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【例1】在日常生活中，我们一拧水龙头，水就源源不断地流出来，可能丝毫感觉不到因浪费水而导致的危机.但事实上，我国是一个缺水国家，我们赖以生存的水正日益短缺.节约用水，是我们每一个公民的基本素养之一.为鼓励居民节约用水，某市对居民用水收费实行“阶梯价”，2022年起具体收费标准如下表(阶梯价的含义:年用水量不超过144 m³，每立方米收费3.15元，年用水量在144～240 m³之间，前144 m³按3.15元/m³收费，在144～240 m³之间的用水量按4.05元/m³收费，以此类推).
|供水类型|阶梯分类|年用水量/m³|费用/(元/m³)|
| ---- | ---- | ---- | ---- |
|居民生活用水|第一阶梯|
144(含)|3.15|
|居民生活用水|第二阶梯|144～240(含)|4.05|
|居民生活用水|第三阶梯|240以上|6.75|
(1)设某户居民的年用水量为 $ t \ \mathrm{m}^3 $（$ t $ 是正整数），请你列表说明，当 $ t $ 在不同范围内取值时，如何计费？
(2)若小红家2023年全年用水量为 $ 120 \ \mathrm{m}^3 $，则小红家应缴水费元.
(3)若小明家2023年缴水费441元，求小明家2023年全年用水量.(列方程解决问题)
(4)若小刚家2023年缴水费575.1元，求小刚家2023年全年用水量.(列方程解决问题)
|供水类型|阶梯分类|年用水量/m³|费用/(元/m³)|
| ---- | ---- | ---- | ---- |
|居民生活用水|第一阶梯|
144(含)|3.15||居民生活用水|第二阶梯|144～240(含)|4.05|
|居民生活用水|第三阶梯|240以上|6.75|
(1)设某户居民的年用水量为 $ t \ \mathrm{m}^3 $（$ t $ 是正整数），请你列表说明，当 $ t $ 在不同范围内取值时，如何计费？
(2)若小红家2023年全年用水量为 $ 120 \ \mathrm{m}^3 $，则小红家应缴水费元.
(3)若小明家2023年缴水费441元，求小明家2023年全年用水量.(列方程解决问题)
(4)若小刚家2023年缴水费575.1元，求小刚家2023年全年用水量.(列方程解决问题)
答案
解：
(1) 不同用水量范围的计费方式如下表：
| 年用水量$t$的范围/$ \mathrm{m}^3 $ | 总水费计费方式/元 |
| ---- | ---- |
| $0＜ t ≤ 144$（$t$为正整数） | $3.15t$ |
| $144＜ t ≤ 240$（$t$为正整数） | $144×3.15 + 4.05(t-144)=4.05t-129.6$ |
| $t＞240$（$t$为正整数） | $144×3.15 + (240-144)×4.05 + 6.75(t-240)=6.75t-777.6$ |
(2) $378$
(3) 第一阶梯最高应缴水费为$144×3.15=453.6$元，$441＜453.6$，说明小明家年用水量不超过$144\ \mathrm{m}^3$。
设小明家2023年全年用水量为$x\ \mathrm{m}^3$，列方程得：
$3.15x=441$
解得$x=140$
答：小明家2023年全年用水量为$140\ \mathrm{m}^3$。
(4) 第二阶梯最高应缴水费为$453.6+(240-144)×4.05=842.4$元，$453.6＜575.1＜842.4$，说明小刚家年用水量在$144∼240\ \mathrm{m}^3$之间。
设小刚家2023年全年用水量为$y\ \mathrm{m}^3$，列方程得：
$144×3.15 + 4.05(y-144)=575.1$
化简得$4.05y=704.7$
解得$y=174$
答：小刚家2023年全年用水量为$174\ \mathrm{m}^3$。
(1) 不同用水量范围的计费方式如下表：
| 年用水量$t$的范围/$ \mathrm{m}^3 $ | 总水费计费方式/元 |
| ---- | ---- |
| $0＜ t ≤ 144$（$t$为正整数） | $3.15t$ |
| $144＜ t ≤ 240$（$t$为正整数） | $144×3.15 + 4.05(t-144)=4.05t-129.6$ |
| $t＞240$（$t$为正整数） | $144×3.15 + (240-144)×4.05 + 6.75(t-240)=6.75t-777.6$ |
(2) $378$
