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6. 某品牌油电混合动力汽车从甲地行驶到乙地，若完全用油做动力行驶，则费用为80元；若完全用电做动力行驶，则费用为30元. 已知该品牌汽车在行驶中每千米用油的费用比用电的费用多0.5元.
(1)该品牌汽车在行驶中每千米用电的费用为多少元？甲、乙两地的距离为多少千米？
(2)若该品牌汽车从甲地到乙地采用油电混合动力行驶，且费用不超过50元，则至少需要用电行驶多少千米？
(1)该品牌汽车在行驶中每千米用电的费用为多少元？甲、乙两地的距离为多少千米？
(2)若该品牌汽车从甲地到乙地采用油电混合动力行驶，且费用不超过50元，则至少需要用电行驶多少千米？
答案
(1)该品牌汽车在行驶中每千米用电的费用为0.3元，甲、乙两地的距离为100 km.
(2)至少需要用电行驶60 km.
(2)至少需要用电行驶60 km.
解析
【分析】
(1) 第一问可依托“甲乙两地距离固定”这一等量关系求解。先设每千米用电费用为x元，可推出每千米用油费用为(x+0.5)元，根据“行驶距离=总费用÷每千米费用”，分别表示出完全用油、完全用电行驶的距离，两者相等即可列分式方程，解后检验根的合理性，再代入计算两地距离即可。
(2) 第二问围绕“总费用不超过50元”的不等关系解题。设用电行驶y千米，则用油行驶的距离为总距离减y，分别计算用电、用油的总费用，两者之和小于等于50元即可列一元一次不等式，求解后取最小值即可。
【解析】
(1) 设该品牌汽车行驶中每千米用电的费用为x元，则每千米用油的费用为$(x+0.5)$元。
由甲乙两地距离相等列方程：
$\frac{80}{x+0.5}=\frac{30}{x}$
交叉相乘得：$80x=30(x+0.5)$
去括号得：$80x=30x+15$
移项合并同类项得：$50x=15$
解得：$x=0.3$
检验：当$x=0.3$时，$x(x+0.5)=0.3×0.8=0.24≠0$，因此$x=0.3$是原分式方程的解，且符合实际意义。
甲乙两地的距离为：$\frac{30}{0.3}=100$（km）
(2) 设需要用电行驶y千米，则用油行驶$(100-y)$千米。
根据总费用不超过50元列不等式：
$0.3y + (0.3+0.5)(100-y)≤50$
化简得：$0.3y + 0.8(100-y)≤50$
去括号得：$0.3y +80 -0.8y≤50$
移项合并同类项得：$-0.5y≤-30$
系数化为1（不等号方向改变）得：$y≥60$
即y的最小值为60。
【答案】
(1)该品牌汽车在行驶中每千米用电的费用为0.3元，甲、乙两地的距离为100 km.
(2)至少需要用电行驶60 km.
【知识点】
分式方程的应用、一元一次不等式的应用
【点评】
本题结合生活实际考查方程与不等式的应用，解题核心是找准题目中的等量关系和不等关系，建立对应的数学模型求解，注意分式方程求解后必须检验根是否符合实际要求。
【难度系数】
0.6
(1) 第一问可依托“甲乙两地距离固定”这一等量关系求解。先设每千米用电费用为x元，可推出每千米用油费用为(x+0.5)元，根据“行驶距离=总费用÷每千米费用”，分别表示出完全用油、完全用电行驶的距离，两者相等即可列分式方程，解后检验根的合理性，再代入计算两地距离即可。
(2) 第二问围绕“总费用不超过50元”的不等关系解题。设用电行驶y千米，则用油行驶的距离为总距离减y，分别计算用电、用油的总费用，两者之和小于等于50元即可列一元一次不等式，求解后取最小值即可。
【解析】
(1) 设该品牌汽车行驶中每千米用电的费用为x元，则每千米用油的费用为$(x+0.5)$元。
由甲乙两地距离相等列方程：
$\frac{80}{x+0.5}=\frac{30}{x}$
交叉相乘得：$80x=30(x+0.5)$
去括号得：$80x=30x+15$
移项合并同类项得：$50x=15$
解得：$x=0.3$
检验：当$x=0.3$时，$x(x+0.5)=0.3×0.8=0.24≠0$，因此$x=0.3$是原分式方程的解，且符合实际意义。
甲乙两地的距离为：$\frac{30}{0.3}=100$（km）
(2) 设需要用电行驶y千米，则用油行驶$(100-y)$千米。
根据总费用不超过50元列不等式：
$0.3y + (0.3+0.5)(100-y)≤50$
化简得：$0.3y + 0.8(100-y)≤50$
去括号得：$0.3y +80 -0.8y≤50$
移项合并同类项得：$-0.5y≤-30$
系数化为1（不等号方向改变）得：$y≥60$
即y的最小值为60。
【答案】
(1)该品牌汽车在行驶中每千米用电的费用为0.3元，甲、乙两地的距离为100 km.
