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6. 如图是一副三角板，按如图①放置时，∠α与∠β的大小关系为
∠α＞∠β
；按如图②放置时，∠α与∠β的大小关系为∠α=∠β
。答案
$∠α＞∠β;∠α=∠β$
解析
【分析】
解题时首先要明确一副三角板各角的度数：等腰直角三角板的角为90°、45°、45°，另一个三角板的角为90°、60°、30°。对于图①，可结合平角定义分别计算∠α和∠β的度数再比较大小；对于图②，观察发现∠α和∠β都与同一个公共角组成平角，可利用补角的性质判断二者大小关系。
【解析】
1. 分析图①的情况：
平角的度数为180°，等腰直角三角板的锐角为45°，∠α与45°角组成平角，因此：
$∠α = 180° - 45° = 135°$
$∠β$为等腰直角三角板的锐角，度数为$45°$
因为$135°＞45°$，所以$∠α＞∠β$。
2. 分析图②的情况：
设两个三角板直角重叠的公共角为$∠ x$，根据平角定义：
$∠α + ∠ x = 180°$，$∠β + ∠ x = 180°$
根据同角的补角相等，可得$∠α = ∠β$。
【答案】
$∠α＞∠β;∠α=∠β$
【知识点】
角的大小比较；平角的定义；补角的性质
【点评】
本题结合三角板的摆放考查角的大小比较，解题的核心是熟悉三角板的角度特征，灵活运用平角定义和补角的性质分析角之间的关系，属于基础类题型，掌握相关概念即可轻松解题。
【难度系数】
0.8
解题时首先要明确一副三角板各角的度数：等腰直角三角板的角为90°、45°、45°，另一个三角板的角为90°、60°、30°。对于图①，可结合平角定义分别计算∠α和∠β的度数再比较大小；对于图②，观察发现∠α和∠β都与同一个公共角组成平角，可利用补角的性质判断二者大小关系。
【解析】
1. 分析图①的情况：
平角的度数为180°，等腰直角三角板的锐角为45°，∠α与45°角组成平角，因此：
$∠α = 180° - 45° = 135°$
$∠β$为等腰直角三角板的锐角，度数为$45°$
因为$135°＞45°$，所以$∠α＞∠β$。
2. 分析图②的情况：
设两个三角板直角重叠的公共角为$∠ x$，根据平角定义：
$∠α + ∠ x = 180°$，$∠β + ∠ x = 180°$
根据同角的补角相等，可得$∠α = ∠β$。
【答案】
$∠α＞∠β;∠α=∠β$
【知识点】
角的大小比较；平角的定义；补角的性质
【点评】
本题结合三角板的摆放考查角的大小比较，解题的核心是熟悉三角板的角度特征，灵活运用平角定义和补角的性质分析角之间的关系，属于基础类题型，掌握相关概念即可轻松解题。
【难度系数】
0.8
7. 已知α,β是两个钝角。计算$\frac{1}{6}(α+β)$的值，甲、乙、丙、丁四位同学算出四种不同的答案，分别是$28°,45°,61°,83°$，其中只有一个答案是正确的，则正确答案是(
A.$28°$
B.$45°$
C.$61°$
D.$83°$
①
②
B
)。A.$28°$
B.$45°$
C.$61°$
D.$83°$
①
②
答案
B。提示:因为α,β都是钝角,所以$180°＜α+β＜360°$,则$30°＜\frac{1}{6}(α+β)＜60°$
解析
【分析】
解题时首先回忆钝角的定义，先确定单个钝角的取值范围，再通过不等式的运算求出两个钝角和的取值范围，最后计算出$\frac{1}{6}(α+β)$的取值范围，对比四个选项，落在范围内的答案就是正确答案。
【解析】
根据钝角的定义，大于90°且小于180°的角为钝角。
已知α、β均为钝角，因此：