(3) 第一阶梯最高应缴水费为$144×3.15=453.6$元，$441＜453.6$，说明小明家年用水量不超过$144\ \mathrm{m}^3$。
设小明家2023年全年用水量为$x\ \mathrm{m}^3$，列方程得：
$3.15x=441$
解得$x=140$
答：小明家2023年全年用水量为$140\ \mathrm{m}^3$。
(4) 第二阶梯最高应缴水费为$453.6+(240-144)×4.05=842.4$元，$453.6＜575.1＜842.4$，说明小刚家年用水量在$144∼240\ \mathrm{m}^3$之间。
设小刚家2023年全年用水量为$y\ \mathrm{m}^3$，列方程得：
$144×3.15 + 4.05(y-144)=575.1$
化简得$4.05y=704.7$
解得$y=174$
答：小刚家2023年全年用水量为$174\ \mathrm{m}^3$。
解析
【分析】
这是典型的阶梯分段计费问题，解题核心是先明确收费的三个分界区间：0~144m³、144~240m³、240m³以上，不同区间对应不同的收费标准。
(1) 写计费公式时，分三个区间讨论：①用水量不超过144m³时，总费用=单价3.15元/m³×用水量；②用水量在144~240m³时，总费用=前144m³的费用 + 超出144m³部分的费用（单价4.05元/m³）；③用水量超过240m³时，总费用=前144m³的费用 + 144~240m³部分的费用 + 超出240m³部分的费用（单价6.75元/m³）。
(2) 先判断120m³属于第一阶梯，直接用第一阶梯单价乘用水量即可。
(3) 先计算第一阶梯最高水费、第二阶梯最高水费，判断441元对应的用水区间，再根据对应区间的计费方式列一元一次方程求解。
(4) 同理先判断575.1元对应的用水区间，再列方程求解。
【解析】
(1) 根据阶梯收费规则，分三个区间整理计费方式：
| 年用水量$t$的范围/$\mathrm{m}^3$ | 总水费计费方式/元 |
| ---- | ---- |
| $0＜ t ≤ 144$（$t$为正整数） | $3.15t$ |
| $144＜ t ≤ 240$（$t$为正整数） | $144×3.15 + 4.05(t-144)=4.05t-129.6$ |
| $t＞240$（$t$为正整数） | $144×3.15 + (240-144)×4.05 + 6.75(t-240)=6.75t-777.6$ |
(2) 小红家用水量120m³，属于$0＜ t ≤144$区间，应缴水费为$3.15×120=378$元。
(3) 先计算第一阶梯最高水费：$144×3.15=453.6$元，因为$441＜453.6$，所以小明家用水量在第一阶梯。
设小明家2023年全年用水量为$x\ \mathrm{m}^3$，根据题意列方程：
$3.15x=441$
解得：$x=441÷3.15=140$
(4) 先计算第二阶梯最高水费：$453.6+(240-144)×4.05=842.4$元，因为$453.6＜575.1＜842.4$，所以小刚家用水量在第二阶梯。
设小刚家2023年全年用水量为$y\ \mathrm{m}^3$，根据题意列方程：
$144×3.15 + 4.05(y-144)=575.1$
化简得：$453.6 + 4.05y - 583.2 = 575.1$
整理得：$4.05y = 704.7$
解得：$y=704.7÷4.05=174$
【答案】
(1) 计费方式如下表：
| 年用水量$t$的范围/$\mathrm{m}^3$ | 总水费计费方式/元 |
| ---- | ---- |
| $0＜ t ≤ 144$（$t$为正整数） | $3.15t$ |
| $144＜ t ≤ 240$（$t$为正整数） | $4.05t-129.6$ |
| $t＞240$（$t$为正整数） | $6.75t-777.6$ |
(2) $\boxed{378}$
(3) $\boxed{140\ \mathrm{m}^3}$
(4) $\boxed{174\ \mathrm{m}^3}$
【知识点】
分段计费、列代数式、一元一次方程的实际应用
【点评】
本题是结合生活实际的阶梯收费类问题，解题的关键是先明确各收费区间的分界值，先根据缴费金额判断对应的用水区间，再选择对应的计费方式列式或列方程求解，避免错用收费标准，有效考查了将实际问题转化为数学问题的应用能力。
【难度系数】
0.7
这是典型的阶梯分段计费问题，解题核心是先明确收费的三个分界区间：0~144m³、144~240m³、240m³以上，不同区间对应不同的收费标准。