(2)至少需要用电行驶60 km.
【知识点】
分式方程的应用、一元一次不等式的应用
【点评】
本题结合生活实际考查方程与不等式的应用，解题核心是找准题目中的等量关系和不等关系，建立对应的数学模型求解，注意分式方程求解后必须检验根是否符合实际要求。
【难度系数】
0.6
7. 某企业承接了生产27 000件产品的任务，计划安排甲、乙两个车间共50名工人合作生产20天完成. 已知在现有生产设备的基础上，甲车间的工人每人每天可生产25件产品，乙车间的工人每人每天可生产30件产品.
(1)甲、乙两个车间各有多少名工人参与生产？
(2)为提前完成生产任务，该企业设计了如下两种方案. 方案一：甲车间租用先进的生产设备，使工人的工作效率提高20%；乙车间维持不变. 方案二：乙车间临时招聘若干名工人(假设其工作效率与原工人相同)，甲车间维持不变. 对于这两种方案，该企业完成生产任务所需的时间是相同的.
①方案二中，乙车间需要临时招聘多少名工人？
②已知甲车间租用先进生产设备的租金为900元/天，租用期间另需一次性支付运输等费用共计1 500元；乙车间需支付临时招聘的工人每人每天200元. 从新增加的费用考虑，选择哪种方案能更节省开支？请说明理由.
(1)甲、乙两个车间各有多少名工人参与生产？
(2)为提前完成生产任务，该企业设计了如下两种方案. 方案一：甲车间租用先进的生产设备，使工人的工作效率提高20%；乙车间维持不变. 方案二：乙车间临时招聘若干名工人(假设其工作效率与原工人相同)，甲车间维持不变. 对于这两种方案，该企业完成生产任务所需的时间是相同的.
①方案二中，乙车间需要临时招聘多少名工人？
②已知甲车间租用先进生产设备的租金为900元/天，租用期间另需一次性支付运输等费用共计1 500元；乙车间需支付临时招聘的工人每人每天200元. 从新增加的费用考虑，选择哪种方案能更节省开支？请说明理由.
答案
解：(1)设甲车间有 $x$ 名工人参与生产，
则乙车间有$(50-x)$名工人参与生产.
根据题意，得
$25x×20+30(50-x)×20=27\ 000.$
解得 $x=30.$
$50-x=20$(名).
$\therefore$甲车间有 30 名工人参与生产，乙车间有 20 名工人参与生产.
(2)①设方案二中乙车间需要临时招聘 $m$名工人.
根据题意，得
$\frac{27\ 000}{30×25×(1+20\%)+20×30}=\frac{27\ 000}{30×25+(20+m)×30}.$
解得 $m=5.$
经检验，$m=5$ 是原分式方程的解.
$\therefore$乙车间需要临时招聘 5 名工人.
②企业完成生产任务所需的时间为
$\frac{27\ 000}{30×25×(1+20\%)+20×30}=18$(天).
选择方案一需增加的费用为 $900×18+1\ 500=17\ 700$(元).
选择方案二需增加的费用为 $5×18×200=18\ 000$(元).
$\because 17\ 700＜18\ 000,$
$\therefore$选择方案一能更节省开支.
则乙车间有$(50-x)$名工人参与生产.
根据题意，得
$25x×20+30(50-x)×20=27\ 000.$
解得 $x=30.$
$50-x=20$(名).
$\therefore$甲车间有 30 名工人参与生产，乙车间有 20 名工人参与生产.
(2)①设方案二中乙车间需要临时招聘 $m$名工人.
根据题意，得
$\frac{27\ 000}{30×25×(1+20\%)+20×30}=\frac{27\ 000}{30×25+(20+m)×30}.$
解得 $m=5.$
经检验，$m=5$ 是原分式方程的解.
$\therefore$乙车间需要临时招聘 5 名工人.
②企业完成生产任务所需的时间为
$\frac{27\ 000}{30×25×(1+20\%)+20×30}=18$(天).
选择方案一需增加的费用为 $900×18+1\ 500=17\ 700$(元).
选择方案二需增加的费用为 $5×18×200=18\ 000$(元).
$\because 17\ 700＜18\ 000,$
$\therefore$选择方案一能更节省开支.
