘除混合运算：将除法转化为乘法后，把系数和被开方数分别相乘，最后化简为最简二次根式，运算过程中注意符号的处理；
(3) 含乘法公式的二次根式混合运算：先分别用平方差公式计算$(\sqrt{5} + 3)(\sqrt{5} - 3)$，用完全平方公式计算$(\sqrt{3} - 1)^2$，再去括号合并同类项得到结果。
【解析】
(1) 先化简各项：$\sqrt{54}=3\sqrt{6}$，$6\sqrt{\dfrac{1}{6}}=\sqrt{6}$，$\sqrt{24}=2\sqrt{6}$
原式$=3\sqrt{6}+\sqrt{6}-2\sqrt{6}=2\sqrt{6}$
(2) 先将除法转化为乘法，再根据二次根式乘法法则计算：
原式$=-3 × \sqrt{\dfrac{8}{27}×\dfrac{4}{3}×27} = - 3 × \dfrac{4\sqrt{6}}{3} =-4\sqrt{6}$
(3) 分别套用平方差公式和完全平方公式展开：
原式$=(5-9)-(3-2\sqrt{3}+1)=-4-4+2\sqrt{3}=-8+2\sqrt{3}$
【答案】
(1) $\boldsymbol{2\sqrt{6}}$；(2) $\boldsymbol{-4\sqrt{6}}$；(3) $\boldsymbol{2\sqrt{3}-8}$（或$\boldsymbol{-8+2\sqrt{3}}$）
【知识点】
二次根式化简、二次根式混合运算、乘法公式应用
【点评】
本题覆盖了二次根式的常见运算类型，要求熟练掌握二次根式的化简规则和运算顺序，整式乘法公式同样适用于二次根式运算，计算时注意符号的变化，养成结果化为最简二次根式的习惯。
【难度系数】
0.75
