1.「★☆」如图,在菱形ABCD中,AB=2,∠A=120°,点P,Q,K分别为线段BC,CD,BD上的任意一点,则PK+QK的最小值为 ()


A.1
B.$\sqrt{3}$
C.2
D.$\sqrt{3}+1$

∵ 四边形ABCD是菱形,
∴ AD//BC,
∵ ∠A=120°,
∴ ∠ABC=180°-∠A=180°-120°=60°,如图,作点P关于直线BD的对称点P',易知点P'在AB上,连接P'Q,P'K,由对称性可知PK=P'K,
∴ PK+QK=P'K+KQ≥P'Q,当P',K,Q三点共线,且P'Q⊥AB时,PK+QK的值最小,为菱形的高,过点C作CE⊥AB于E,则PK+QK的最小值为CE的长,在Rt△CBE中,BC=2,∠BCE=90°-60°=30°,
∴ BE=$\frac{1}{2}$BC=1,
∴ CE=$\sqrt{2^2-1^2}$=$\sqrt{3}$,
∴ PK+QK的最小值为$\sqrt{3}$.故选B.

2.「★☆」如图,在菱形ABCD中,AB=4 cm,∠DAB=60°,点P从点A出发,以2 cm/s的速度沿A→D→C运动,过点P作射线AB的垂线,交射线AB于点Q,在点P的运动过程中,设运动时间为t s.
(1)写出线段PD的长(用含t的式子表示).
(2)当PQ平分菱形ABCD的面积时,求t的值.

(1)
∵ 四边形ABCD是菱形,
∴ AB=AD=DC=4 cm,
当0≤t≤2时,PD=(4-2t) cm;当2＜t≤4时,PD=(2t-4) cm.
(2)如图,连接BD,设BD交PQ于点O,过点D作DM⊥AB于点M,易知DM⊥CD,

又
∵ PQ⊥AB,
∴ 四边形DPQM为矩形,
∴ DP=MQ,
∵ ∠DAB=60°,
∴ ∠ADM=30°,
∴ AM=$\frac{1}{2}$AD=2 cm,
易知当PQ平分菱形ABCD的面积时,PQ经过BD的中点,此时OB=OD,
∵ 四边形ABCD是菱形,
∴ DC//AB,
∴ ∠PDO=∠OBQ,∠DPO=∠BQO,
∴ △DPO≌△BQO(AAS),
∴ DP=BQ=(2t-4) cm,
∵ AB=AM+MQ+QB,
∴ 2+2t-4+2t-4=4,解得 t=$\frac{5}{2}$.