(1) 写计费公式时，分三个区间讨论：①用水量不超过144m³时，总费用=单价3.15元/m³×用水量；②用水量在144~240m³时，总费用=前144m³的费用 + 超出144m³部分的费用（单价4.05元/m³）；③用水量超过240m³时，总费用=前144m³的费用 + 144~240m³部分的费用 + 超出240m³部分的费用（单价6.75元/m³）。
(2) 先判断120m³属于第一阶梯，直接用第一阶梯单价乘用水量即可。
(3) 先计算第一阶梯最高水费、第二阶梯最高水费，判断441元对应的用水区间，再根据对应区间的计费方式列一元一次方程求解。
(4) 同理先判断575.1元对应的用水区间，再列方程求解。
【解析】
(1) 根据阶梯收费规则，分三个区间整理计费方式：
| 年用水量$t$的范围/$\mathrm{m}^3$ | 总水费计费方式/元 |
| ---- | ---- |
| $0＜ t ≤ 144$（$t$为正整数） | $3.15t$ |
| $144＜ t ≤ 240$（$t$为正整数） | $144×3.15 + 4.05(t-144)=4.05t-129.6$ |
| $t＞240$（$t$为正整数） | $144×3.15 + (240-144)×4.05 + 6.75(t-240)=6.75t-777.6$ |
(2) 小红家用水量120m³，属于$0＜ t ≤144$区间，应缴水费为$3.15×120=378$元。
(3) 先计算第一阶梯最高水费：$144×3.15=453.6$元，因为$441＜453.6$，所以小明家用水量在第一阶梯。
设小明家2023年全年用水量为$x\ \mathrm{m}^3$，根据题意列方程：
$3.15x=441$
解得：$x=441÷3.15=140$
(4) 先计算第二阶梯最高水费：$453.6+(240-144)×4.05=842.4$元，因为$453.6＜575.1＜842.4$，所以小刚家用水量在第二阶梯。
设小刚家2023年全年用水量为$y\ \mathrm{m}^3$，根据题意列方程：
$144×3.15 + 4.05(y-144)=575.1$
化简得：$453.6 + 4.05y - 583.2 = 575.1$
整理得：$4.05y = 704.7$
解得：$y=704.7÷4.05=174$
【答案】
(1) 计费方式如下表：
| 年用水量$t$的范围/$\mathrm{m}^3$ | 总水费计费方式/元 |
| ---- | ---- |
| $0＜ t ≤ 144$（$t$为正整数） | $3.15t$ |
| $144＜ t ≤ 240$（$t$为正整数） | $4.05t-129.6$ |
| $t＞240$（$t$为正整数） | $6.75t-777.6$ |
(2) $\boxed{378}$
(3) $\boxed{140\ \mathrm{m}^3}$
(4) $\boxed{174\ \mathrm{m}^3}$
【知识点】
分段计费、列代数式、一元一次方程的实际应用
【点评】
本题是结合生活实际的阶梯收费类问题，解题的关键是先明确各收费区间的分界值，先根据缴费金额判断对应的用水区间，再选择对应的计费方式列式或列方程求解，避免错用收费标准，有效考查了将实际问题转化为数学问题的应用能力。
【难度系数】
0.7
【例2】实验与探究:小明学完一元一次方程后，用一根质地均匀60 cm长的木杆和一些等重的物体,做如图(1)所示的实验:
①在木杆正中间处拴绳,将木杆吊起并使其左右平衡,吊绳处为木杆的支点;
②在木杆两端各悬挂一重物,看看左右是否保持平衡;
③小明在木杆左端重物下加挂另一重物,然后把这两个重物一起向右移动,直至左右平衡,记录此时支点到木杆左右两边挂重物处的距离;
④在木杆左边两重物下继续加挂重物,并重复以上操作.
记录情况如表所示.
(1)根据以上小明的记录你能发现什么规律?能否用语言进行表述?
(2)如图(2),在木杆右端挂一重物,支点左边挂n个重物,并使左右平衡.设木杆长为l cm,支点到木杆左边挂重物处的距离为x cm,把n,l作为已知数,列出关于x的一元一次方程.
①在木杆正中间处拴绳,将木杆吊起并使其左右平衡,吊绳处为木杆的支点;
②在木杆两端各悬挂一重物,看看左右是否保持平衡;
③小明在木杆左端重物下加挂另一重物,然后把这两个重物一起向右移动,直至左右平衡,记录此时支点到木杆左右两边挂重物处的距离;
④在木杆左边两重物下继续加挂重物,并重复以上操作.
记录情况如表所示.
(1)根据以上小明的记录你能发现什么规律?能否用语言进行表述?
(2)如图(2),在木杆右端挂一重物,支点左边挂n个重物,并使左右平衡.设木杆长为l cm,支点到木杆左边挂重物处的距离为x cm,把n,l作为已知数,列出关于x的一元一次方程.
