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8.已知$A(3,y_1),B(4,y_2)$是直线$y=(k-1)x+b$上的两点，若$y_2＜y_1$，则$k$的取值范围是
$k＜1$
。答案
$k＜1$
解析
【分析】
首先观察A、B两点的横坐标，可知横坐标4大于3，结合已知y₂＜y₁，可得出该一次函数y随x的增大而减小；再根据一次函数的性质：一次函数y=mx+b中，当一次项系数m＜0时，y随x的增大而减小，即可列出关于k的不等式，解不等式即可得到k的取值范围。
【解析】
已知点A(3,y₁)、B(4,y₂)，可得横坐标3＜4，
又
∵y₂＜y₁，即x越大，对应的y值越小，
∴该一次函数y=(k-1)x+b的y随x的增大而减小，
根据一次函数的性质，一次项系数小于0时函数递减，即：
k-1 ＜ 0
解得k ＜ 1。
【答案】
$k＜1$
【知识点】
一次函数的性质；解一元一次不等式
【点评】
本题考查一次函数增减性与一次项系数的对应关系，属于基础题型，解题的关键是根据x、y的变化趋势判断函数的增减性，进而列出不等式求解。
【难度系数】
0.8
首先观察A、B两点的横坐标，可知横坐标4大于3，结合已知y₂＜y₁，可得出该一次函数y随x的增大而减小；再根据一次函数的性质：一次函数y=mx+b中，当一次项系数m＜0时，y随x的增大而减小，即可列出关于k的不等式，解不等式即可得到k的取值范围。
【解析】
已知点A(3,y₁)、B(4,y₂)，可得横坐标3＜4，
又
∵y₂＜y₁，即x越大，对应的y值越小，
∴该一次函数y=(k-1)x+b的y随x的增大而减小，
根据一次函数的性质，一次项系数小于0时函数递减，即：
k-1 ＜ 0
解得k ＜ 1。
【答案】
$k＜1$
【知识点】
一次函数的性质；解一元一次不等式
【点评】
本题考查一次函数增减性与一次项系数的对应关系，属于基础题型，解题的关键是根据x、y的变化趋势判断函数的增减性，进而列出不等式求解。
【难度系数】
0.8
9.某校评选先进班集体，从“学习”“卫生”“纪律”“活动参与”四个方面综合考核打分，各项满分均为100分，所占比例如下表所示：
若某班这四项得分依次为85分，90分，100分，90分，则该班四项综合得分为
若某班这四项得分依次为85分，90分，100分，90分，则该班四项综合得分为
90
分。答案
90
解析
【分析】
本题是加权平均数的实际应用问题，解题思路为：题目中给出的各项目所占比例就是对应项的权重，综合得分需要用每个项目的得分乘以对应项目的权重，再将所有项的计算结果相加，即可得到最终的综合得分。
【解析】
根据加权平均数的计算规则，分步计算如下：
1. 学习项加权得分：$85×40\%=85×0.4=34$
2. 卫生项加权得分：$90×30\%=90×0.3=27$
3. 纪律项加权得分：$100×20\%=100×0.2=20$
4. 活动参与项加权得分：$90×10\%=90×0.1=9$
将四项加权得分求和：$34+27+20+9=90$（分）
【答案】
90
【知识点】
加权平均数计算
【点评】
本题结合评优场景考查加权平均数的实际应用，解题核心是准确对应每个项目的得分和权重，按加权平均数的计算规则运算即可，计算量小，难度较低。
【难度系数】
0.9
本题是加权平均数的实际应用问题，解题思路为：题目中给出的各项目所占比例就是对应项的权重，综合得分需要用每个项目的得分乘以对应项目的权重，再将所有项的计算结果相加，即可得到最终的综合得分。
【解析】
根据加权平均数的计算规则，分步计算如下：
1. 学习项加权得分：$85×40\%=85×0.4=34$
2. 卫生项加权得分：$90×30\%=90×0.3=27$
3. 纪律项加权得分：$100×20\%=100×0.2=20$
4. 活动参与项加权得分：$90×10\%=90×0.1=9$