$90° ＜ α ＜ 180°$，$90° ＜ β ＜ 180°$
将两个不等式相加，可得：
$90°+90° ＜ α+β ＜ 180°+180°$
即$180° ＜ α+β ＜ 360°$
不等式三边同时除以6，得：
$\frac{180°}{6} ＜ \frac{1}{6}(α+β) ＜ \frac{360°}{6}$
化简得$30° ＜ \frac{1}{6}(α+β) ＜ 60°$
对比四个选项，只有$45°$落在$30°$到$60°$的范围内，因此正确答案为B。
【答案】
B
【知识点】
钝角的概念，不等式的性质，角度运算
【点评】
本题是基础题型，核心是掌握钝角的取值范围，结合不等式的性质推算出所求代数式的取值范围，即可快速筛选出正确答案，解题时要注意不等式同向相加、同时乘正数时不等号方向不变的规则。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆钝角的定义，先确定单个钝角的取值范围，再通过不等式的运算求出两个钝角和的取值范围，最后计算出$\frac{1}{6}(α+β)$的取值范围，对比四个选项，落在范围内的答案就是正确答案。
【解析】
根据钝角的定义，大于90°且小于180°的角为钝角。
已知α、β均为钝角，因此：
$90° ＜ α ＜ 180°$，$90° ＜ β ＜ 180°$
将两个不等式相加，可得：
$90°+90° ＜ α+β ＜ 180°+180°$
即$180° ＜ α+β ＜ 360°$
不等式三边同时除以6，得：
$\frac{180°}{6} ＜ \frac{1}{6}(α+β) ＜ \frac{360°}{6}$
化简得$30° ＜ \frac{1}{6}(α+β) ＜ 60°$
对比四个选项，只有$45°$落在$30°$到$60°$的范围内，因此正确答案为B。
【答案】
B
【知识点】
钝角的概念，不等式的性质，角度运算
【点评】
本题是基础题型，核心是掌握钝角的取值范围，结合不等式的性质推算出所求代数式的取值范围，即可快速筛选出正确答案，解题时要注意不等式同向相加、同时乘正数时不等号方向不变的规则。
【难度系数】
0.8
8. 如图。图中共有
9
个小于平角的角，其中锐角有4
个，钝角有4
个。答案
9;4;4
解析
【分析】
解题前先明确相关概念：平角是等于180°的角，锐角是大于0°且小于90°的角，钝角是大于90°且小于180°的角。数角时按照固定顺序，以每条射线为始边依次枚举，可避免重复或遗漏。首先计算所有小于平角的角的总数，再结合图中∠COD是直角的已知条件，对这些角进行分类统计即可。
【解析】
1. 数小于平角的角：
图中共有OA、OC、OD、OE、OB共5条射线，5条射线共可组成$\frac{5×4}{2}=10$个角，减去等于平角的∠AOB，剩余小于平角的角共$10-1=9$个，枚举如下：∠AOC、∠AOD、∠AOE、∠COD、∠COE、∠COB、∠DOE、∠DOB、∠EOB。
2. 分类统计锐角和钝角：
已知∠COD=90°，由平角定义得$∠ AOC+∠ COD+∠ DOB=180°$，因此$∠ AOC+∠ DOB=90°$，可知∠DOB是锐角。
锐角：∠AOC、∠DOE、∠EOB、∠DOB，共4个；
直角：∠COD，共1个；
钝角：∠AOD、∠AOE、∠COE、∠COB，共4个。
【答案】
9;4;4
【知识点】
角的计数；角的分类
【点评】
本题属于角度基础概念题，核心考查角的计数方法和不同类型角的判定标准，解题的关键是按顺序数角，不要漏数平角、也不要把平角计入小于平角的范围内，同时结合直角条件推导其余角的范围即可求解。
【难度系数】
0.7
