登录
【典例2】(教材再开发·P89例2强化)化简：
(1)$-5x + x^2 + 4x - 3x^2$；
同类项及合
并同类项
(2)$x^2 y^2 - 3xy -7x^2 y^2 + \frac{1}{2}xy -1 +5x^2 y^2$。
(1)$-5x + x^2 + 4x - 3x^2$；
同类项及合
并同类项
(2)$x^2 y^2 - 3xy -7x^2 y^2 + \frac{1}{2}xy -1 +5x^2 y^2$。
答案
(1)$原式=(-5x+4x)+(x^2-3x^2)=(-5+4)x+(1-3)x^2=-x-2x^2$；
(2)$原式=(x^2 y^2 -7 x^2 y^2 +5 x^2 y^2)+(-3xy+\frac{1}{2}xy)-1=(1-7+5)x^2 y^2+(-3+\frac{1}{2})xy-1=-x^2 y^2 -\frac{5}{2}xy-1$。
(2)$原式=(x^2 y^2 -7 x^2 y^2 +5 x^2 y^2)+(-3xy+\frac{1}{2}xy)-1=(1-7+5)x^2 y^2+(-3+\frac{1}{2})xy-1=-x^2 y^2 -\frac{5}{2}xy-1$。
1. 下列运算正确的是 （
A.$5m + n = 5mn$
B.$4m - n = 3$
C.$3m^2 + 2m^3 = 5m^5$
D.$-m^2n + 2m^2n = m^2n$
D
）A.$5m + n = 5mn$
B.$4m - n = 3$
C.$3m^2 + 2m^3 = 5m^5$
D.$-m^2n + 2m^2n = m^2n$
答案
D A,B,C中的两项都不是同类项，不能合并；$-m^2 n + 2m^2 n = m^2 n$，故D正确。
2.多项式$x^2 - 3kxy - 3y^2 + 36xy - 8$化简后不含$xy$项，则$k$为
12
。答案
原式$=x^2 + (-3kxy + 36xy) -3y^2 -8 = x^2 + (-3k + 36)xy -3y^2 -8$，
因为多项式不含$xy$项，
所以$-3k + 36 = 0$，所以$k=12$。
答案:12
因为多项式不含$xy$项，
所以$-3k + 36 = 0$，所以$k=12$。
答案:12
3.(2025·邵阳期中)把下列多项式合并同类项：
(1)$2x^3 -5x^2 +7x^2 -2x -7x^3 +5x$；
(2)$-3x^3y^2 +5x^2y^3 -7x^3y^2 -8x^2y^3 -10$。
(1)$2x^3 -5x^2 +7x^2 -2x -7x^3 +5x$；
(2)$-3x^3y^2 +5x^2y^3 -7x^3y^2 -8x^2y^3 -10$。
答案
(1)$原式=(2-7)x^3 + (-5+7)x^2 + (-2+5)x = -5x^3 + 2x^2 + 3x$；
(2)$原式=(-3-7)x^3 y^2 + (5-8)x^2 y^3 -10 = -10x^3 y^2 -3x^2 y^3 -10$。
(2)$原式=(-3-7)x^3 y^2 + (5-8)x^2 y^3 -10 = -10x^3 y^2 -3x^2 y^3 -10$。
4.(2025·广州期中)先化简,再求值:
(1)$2x^2 -5x +x^2 +4x -3x^2 -2$,其中$x=\frac{1}{2}$;
(2)$2a^2b +ab^2 -3a^2b -2ab^2 -1$,其中$a=-2,b=2$.
(1)$2x^2 -5x +x^2 +4x -3x^2 -2$,其中$x=\frac{1}{2}$;
(2)$2a^2b +ab^2 -3a^2b -2ab^2 -1$,其中$a=-2,b=2$.
答案
(1)$2x^2 -5x +x^2 +4x -3x^2 -2$
$=(2x^2 +x^2 -3x^2)+(-5x +4x)-2$
$=-x-2$，
当$x=\frac{1}{2}$时，原式$=-\frac{1}{2}-2=-\frac{5}{2}$；
(2)$2 a^2 b +a b^2 -3 a^2 b -2a b^2 -1$
$=(2a^2 b -3a^2 b)+(ab^2 -2ab^2)-1$
$=-a^2 b -ab^2 -1$，
当$a=-2,b=2$时，原式$=-(-2)^2 ×2 -(-2)×2^2 -1 = -8 -(-8)-1 = -1$。
$=(2x^2 +x^2 -3x^2)+(-5x +4x)-2$
$=-x-2$，
当$x=\frac{1}{2}$时，原式$=-\frac{1}{2}-2=-\frac{5}{2}$；
(2)$2 a^2 b +a b^2 -3 a^2 b -2a b^2 -1$
$=(2a^2 b -3a^2 b)+(ab^2 -2ab^2)-1$
$=-a^2 b -ab^2 -1$，
当$a=-2,b=2$时，原式$=-(-2)^2 ×2 -(-2)×2^2 -1 = -8 -(-8)-1 = -1$。
阅读材料：
我们知道，$4x - 2x + x = (4 - 2 + 1)x = 3x$，类似地，我们把$(a + b)$看成一个整体，则$4(a + b) - 2(a + b) + (a + b) = (4 - 2 + 1)(a + b) = 3(a + b)$。“整体思想”是中学教学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛。
尝试应用：
(1) 已知$m + m^2 = 1$，则$2m^2 + 2m + 2025 =$
(2) 已知$a + b + 1 = 0$，求$3(a + b) + 2a + 2b + 5$的值。
我们知道，$4x - 2x + x = (4 - 2 + 1)x = 3x$，类似地，我们把$(a + b)$看成一个整体，则$4(a + b) - 2(a + b) + (a + b) = (4 - 2 + 1)(a + b) = 3(a + b)$。“整体思想”是中学教学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛。
尝试应用：
(1) 已知$m + m^2 = 1$，则$2m^2 + 2m + 2025 =$
2027
；(2) 已知$a + b + 1 = 0$，求$3(a + b) + 2a + 2b + 5$的值。
答案
(1)因为$m + m^2 = 1$，
所以$2m^2 + 2m + 2 025 = 2(m^2 + m) + 2 025 = 2 + 2 025 = 2 027$。
答案:2 027
(2)因为$a + b + 1 = 0$，
所以$a + b = -1$，
所以$3(a + b) + 2a + 2b + 5$
$=3(a + b) + 2(a + b) + 5$
$=3×(-1) + 2×(-1) + 5$
$=0$。
所以$2m^2 + 2m + 2 025 = 2(m^2 + m) + 2 025 = 2 + 2 025 = 2 027$。
答案:2 027
(2)因为$a + b + 1 = 0$，
所以$a + b = -1$，
所以$3(a + b) + 2a + 2b + 5$
$=3(a + b) + 2(a + b) + 5$
$=3×(-1) + 2×(-1) + 5$
$=0$。