将四项加权得分求和：$34+27+20+9=90$（分）
【答案】
90
【知识点】
加权平均数计算
【点评】
本题结合评优场景考查加权平均数的实际应用，解题核心是准确对应每个项目的得分和权重，按加权平均数的计算规则运算即可，计算量小，难度较低。
【难度系数】
0.9
10. 将定理“对顶角相等”改写成“如果……，那么……”的形式：。。
答案
如果两个角是对顶角,那么这两个角相等
解析
【分析】
要将命题改写为“如果……，那么……”的形式，首先要明确命题由条件和结论两部分组成，“如果”后接命题的条件，“那么”后接命题的结论。我们先拆分“对顶角相等”的条件和结论：条件是“两个角是对顶角”，结论是“这两个角相等”，再按规范格式组合即可。
【解析】
第一步：拆分原命题的组成，原命题“对顶角相等”的前提条件为“两个角是对顶角”，推导得出的结论为“这两个角相等”；
第二步：按照“如果+条件，那么+结论”的格式组合语句，确保表述通顺完整，得到改写结果。
【答案】
如果两个角是对顶角,那么这两个角相等
【知识点】
命题的改写；对顶角的性质
【点评】
本题属于基础考题，解题核心是准确区分命题的条件和结论，改写时要注意表述完整，避免出现成分残缺的语病。
【难度系数】
0.9
要将命题改写为“如果……，那么……”的形式，首先要明确命题由条件和结论两部分组成，“如果”后接命题的条件，“那么”后接命题的结论。我们先拆分“对顶角相等”的条件和结论：条件是“两个角是对顶角”，结论是“这两个角相等”，再按规范格式组合即可。
【解析】
第一步：拆分原命题的组成，原命题“对顶角相等”的前提条件为“两个角是对顶角”，推导得出的结论为“这两个角相等”；
第二步：按照“如果+条件，那么+结论”的格式组合语句，确保表述通顺完整，得到改写结果。
【答案】
如果两个角是对顶角,那么这两个角相等
【知识点】
命题的改写；对顶角的性质
【点评】
本题属于基础考题，解题核心是准确区分命题的条件和结论，改写时要注意表述完整，避免出现成分残缺的语病。
【难度系数】
0.9
11.如图,在长方形ABCD中,E,F分别是AD,BC上的点,将长方形ABCD沿EF所在的直线折叠,使点C,D分别落在点$C'$,$D'$处,$C'D'$交BC边于点G。若$∠DEF=70°$,则$∠C'GF$的大小为
50
°。答案
50
解析
【分析】
首先利用长方形对边平行的性质，得到AD//BC，结合平行线的内错角相等可求出∠EFG的度数；再根据平行线的同旁内角互补求出∠EFC的度数，利用折叠前后对应角相等得到∠EFC'=∠EFC，进而求出∠GFC'的度数；最后根据折叠后∠C'=∠C=90°，利用三角形内角和即可求出∠C'GF的度数。
【解析】
解：
∵ 四边形ABCD是长方形
∴ AD//BC，∠C=90°
∴ ∠EFG = ∠DEF = 70°（两直线平行，内错角相等）
∠DEF + ∠EFC = 180°（两直线平行，同旁内角互补）
∴ ∠EFC = 180° - 70° = 110°
由折叠的性质可知：∠EFC' = ∠EFC = 110°，∠C' = ∠C = 90°
∴ ∠GFC' = ∠EFC' - ∠EFG = 110° - 70° = 40°
在△C'GF中，∠C'GF + ∠GFC' + ∠C' = 180°
∴ ∠C'GF = 180° - 90° - 40° = 50°
【答案】
50
【知识点】
长方形的性质；平行线的性质；折叠的性质
【点评】
本题综合考查了折叠变换、平行线及直角三角形的相关性质，解题的关键是抓住折叠前后对应角相等的特点，结合平行线的性质逐步推导角度关系。
【难度系数】
0.7
首先利用长方形对边平行的性质，得到AD//BC，结合平行线的内错角相等可求出∠EFG的度数；再根据平行线的同旁内角互补求出∠EFC的度数，利用折叠前后对应角相等得到∠EFC'=∠EFC，进而求出∠GFC'的度数；最后根据折叠后∠C'=∠C=90°，利用三角形内角和即可求出∠C'GF的度数。