解题前先明确相关概念：平角是等于180°的角，锐角是大于0°且小于90°的角，钝角是大于90°且小于180°的角。数角时按照固定顺序，以每条射线为始边依次枚举，可避免重复或遗漏。首先计算所有小于平角的角的总数，再结合图中∠COD是直角的已知条件，对这些角进行分类统计即可。
【解析】
1. 数小于平角的角：
图中共有OA、OC、OD、OE、OB共5条射线，5条射线共可组成$\frac{5×4}{2}=10$个角，减去等于平角的∠AOB，剩余小于平角的角共$10-1=9$个，枚举如下：∠AOC、∠AOD、∠AOE、∠COD、∠COE、∠COB、∠DOE、∠DOB、∠EOB。
2. 分类统计锐角和钝角：
已知∠COD=90°，由平角定义得$∠ AOC+∠ COD+∠ DOB=180°$，因此$∠ AOC+∠ DOB=90°$，可知∠DOB是锐角。
锐角：∠AOC、∠DOE、∠EOB、∠DOB，共4个；
直角：∠COD，共1个；
钝角：∠AOD、∠AOE、∠COE、∠COB，共4个。
【答案】
9;4;4
【知识点】
角的计数；角的分类
【点评】
本题属于角度基础概念题，核心考查角的计数方法和不同类型角的判定标准，解题的关键是按顺序数角，不要漏数平角、也不要把平角计入小于平角的范围内，同时结合直角条件推导其余角的范围即可求解。
【难度系数】
0.7
9. (1) 已知∠ABC是平角，过点B任作一条射线BD，将∠ABC分成∠DBC与∠DBA。当∠DBA是什么角时，分别满足下列条件：
①∠DBA＜∠DBC；②∠DBA=∠DBC；③∠DBA＞∠DBC。
(2) 变式:已知∠ABC是平角，过点B在∠ABC的上方任作两条不共线的射线BD，BE(BD在BE的左侧)，将平角分成若干个角。
①图中小于平角的角共有多少个？
②如果∠ABD是锐角，那么∠DBC一定是钝角吗？为什么？
③如果射线BE恰好是∠DBC的平分线，且∠ABD=50°，那么图中哪一个角最大？是多少度？
①∠DBA＜∠DBC；②∠DBA=∠DBC；③∠DBA＞∠DBC。
(2) 变式:已知∠ABC是平角，过点B在∠ABC的上方任作两条不共线的射线BD，BE(BD在BE的左侧)，将平角分成若干个角。
①图中小于平角的角共有多少个？
②如果∠ABD是锐角，那么∠DBC一定是钝角吗？为什么？
③如果射线BE恰好是∠DBC的平分线，且∠ABD=50°，那么图中哪一个角最大？是多少度？
答案
（1）①当∠DBA是锐角时,$∠DBA＜∠DBC$;②当∠DBA是直角时,$∠DBA=∠DBC$。③当∠DBA是钝角时,$∠DBA＞∠DBC$。
（2）①5个。②是,因为∠ABD与∠DBC互为补角。③∠DBC最大,是130°。
（2）①5个。②是,因为∠ABD与∠DBC互为补角。③∠DBC最大,是130°。
解析
【分析】
解决第(1)问的核心是利用平角为180°的性质，∠DBA与∠DBC的和为180°，结合角的分类（锐角、直角、钝角的度数范围）即可判断两角大小关系对应的∠DBA的类型。
解决第(2)问时：①数小于平角的角可按射线顺序依次计数，避免漏数或重复；②结合补角的性质，已知一个角是锐角，即可判断另一个补角的范围；③先通过平角性质求出∠DBC的度数，再结合角平分线的性质计算其余角的度数，对比即可得到最大角。
【解析】
(1) 已知∠ABC是平角，即$∠ DBA+∠ DBC=180°$：
① 若$∠ DBA＜∠ DBC$，则$∠ DBA＜\frac{180°}{2}=90°$，即∠DBA为锐角；
② 若$∠ DBA=∠ DBC$，则$∠ DBA=\frac{180°}{2}=90°$，即∠DBA为直角；
