10.若三角形的三边长分别为$3,1+2x,8$,则$x$的取值范围是（）

A.$2＜x＜5$
B.$3＜x＜8$
C.$4＜x＜7$
D.$5＜x＜9$

10.A

【分析】
要确定x的取值范围，需运用三角形三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。我们先确定已知的两条边长3和8，求出它们的差与和，再让第三边$1+2x$介于这个差和和之间，最后解不等式就能得到x的取值范围。
【解析】
根据三角形三边关系，第三边的长度大于另外两边的差，小于另外两边的和，可列出不等式：
$8 - 3 ＜ 1 + 2x ＜ 8 + 3$
化简得：
$5 ＜ 1 + 2x ＜ 11$
不等式各部分同时减1，得：
$4 ＜ 2x ＜ 10$
不等式各部分同时除以2，得：
$2 ＜ x ＜ 5$
因此x的取值范围是$2＜x＜5$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
三角形三边关系、解一元一次不等式
【点评】
本题属于基础题型，核心考查三角形三边关系的应用，解题的关键是熟练掌握三边关系列出符合要求的不等式，计算时遵循不等式的运算规则即可。
【难度系数】
0.8

11. 已知$△ ABC$的三边长分别为$a,b,c$，且$M=(a+b+c)(a+b-c)(a-b-c)$，那么（）

A.$M＞0$
B.$M≥0$
C.$M=0$
D.$M＜0$

11.D

【分析】
要判断M的符号，只需判断构成M的三个因式的正负，再根据有理数乘法的符号法则（几个非零有理数相乘，负因数的个数为奇数时乘积为负，为偶数时乘积为正）即可得出结果。首先结合三角形边长为正数的特点判断第一个因式的符号，再利用三角形三边关系“任意两边之和大于第三边”分别判断剩下两个因式的符号即可。
【解析】
∵a、b、c是△ABC的三边长，均为正数
∴第一个因式：$a+b+c ＞ 0$
根据三角形三边关系：三角形任意两边之和大于第三边
可得：$a+b ＞ c$，移项得$a+b - c ＞ 0$，即第二个因式为正
又
∵$b+c ＞ a$，移项得$a - (b+c) ＜ 0$，即第三个因式$a-b-c = a-(b+c) ＜ 0$
三个因式中，有2个正数、1个负数，负因数个数为奇数
∴三者的乘积$M ＜ 0$
【答案】
D
【知识点】
三角形三边关系；有理数乘法符号法则
【点评】
本题解题核心是利用三角形三边关系判断各个因式的正负，再结合乘法符号规律判断乘积的符号，需要注意对含减法的因式进行合理变形，方便结合三边关系判断符号，是对基础性质应用的考查。
【难度系数】
0.8

12.[应用意识]如图，图中的五角星是用螺栓将两端打有孔的5根木条连接而构成的，它的形状不稳定.如果用在图中木条交叉点打孔加装螺栓的办法来达到使其形状稳定的目的，且所加螺栓尽可能少，那么需要添加螺栓（）

A.1个
B.2个
C.3个
D.4个

12.A

【分析】
解答本题的核心是利用三角形具有稳定性，而其他多边形不具有稳定性的性质。要让不稳定的五角星结构稳定，只需通过加装螺栓将结构分割为若干个三角形即可，同时要满足螺栓数量最少的要求：观察五角星的结构，它的木条交叉点处如果加装螺栓，就能把交叉的两根木条固定，只要固定1个交叉点，整个结构就会被划分成多个稳定的三角形，不需要额外加装更多螺栓。
【解析】
解：根据三角形具有稳定性的性质可知，若在五角星的任意一个木条交叉点处加装1个螺栓，可将交叉的两根木条固定，此时整个五角星的结构会被分割为多个三角形，利用三角形的稳定性，整个五角星的形状就可保持稳定，且此时添加的螺栓数量最少。
【答案】
A
【知识点】
三角形的稳定性
【点评】
本题结合生活实际考查三角形稳定性的应用，解题时要紧扣“螺栓尽可能少”的要求，不要盲目多加螺栓，只要能通过固定点将整体结构转化为三角形稳定结构即可。
【难度系数】
0.7

13.(易错题)如图,用四条线段首尾相接连成一个可拉动的框架,其中$AB=12$,$BC=14$,$CD=18$,$DA=24$,则$A$,$B$,$C$,$D$任意两点之间的最长距离为.