【解析】
解：
∵ 四边形ABCD是长方形
∴ AD//BC，∠C=90°
∴ ∠EFG = ∠DEF = 70°（两直线平行，内错角相等）
∠DEF + ∠EFC = 180°（两直线平行，同旁内角互补）
∴ ∠EFC = 180° - 70° = 110°
由折叠的性质可知：∠EFC' = ∠EFC = 110°，∠C' = ∠C = 90°
∴ ∠GFC' = ∠EFC' - ∠EFG = 110° - 70° = 40°
在△C'GF中，∠C'GF + ∠GFC' + ∠C' = 180°
∴ ∠C'GF = 180° - 90° - 40° = 50°
【答案】
50
【知识点】
长方形的性质；平行线的性质；折叠的性质
【点评】
本题综合考查了折叠变换、平行线及直角三角形的相关性质，解题的关键是抓住折叠前后对应角相等的特点，结合平行线的性质逐步推导角度关系。
【难度系数】
0.7
12.在平面直角坐标系中，直线$AB:y=\frac{3}{4}x+6$与$x$轴、$y$轴分别相交于点$A$和点$B$，$P$是第二象限内的点。若$△ PAB$为等腰直角三角形，则点$P$的坐标为
$(-6,14)$或$(-14,8)$或$(-7,7)$
。答案
$(-6,14)$或$(-14,8)$或$(-7,7)$
解析
【分析】
首先求出直线AB与坐标轴的交点A、B的坐标，再分三种情况讨论等腰直角$△ PAB$的直角顶点：①直角顶点为A，②直角顶点为B，③直角顶点为P。针对每种情况，构造“三垂直”全等三角形，利用全等三角形对应边相等的性质，结合点P在第二象限的位置特征，计算出点P的坐标。
【解析】
先求点A、B的坐标：
对于直线$y=\frac{3}{4}x+6$，
令$y=0$，则$\frac{3}{4}x+6=0$，解得$x=-8$，故$A(-8,0)$，$OA=8$；
令$x=0$，则$y=6$，故$B(0,6)$，$OB=6$。
分三种情况讨论：
1. 当$∠ PAB=90°$，$PA=AB$时：
过点P作$PM⊥ x$轴于点M，
$\because ∠ PAM + ∠ BAO = 90°$，$∠ BAO + ∠ ABO = 90°$，
$\therefore ∠ PAM = ∠ ABO$，
又$\because ∠ PMA = ∠ AOB = 90°$，$PA=AB$，
$\therefore △ PAM ≌ △ ABO$（AAS），
$\therefore PM=OA=8$，$AM=OB=6$，
$\therefore$点M的横坐标为$-8 - 6 = -14$，点P的纵坐标为$0+8=8$，即$P(-14,8)$，符合第二象限要求。
2. 当$∠ PBA=90°$，$PB=AB$时：
过点P作$PN⊥ y$轴于点N，
$\because ∠ PBN + ∠ ABO = 90°$，$∠ ABO + ∠ BAO = 90°$，
$\therefore ∠ PBN = ∠ BAO$，
又$\because ∠ PNB = ∠ BOA = 90°$，$PB=AB$，
$\therefore △ PBN ≌ △ BAO$（AAS），
$\therefore PN=OB=6$，$BN=OA=8$，
$\therefore$点P的横坐标为$0 - 6 = -6$，纵坐标为$6+8=14$，即$P(-6,14)$，符合第二象限要求。
3. 当$∠ APB=90°$，$PA=PB$时：
过点P作水平直线l，过A作$AE⊥ l$于E，过B作$BF⊥ l$于F，
$\because ∠ EPA + ∠ FPB = 90°$，$∠ EPA + ∠ EAP = 90°$，
$\therefore ∠ FPB = ∠ EAP$，
又$\because ∠ PEA = ∠ BFP = 90°$，$PA=PB$，
$\therefore △ PEA ≌ △ BFP$（AAS），
$\therefore PE=BF$，$AE=PF$。