③ 若$∠ DBA＞∠ DBC$，则$∠ DBA＞\frac{180°}{2}=90°$，且$∠ DBA＜180°$，即∠DBA为钝角。
(2) ① 以B为顶点，射线依次为BA、BD、BE、BC，小于平角的角有：$∠ ABD$、$∠ ABE$、$∠ DBE$、$∠ DBC$、$∠ EBC$，共5个；
② ∠DBC一定是钝角。理由：$∠ ABD+∠ DBC=180°$，两角互为补角，∠ABD是锐角即$∠ ABD＜90°$，因此$∠ DBC=180°-∠ ABD＞90°$，且$∠ DBC＜180°$，符合钝角的定义；
③ 由平角性质得$∠ DBC=180°-∠ ABD=180°-50°=130°$，BE平分∠DBC，因此$∠ DBE=∠ EBC=\frac{130°}{2}=65°$，$∠ ABE=50°+65°=115°$，对比所有角的度数，最大的角为∠DBC，度数为130°。
【答案】
（1）①当∠DBA是锐角时，∠DBA＜∠DBC；②当∠DBA是直角时，∠DBA=∠DBC；③当∠DBA是钝角时，∠DBA＞∠DBC。
（2）①5个。②是，因为∠ABD与∠DBC互为补角。③∠DBC最大，是130°。
【知识点】
平角的性质；角的大小比较；角平分线的定义
【点评】
本题考查角的基础概念的应用，涉及角的分类、计数、补角性质和角平分线的计算，整体偏向基础，解题的关键是熟练掌握角的相关概念，计数角时做到不重不漏。
【难度系数】
0.85
解决第(1)问的核心是利用平角为180°的性质，∠DBA与∠DBC的和为180°，结合角的分类（锐角、直角、钝角的度数范围）即可判断两角大小关系对应的∠DBA的类型。
解决第(2)问时：①数小于平角的角可按射线顺序依次计数，避免漏数或重复；②结合补角的性质，已知一个角是锐角，即可判断另一个补角的范围；③先通过平角性质求出∠DBC的度数，再结合角平分线的性质计算其余角的度数，对比即可得到最大角。
【解析】
(1) 已知∠ABC是平角，即$∠ DBA+∠ DBC=180°$：
① 若$∠ DBA＜∠ DBC$，则$∠ DBA＜\frac{180°}{2}=90°$，即∠DBA为锐角；
② 若$∠ DBA=∠ DBC$，则$∠ DBA=\frac{180°}{2}=90°$，即∠DBA为直角；
③ 若$∠ DBA＞∠ DBC$，则$∠ DBA＞\frac{180°}{2}=90°$，且$∠ DBA＜180°$，即∠DBA为钝角。
(2) ① 以B为顶点，射线依次为BA、BD、BE、BC，小于平角的角有：$∠ ABD$、$∠ ABE$、$∠ DBE$、$∠ DBC$、$∠ EBC$，共5个；
② ∠DBC一定是钝角。理由：$∠ ABD+∠ DBC=180°$，两角互为补角，∠ABD是锐角即$∠ ABD＜90°$，因此$∠ DBC=180°-∠ ABD＞90°$，且$∠ DBC＜180°$，符合钝角的定义；
③ 由平角性质得$∠ DBC=180°-∠ ABD=180°-50°=130°$，BE平分∠DBC，因此$∠ DBE=∠ EBC=\frac{130°}{2}=65°$，$∠ ABE=50°+65°=115°$，对比所有角的度数，最大的角为∠DBC，度数为130°。
【答案】
（1）①当∠DBA是锐角时，∠DBA＜∠DBC；②当∠DBA是直角时，∠DBA=∠DBC；③当∠DBA是钝角时，∠DBA＞∠DBC。
（2）①5个。②是，因为∠ABD与∠DBC互为补角。③∠DBC最大，是130°。
【知识点】
平角的性质；角的大小比较；角平分线的定义
【点评】
本题考查角的基础概念的应用，涉及角的分类、计数、补角性质和角平分线的计算，整体偏向基础，解题的关键是熟练掌握角的相关概念，计数角时做到不重不漏。
【难度系数】
0.85