答案
解：
(1) 规律：木杆平衡时，左边悬挂的重物个数与支点到木杆左边挂重物处的距离的乘积，等于右边悬挂的重物个数与支点到木杆右边挂重物处的距离的乘积。
(2) 由题意可知，支点在木杆正中间，因此支点到木杆右端挂重物处的距离为$\frac{l}{2}$ cm，根据上述平衡规律，列得方程：
$nx = \frac{l}{2}$
(1) 规律：木杆平衡时，左边悬挂的重物个数与支点到木杆左边挂重物处的距离的乘积，等于右边悬挂的重物个数与支点到木杆右边挂重物处的距离的乘积。
(2) 由题意可知，支点在木杆正中间，因此支点到木杆右端挂重物处的距离为$\frac{l}{2}$ cm，根据上述平衡规律，列得方程：
$nx = \frac{l}{2}$
解析
【分析】
对于第(1)问，我们可以结合实验操作中木杆平衡时的各个量分析：实验中所用重物都等重，每次平衡时记录了左右两边重物的数量、重物到支点的距离，观察这几个量的数量关系即可总结出规律。对于第(2)问，首先明确支点在木杆正中间，先求出右端重物到支点的距离，再确定左右两边的重物个数，代入第(1)问总结的平衡规律，即可列出关于x的一元一次方程。
【解析】
(1) 观察实验中木杆平衡时的对应数据，可总结出规律：当木杆平衡时，左边悬挂的重物个数与支点到左边挂重物处的距离的乘积，等于右边悬挂的重物个数与支点到右边挂重物处的距离的乘积。
(2) 已知木杆总长为l cm，支点在木杆正中间，因此支点到右端挂重物处的距离为$\frac{l}{2}$ cm；由题意可知，左边重物个数为n，左边挂重物处到支点的距离为x cm，右边重物个数为1。根据(1)中总结的平衡规律，可列等式：
$n· x = 1× \frac{l}{2}$
整理得 $nx = \frac{l}{2}$
【答案】
(1) 规律：木杆平衡时，左边悬挂的重物个数与支点到木杆左边挂重物处的距离的乘积，等于右边悬挂的重物个数与支点到木杆右边挂重物处的距离的乘积。
(2) 所列关于x的一元一次方程为$\boldsymbol{nx = \frac{l}{2}}$
【知识点】
规律探究、一元一次方程的应用、平衡类问题建模
【点评】
本题结合小实验设置问题，既考查了学生从操作过程中归纳总结规律的能力，又考查了学生运用规律解决实际问题、列一元一次方程的能力，情境贴合生活，能有效锻炼学生的观察分析能力和知识应用能力。
【难度系数】
0.8
对于第(1)问，我们可以结合实验操作中木杆平衡时的各个量分析：实验中所用重物都等重，每次平衡时记录了左右两边重物的数量、重物到支点的距离，观察这几个量的数量关系即可总结出规律。对于第(2)问，首先明确支点在木杆正中间，先求出右端重物到支点的距离，再确定左右两边的重物个数，代入第(1)问总结的平衡规律，即可列出关于x的一元一次方程。
【解析】
(1) 观察实验中木杆平衡时的对应数据，可总结出规律：当木杆平衡时，左边悬挂的重物个数与支点到左边挂重物处的距离的乘积，等于右边悬挂的重物个数与支点到右边挂重物处的距离的乘积。
(2) 已知木杆总长为l cm，支点在木杆正中间，因此支点到右端挂重物处的距离为$\frac{l}{2}$ cm；由题意可知，左边重物个数为n，左边挂重物处到支点的距离为x cm，右边重物个数为1。根据(1)中总结的平衡规律，可列等式：
$n· x = 1× \frac{l}{2}$
整理得 $nx = \frac{l}{2}$
【答案】
(1) 规律：木杆平衡时，左边悬挂的重物个数与支点到木杆左边挂重物处的距离的乘积，等于右边悬挂的重物个数与支点到木杆右边挂重物处的距离的乘积。
(2) 所列关于x的一元一次方程为$\boldsymbol{nx = \frac{l}{2}}$
【知识点】
规律探究、一元一次方程的应用、平衡类问题建模
【点评】
本题结合小实验设置问题，既考查了学生从操作过程中归纳总结规律的能力，又考查了学生运用规律解决实际问题、列一元一次方程的能力，情境贴合生活，能有效锻炼学生的观察分析能力和知识应用能力。
【难度系数】
0.8