设$P(x,y)$（$x＜0,y＞0$），则$PE=x - (-8)=x+8$，$BF=y - 6$，$AE=y - 0=y$，$PF=0 - x=-x$，
可得方程组：$\begin{cases}x+8=y-6\\y=-x\end{cases}$，
解得$\begin{cases}x=-7\\y=7\end{cases}$，即$P(-7,7)$，符合第二象限要求。
【答案】
$(-6,14)$或$(-14,8)$或$(-7,7)$
【知识点】
一次函数的图象性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质
【点评】
本题考查一次函数与几何的综合应用，解题关键是对等腰直角三角形的直角顶点进行分类讨论，通过构造三垂直全等模型建立边的数量关系求解坐标，解题时需注意结合点所在象限判断坐标符号，避免漏解。
【难度系数】
0.3
首先求出直线AB与坐标轴的交点A、B的坐标，再分三种情况讨论等腰直角$△ PAB$的直角顶点：①直角顶点为A，②直角顶点为B，③直角顶点为P。针对每种情况，构造“三垂直”全等三角形，利用全等三角形对应边相等的性质，结合点P在第二象限的位置特征，计算出点P的坐标。
【解析】
先求点A、B的坐标：
对于直线$y=\frac{3}{4}x+6$，
令$y=0$，则$\frac{3}{4}x+6=0$，解得$x=-8$，故$A(-8,0)$，$OA=8$；
令$x=0$，则$y=6$，故$B(0,6)$，$OB=6$。
分三种情况讨论：
1. 当$∠ PAB=90°$，$PA=AB$时：
过点P作$PM⊥ x$轴于点M，
$\because ∠ PAM + ∠ BAO = 90°$，$∠ BAO + ∠ ABO = 90°$，
$\therefore ∠ PAM = ∠ ABO$，
又$\because ∠ PMA = ∠ AOB = 90°$，$PA=AB$，
$\therefore △ PAM ≌ △ ABO$（AAS），
$\therefore PM=OA=8$，$AM=OB=6$，
$\therefore$点M的横坐标为$-8 - 6 = -14$，点P的纵坐标为$0+8=8$，即$P(-14,8)$，符合第二象限要求。
2. 当$∠ PBA=90°$，$PB=AB$时：
过点P作$PN⊥ y$轴于点N，
$\because ∠ PBN + ∠ ABO = 90°$，$∠ ABO + ∠ BAO = 90°$，
$\therefore ∠ PBN = ∠ BAO$，
又$\because ∠ PNB = ∠ BOA = 90°$，$PB=AB$，
$\therefore △ PBN ≌ △ BAO$（AAS），
$\therefore PN=OB=6$，$BN=OA=8$，
$\therefore$点P的横坐标为$0 - 6 = -6$，纵坐标为$6+8=14$，即$P(-6,14)$，符合第二象限要求。
3. 当$∠ APB=90°$，$PA=PB$时：
过点P作水平直线l，过A作$AE⊥ l$于E，过B作$BF⊥ l$于F，
$\because ∠ EPA + ∠ FPB = 90°$，$∠ EPA + ∠ EAP = 90°$，
$\therefore ∠ FPB = ∠ EAP$，
又$\because ∠ PEA = ∠ BFP = 90°$，$PA=PB$，
$\therefore △ PEA ≌ △ BFP$（AAS），
$\therefore PE=BF$，$AE=PF$。
设$P(x,y)$（$x＜0,y＞0$），则$PE=x - (-8)=x+8$，$BF=y - 6$，$AE=y - 0=y$，$PF=0 - x=-x$，
可得方程组：$\begin{cases}x+8=y-6\\y=-x\end{cases}$，