解析
【分析】
(1) 本题属于工程类实际应用问题，核心等量关系为：甲车间20天总产量+乙车间20天总产量=总任务量27000件。我们可以设甲车间参与生产的工人数为x，那么乙车间人数就是总人数50减去x，再结合“总产量=人数×单人日产量×生产天数”的公式，代入已知条件列一元一次方程即可求解。
(2) ①的核心等量关系是两种方案完成任务的时间相等，时间=总任务量÷每日总产能。先分别计算方案一（甲效率提高20%，乙不变）的每日总产能，再表示出方案二（甲不变，乙新增m名工人）的每日总产能，根据时间相等列分式方程，求解后要检验解是否符合实际意义。
②先通过方案一的产能算出共同的生产时间，再分别计算两种方案新增加的费用，比较费用大小就能判断哪种方案更节省。
【解析】
(1) 设甲车间有$x$名工人参与生产，则乙车间有$(50-x)$名工人参与生产。
根据总任务量的等量关系列方程：
$25x×20 + 30(50-x)×20 = 27000$
化简得：$500x + 30000 - 600x = 27000$
$-100x = -3000$
解得 $x=30$
则乙车间人数为$50-30=20$（名）
(2) ①设方案二中乙车间需要临时招聘$m$名工人。
根据两种方案耗时相等列方程：
$\frac{27000}{30×25×(1+20\%) + 20×30} = \frac{27000}{30×25 + (20+m)×30}$
计算得左边分母为1500，右边分母为$1350+30m$，方程可化为：
$18 = \frac{27000}{1350+30m}$
解得$m=5$
经检验，$m=5$是原分式方程的解，且符合实际意义。
②先计算企业完成生产任务的时间：
$\frac{27000}{30×25×(1+20\%) + 20×30} = 18$（天）
方案一新增费用：$900×18 + 1500 = 17700$（元）
方案二新增费用：$5×18×200 = 18000$（元）
因为$17700 ＜ 18000$，所以方案一更节省开支。
【答案】
(1) 甲车间有30名工人参与生产，乙车间有20名工人参与生产；
(2) ①方案二中乙车间需要临时招聘5名工人；
②选择方案一能更节省开支。
【知识点】
1. 一元一次方程应用
2. 分式方程应用
3. 方案优化选择
【点评】
本题结合实际生产场景设计问题，重点考察方程在实际问题中的应用，解题的关键是找准不同问题对应的等量关系，列方程求解时要注意分式方程需要检验解的合理性，题目难度适中，能有效锻炼学生利用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
(1) 本题属于工程类实际应用问题，核心等量关系为：甲车间20天总产量+乙车间20天总产量=总任务量27000件。我们可以设甲车间参与生产的工人数为x，那么乙车间人数就是总人数50减去x，再结合“总产量=人数×单人日产量×生产天数”的公式，代入已知条件列一元一次方程即可求解。
(2) ①的核心等量关系是两种方案完成任务的时间相等，时间=总任务量÷每日总产能。先分别计算方案一（甲效率提高20%，乙不变）的每日总产能，再表示出方案二（甲不变，乙新增m名工人）的每日总产能，根据时间相等列分式方程，求解后要检验解是否符合实际意义。
②先通过方案一的产能算出共同的生产时间，再分别计算两种方案新增加的费用，比较费用大小就能判断哪种方案更节省。
【解析】
(1) 设甲车间有$x$名工人参与生产，则乙车间有$(50-x)$名工人参与生产。
根据总任务量的等量关系列方程：
$25x×20 + 30(50-x)×20 = 27000$
化简得：$500x + 30000 - 600x = 27000$
$-100x = -3000$
解得 $x=30$
则乙车间人数为$50-30=20$（名）
(2) ①设方案二中乙车间需要临时招聘$m$名工人。
根据两种方案耗时相等列方程：
$\frac{27000}{30×25×(1+20\%) + 20×30} = \frac{27000}{30×25 + (20+m)×30}$
计算得左边分母为1500，右边分母为$1350+30m$，方程可化为：
$18 = \frac{27000}{1350+30m}$
解得$m=5$
经检验，$m=5$是原分式方程的解，且符合实际意义。
②先计算企业完成生产任务的时间：
$\frac{27000}{30×25×(1+20\%) + 20×30} = 18$（天）
方案一新增费用：$900×18 + 1500 = 17700$（元）
方案二新增费用：$5×18×200 = 18000$（元）
因为$17700 ＜ 18000$，所以方案一更节省开支。
【答案】
(1) 甲车间有30名工人参与生产，乙车间有20名工人参与生产；
(2) ①方案二中乙车间需要临时招聘5名工人；
②选择方案一能更节省开支。
【知识点】
1. 一元一次方程应用
2. 分式方程应用
3. 方案优化选择
【点评】
本题结合实际生产场景设计问题，重点考察方程在实际问题中的应用，解题的关键是找准不同问题对应的等量关系，列方程求解时要注意分式方程需要检验解的合理性，题目难度适中，能有效锻炼学生利用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