13.32

【分析】
解题思路：首先明确可拉动的四边形具有不稳定性，要得到任意两点的最长距离，需将四边形的两条相邻边拉直共线，使图形变为三角形，再结合三角形三边关系（任意两边之和大于第三边）判断该情况是否成立，最后对所有成立情况的最大距离进行比较，得到最终结果。
思考步骤：①先列出所有相邻两边拼接的组合，计算拼接后的总长度；②将拼接后的长度与另外两条边作为三角形的三边，验证是否满足三角形三边关系；③保留满足条件的拼接长度，选出最大值即可。
【解析】
已知四边形框架四条边长为$AB=12$，$BC=14$，$CD=18$，$DA=24$，分四种情况讨论：
1. 将$AB$与$BC$拉直共线：拼接后长度为$12+14=26$，剩余两边为$24$、$18$。
验证：$18+24=42＞26$，满足三角形三边关系，此时两点最大距离为$26$；
2. 将$BC$与$CD$拉直共线：拼接后长度为$14+18=32$，剩余两边为$12$、$24$。
验证：$12+24=36＞32$，满足三角形三边关系，此时两点最大距离为$32$；
3. 将$CD$与$DA$拉直共线：拼接后长度为$18+24=42$，剩余两边为$12$、$14$。
验证：$12+14=26＜42$，不满足三角形三边关系，该情况舍去；
4. 将$DA$与$AB$拉直共线：拼接后长度为$24+12=36$，剩余两边为$14$、$18$。
验证：$14+18=32＜36$，不满足三角形三边关系，该情况舍去。
对比所有可行情况的最大距离，$32＞26$，因此最长距离为$32$。
【答案】
32
【知识点】
三角形三边关系，四边形的不稳定性
【点评】
本题属于易错题，解题的关键是不要忽略拼接后需要验证三角形三边关系，不能直接将最长的两条边相加得到结果，需要逐一排查所有可能的拼接情况，确保符合几何图形的构成条件。
【难度系数】
0.6

14.[分类讨论思想]用一条长为 30 cm 的细绳围成一个等腰三角形.
(1)如果底边长是腰长的一半,求各边长;
(2)能围成其中一条边长为7 cm 的等腰三角形吗？如果能,请求出它的另两条边.

14.解:(1)设底边长为 x cm,则腰长为 2x cm.
由题意,得 x+2x+2x=30,解得 x=6.
故 2x=12.
∴各边长为 6 cm,12 cm,12 cm.
(2)能.理由如下:
①若腰长为 7 cm,设底边长为 y cm,
则 7+7+y=30,解得 y=16.
此时三边长为 7 cm,7 cm,16 cm.
∵7+7＜16,
∴不能围成三角形;
②若底边长为 7 cm,设腰长为 z cm,
则 7+z+z=30,解得 z=11.5.
此时三边长为 7 cm,11.5 cm,11.5 cm,能围成三角形.
∴它的另两条边长分别为 11.5 cm,11.5 cm.