解得$\begin{cases}x=-7\\y=7\end{cases}$，即$P(-7,7)$，符合第二象限要求。
【答案】
$(-6,14)$或$(-14,8)$或$(-7,7)$
【知识点】
一次函数的图象性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质
【点评】
本题考查一次函数与几何的综合应用，解题关键是对等腰直角三角形的直角顶点进行分类讨论，通过构造三垂直全等模型建立边的数量关系求解坐标，解题时需注意结合点所在象限判断坐标符号，避免漏解。
【难度系数】
0.3
三、解答题
13.(1)解方程组：$\begin{cases}2x - y = 4, \\5x + 4y = -3。\end{cases}$
(2)计算：$(\sqrt{10} + 3)(\sqrt{10} - 3) - (\sqrt{3} - 3) × \sqrt{3}$。
13.(1)解方程组：$\begin{cases}2x - y = 4, \\5x + 4y = -3。\end{cases}$
(2)计算：$(\sqrt{10} + 3)(\sqrt{10} - 3) - (\sqrt{3} - 3) × \sqrt{3}$。
答案
(1) $\begin{cases} x=1, \\ y=-2 \end{cases}$
(2) 原式$=10-9-3+3\sqrt{3}=3\sqrt{3}-2$
(2) 原式$=10-9-3+3\sqrt{3}=3\sqrt{3}-2$
解析
【分析】
(1) 本题是解二元一次方程组，观察到第一个方程中$y$的系数为$-1$，优先选用代入消元法：首先将第一个方程变形为用含$x$的代数式表示$y$，再代入第二个方程消去$y$，求出$x$的值后回代求出$y$的值，即可得到方程组的解。也可通过加减消元法，给第一个方程乘4后与第二个方程相加消去$y$求解。
(2) 本题是二次根式的混合运算，按运算顺序先算乘法：第一个乘积项符合平方差公式的特征，可直接用公式简化计算；第二个乘积项用乘法分配律展开，注意去括号时的符号变化，最后合并同类项得到结果。
【解析】
(1) 记$\begin{cases}2x - y = 4&① \\5x + 4y = -3&②\end{cases}$
由①移项得：$y = 2x - 4$ ③
将③代入②得：$5x + 4(2x - 4) = -3$
展开得：$5x + 8x - 16 = -3$
合并同类项得：$13x = 13$
解得：$x = 1$
把$x=1$代入③得：$y = 2×1 - 4 = -2$
(2) 利用平方差公式和乘法分配律展开计算：
$\begin{aligned}原式&= (\sqrt{10})^2 - 3^2 - (\sqrt{3}×\sqrt{3} - 3×\sqrt{3}) \\&= 10 - 9 - (3 - 3\sqrt{3}) \\&= 1 - 3 + 3\sqrt{3} \\&= 3\sqrt{3} - 2\end{aligned}$
【答案】
(1) $\begin{cases} x=1, \\ y=-2 \end{cases}$
(2) $3\sqrt{3}-2$
【知识点】
二元一次方程组的解法；二次根式的混合运算；乘法公式的应用
【点评】
本题属于基础运算类题目，重点考察消元思想在解方程组中的应用，以及二次根式运算与整式乘法公式的结合使用，计算时注意去括号的符号变化，细心运算即可得分。
【难度系数】
0.8
(1) 本题是解二元一次方程组，观察到第一个方程中$y$的系数为$-1$，优先选用代入消元法：首先将第一个方程变形为用含$x$的代数式表示$y$，再代入第二个方程消去$y$，求出$x$的值后回代求出$y$的值，即可得到方程组的解。也可通过加减消元法，给第一个方程乘4后与第二个方程相加消去$y$求解。
(2) 本题是二次根式的混合运算，按运算顺序先算乘法：第一个乘积项符合平方差公式的特征，可直接用公式简化计算；第二个乘积项用乘法分配律展开，注意去括号时的符号变化，最后合并同类项得到结果。