【分析】
(1) 本题是利用等腰三角形周长求边长的基础题，已知底边长和腰长的数量关系，我们可以先设底边长为未知数，用含未知数的式子表示腰长，再结合细绳总长度即三角形周长列一元一次方程求解，最后验证所得边长是否满足三角形三边关系即可。
(2) 题目仅给出一条边长为7cm，未明确该边是腰还是底边，因此需要分类讨论：①假设7cm为腰长，计算底边长后验证三边是否能构成三角形；②假设7cm为底边长，计算腰长后再验证三边关系，排除不能构成三角形的情况，就能得到正确结果。
【解析】
(1) 设底边长为$ x \, \mathrm{cm} $，由底边长是腰长的一半可知腰长为$ 2x \, \mathrm{cm} $。
根据三角形周长为30cm，列方程得：
$ x + 2x + 2x = 30 $
解得$ x = 6 $，则腰长为$ 2x = 2 × 6 = 12 \, \mathrm{cm} $。
验证：$ 6 + 12 ＞ 12 $，满足三角形三边关系。
(2) 分两种情况讨论：
① 若腰长为7cm，设底边长为$ y \, \mathrm{cm} $，根据周长列方程：
$ 7 + 7 + y = 30 $，解得$ y = 16 $。
此时三边长为7cm，7cm，16cm，因$ 7 + 7 = 14 ＜ 16 $，不满足三角形两边之和大于第三边，该情况舍去，不能构成三角形。
② 若底边长为7cm，设腰长为$ z \, \mathrm{cm} $，根据周长列方程：
$ 7 + z + z = 30 $，解得$ z = 11.5 $。
此时三边长为7cm，11.5cm，11.5cm，验证得$ 7 + 11.5 ＞ 11.5 $，满足三角形三边关系，可以构成三角形。
【答案】
(1) 三边长分别为6cm，12cm，12cm；
(2) 能围成，另两条边长分别为11.5cm，11.5cm。
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形三边关系；一元一次方程的应用
【点评】
本题重点考查分类讨论思想的应用，解决等腰三角形边长相关问题时，若未明确已知边的类型（腰/底边），需分情况讨论，所有情况计算完成后都要验证是否满足三角形三边关系，避免出现不符合要求的解。
【难度系数】
0.7

15.[数形结合思想]已知P是△ABC内任意一点.
(1)如图1,求证:AB+AC＞PB+PC;
(2)如图2,连接PA,比较$\frac{1}{2}(AB+BC+AC)$与PA+PB+PC的大小关系,并说明理由.

15.(1)证明:延长 BP,交 AC 于点 D.
在△ABD 中,AB+AD＞PB+PD,
在△PCD 中,PD+DC＞PC,
所以 AB+AD+PD+DC＞PB+PD+PC,
即 AB+AC＞PB+PC.
(2)解:$PA+PB+PC＞\frac{1}{2}(AB+BC+AC)$.
理由:在△ABP 中,PA+PB＞AB.
同理,PB+PC＞BC,PA+PC＞AC.
以上三式分别相加,得
$2(PA+PB+PC)＞AB+BC+AC$,
即 $PA+PB+PC＞\frac{1}{2}(AB+BC+AC)$.

【分析】
(1)要证明AB+AC＞PB+PC，直接在原三角形中无法找到对应线段的不等关系，因此通过延长BP交AC于点D构造两个新的三角形，分别在两个三角形中利用“三角形两边之和大于第三边”列出不等式，再将两个不等式相加，消去公共线段PD后即可推导出结论。
(2)要比较PA+PB+PC和$\frac{1}{2}(AB+BC+AC)$的大小，可分别在△ABP、△BCP、△ACP中利用三角形三边关系列出三个不等式，将三个不等式相加后，对所得不等式进行变形即可得到两者的大小关系。
【解析】
(1)证明：延长BP，交AC于点D。
在△ABD中，根据三角形两边之和大于第三边，得AB+AD＞PB+PD，
在△PCD中，同理可得PD+DC＞PC，
将上述两个不等式左右两边分别相加，得AB+AD+PD+DC＞PB+PD+PC，
消去两边的PD，且AD+DC=AC，因此AB+AC＞PB+PC。
(2)解：$PA+PB+PC＞\frac{1}{2}(AB+BC+AC)$，理由如下：
在△ABP中，根据三角形两边之和大于第三边，得PA+PB＞AB，
同理，在△BCP中，PB+PC＞BC，
在△ACP中，PA+PC＞AC，
将上述三个不等式左右两边分别相加，得$2(PA+PB+PC)＞AB+BC+AC$，
不等式两边同时除以2，得$PA+PB+PC＞\frac{1}{2}(AB+BC+AC)$。
【答案】
(1)AB+AC＞PB+PC；
(2)$PA+PB+PC＞\frac{1}{2}(AB+BC+AC)$
【知识点】
三角形三边关系，不等式的基本性质
【点评】
本题侧重三角形三边关系的灵活应用，解题的关键是通过构造辅助线、拆分图形转化线段关系，结合不等式运算推导结论，能够锻炼逻辑推理和数形结合的思维能力。
【难度系数】
0.6