【解析】
(1) 记$\begin{cases}2x - y = 4&① \\5x + 4y = -3&②\end{cases}$
由①移项得：$y = 2x - 4$ ③
将③代入②得：$5x + 4(2x - 4) = -3$
展开得：$5x + 8x - 16 = -3$
合并同类项得：$13x = 13$
解得：$x = 1$
把$x=1$代入③得：$y = 2×1 - 4 = -2$
(2) 利用平方差公式和乘法分配律展开计算：
$\begin{aligned}原式&= (\sqrt{10})^2 - 3^2 - (\sqrt{3}×\sqrt{3} - 3×\sqrt{3}) \\&= 10 - 9 - (3 - 3\sqrt{3}) \\&= 1 - 3 + 3\sqrt{3} \\&= 3\sqrt{3} - 2\end{aligned}$
【答案】
(1) $\begin{cases} x=1, \\ y=-2 \end{cases}$
(2) $3\sqrt{3}-2$
【知识点】
二元一次方程组的解法；二次根式的混合运算；乘法公式的应用
【点评】
本题属于基础运算类题目，重点考察消元思想在解方程组中的应用，以及二次根式运算与整式乘法公式的结合使用，计算时注意去括号的符号变化，细心运算即可得分。
【难度系数】
0.8
14.如图,一架长2.5 m 的梯子 AB 斜靠在竖直的墙上,这时梯子底端 B 离墙 0.7 m。
(1)此时梯子顶端 A 离地面多少米?
(2)当梯子顶端 A 下滑 0.4 m 到点 C 时,梯子底端 B 将向左滑动多少米到点 D?
(1)此时梯子顶端 A 离地面多少米?
(2)当梯子顶端 A 下滑 0.4 m 到点 C 时,梯子底端 B 将向左滑动多少米到点 D?
答案
(1) $\because$ 在$\mathrm{Rt}△ ABO$中,$AB=2.5\ \mathrm{m}$,
$OB=0.7\ \mathrm{m}$,$∠ AOB=90°$,
$\therefore OA=\sqrt{AB^2-OB^2}=2.4(\mathrm{m})$。
$\therefore$梯子顶端$A$离地面$2.4\ \mathrm{m}$。
(2) $\because$ 在$\mathrm{Rt}△ CDO$中,$CD=2.5\ \mathrm{m}$,
$OC=2.4-0.4=2(\mathrm{m})$,$∠ COD=90°$,
$\therefore OD=\sqrt{CD^2-OC^2}=1.5(\mathrm{m})$。
$\therefore BD=OD-OB=0.8(\mathrm{m})$。
$\therefore$梯子底端$B$将向左滑动$0.8\ \mathrm{m}$到点$D$。
$OB=0.7\ \mathrm{m}$,$∠ AOB=90°$,
$\therefore OA=\sqrt{AB^2-OB^2}=2.4(\mathrm{m})$。
$\therefore$梯子顶端$A$离地面$2.4\ \mathrm{m}$。
(2) $\because$ 在$\mathrm{Rt}△ CDO$中,$CD=2.5\ \mathrm{m}$,
$OC=2.4-0.4=2(\mathrm{m})$,$∠ COD=90°$,
$\therefore OD=\sqrt{CD^2-OC^2}=1.5(\mathrm{m})$。
$\therefore BD=OD-OB=0.8(\mathrm{m})$。
$\therefore$梯子底端$B$将向左滑动$0.8\ \mathrm{m}$到点$D$。
解析
【分析】
本题是勾股定理在实际生活中的应用问题，解题思路如下：
(1) 墙面与地面互相垂直，因此$△ ABO$是直角三角形，已知梯子长度$AB$为斜边、底端到墙的距离$OB$为直角边，直接用勾股定理即可求出另一条直角边$OA$的长度，也就是梯子顶端离地面的高度。
(2) 梯子滑动过程中自身长度不变，因此$CD=AB$；先计算下滑后顶端到地面的高度$OC=OA-$下滑距离，再在$\mathrm{Rt}△ CDO$中用勾股定理求出$OD$的长度，最后用$OD$减去原$OB$的长度，就得到梯子底端滑动的距离$BD$。
【解析】
(1) 在$\mathrm{Rt}△ ABO$中，$AB=2.5\ \mathrm{m}$，$OB=0.7\ \mathrm{m}$，$∠ AOB=90°$，
由勾股定理得：
$OA=\sqrt{AB^2-OB^2}=\sqrt{2.5^2 - 0.7^2}=\sqrt{5.76}=2.4(\mathrm{m})$。
(2) 梯子顶端下滑到$C$点时，$OC=OA - 0.4=2.4 - 0.4=2(\mathrm{m})$，
梯子长度不变，因此$CD=AB=2.5\ \mathrm{m}$，在$\mathrm{Rt}△ CDO$中，$∠ COD=90°$，
由勾股定理得：
$OD=\sqrt{CD^2-OC^2}=\sqrt{2.5^2 - 2^2}=\sqrt{2.25}=1.5(\mathrm{m})$，
则滑动距离$BD=OD - OB=1.5 - 0.7=0.8(\mathrm{m})$。
【答案】
(1) 梯子顶端$A$离地面$\boldsymbol{2.4\ \mathrm{m}}$；
(2) 梯子底端$B$将向左滑动$\boldsymbol{0.8\ \mathrm{m}}$到点$D$。
【知识点】
勾股定理；直角三角形实际应用
【点评】
本题是勾股定理的典型基础应用题，解题核心是抓住梯子长度不变的隐含条件，将实际场景转化为直角三角形的边长计算问题，只要熟练掌握勾股定理的计算方法就能顺利解答。
【难度系数】
0.8
本题是勾股定理在实际生活中的应用问题，解题思路如下：
(1) 墙面与地面互相垂直，因此$△ ABO$是直角三角形，已知梯子长度$AB$为斜边、底端到墙的距离$OB$为直角边，直接用勾股定理即可求出另一条直角边$OA$的长度，也就是梯子顶端离地面的高度。
(2) 梯子滑动过程中自身长度不变，因此$CD=AB$；先计算下滑后顶端到地面的高度$OC=OA-$下滑距离，再在$\mathrm{Rt}△ CDO$中用勾股定理求出$OD$的长度，最后用$OD$减去原$OB$的长度，就得到梯子底端滑动的距离$BD$。
【解析】
(1) 在$\mathrm{Rt}△ ABO$中，$AB=2.5\ \mathrm{m}$，$OB=0.7\ \mathrm{m}$，$∠ AOB=90°$，
由勾股定理得：
$OA=\sqrt{AB^2-OB^2}=\sqrt{2.5^2 - 0.7^2}=\sqrt{5.76}=2.4(\mathrm{m})$。
(2) 梯子顶端下滑到$C$点时，$OC=OA - 0.4=2.4 - 0.4=2(\mathrm{m})$，
梯子长度不变，因此$CD=AB=2.5\ \mathrm{m}$，在$\mathrm{Rt}△ CDO$中，$∠ COD=90°$，
由勾股定理得：
$OD=\sqrt{CD^2-OC^2}=\sqrt{2.5^2 - 2^2}=\sqrt{2.25}=1.5(\mathrm{m})$，
则滑动距离$BD=OD - OB=1.5 - 0.7=0.8(\mathrm{m})$。
【答案】
(1) 梯子顶端$A$离地面$\boldsymbol{2.4\ \mathrm{m}}$；
(2) 梯子底端$B$将向左滑动$\boldsymbol{0.8\ \mathrm{m}}$到点$D$。
【知识点】
勾股定理；直角三角形实际应用
【点评】
本题是勾股定理的典型基础应用题，解题核心是抓住梯子长度不变的隐含条件，将实际场景转化为直角三角形的边长计算问题，只要熟练掌握勾股定理的计算方法就能顺利解答。
【难度系数】
0.8
