等腰三角形的性质定理
等腰三角形的两个底角（简称“等边对等角”），底边上的高线、及重合（简称“三线合一”）。

相等 中线 顶角平分线

【分析】
这是一道等腰三角形性质的识记类填空题，解题时回忆教材中关于等腰三角形性质的相关定理内容即可作答：首先回忆“等边对等角”的含义，等腰三角形两腰相等，对应的两个底角大小相等，可确定第一个空的答案；再回忆“三线合一”中“三线”具体指的是底边上的高线、底边上的中线、顶角平分线，即可确定后两个空的答案。
【解析】
根据等腰三角形的性质定理：
1. 等腰三角形的两个底角相等，这一性质简称“等边对等角”；
2. 等腰三角形底边上的高线、底边上的中线及顶角平分线互相重合，这一性质简称“三线合一”。
因此三个空依次填入对应内容即可。
【答案】
相等 中线 顶角平分线
【知识点】
等腰三角形性质；等边对等角；三线合一
【点评】
本题为基础概念考查题，侧重对等腰三角形核心性质的记忆考查，熟练掌握教材中的相关定理就能快速准确作答。
【难度系数】
0.9

【例】如图，在等腰△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，且∠BAC=120°。∠B=，∠C=，∠BAD=，∠CAD=。

30° 30° 60° 60°

【分析】
解题时先回忆等腰三角形的相关性质：1. 等腰三角形两底角相等（等边对等角）；2. 等腰三角形底边上的高、顶角的角平分线、底边上的中线互相重合（三线合一）。首先利用三角形内角和为180°，结合等边对等角的性质，先求出两个底角∠B和∠C的度数；再根据三线合一的性质，判断AD是顶角∠BAC的平分线，进而求出∠BAD和∠CAD的度数。
【解析】
解：
∵在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°
∴△ABC是等腰三角形，∠B=∠C（等边对等角）
根据三角形内角和为180°，可得：
$∠ B=∠ C=(180°-∠ BAC)÷2=(180°-120°)÷2=30°$
又
∵AD⊥BC，AB=AC
∴AD平分∠BAC（等腰三角形三线合一）
∴$∠ BAD=∠ CAD=∠ BAC÷2=120°÷2=60°$
【答案】
30°；30°；60°；60°
【知识点】
等腰三角形等边对等角；等腰三角形三线合一；三角形内角和定理
【点评】
本题是等腰三角形性质的基础应用题，解题关键是熟练掌握等腰三角形的两个核心性质，结合三角形内角和定理即可快速计算得到结果，难度较低。
【难度系数】
0.9

【变式1】(2025南京模拟)如图,在等腰△ABC中,AB=AC,AE是中线,BF是角平分线,∠C=70°.求∠BAE和∠1的度数.

解:因为AB=AC,∠C=70°,
所以∠ABC=∠C=70°.
因为AB=AC,AE是中线,
所以AE⊥BC,即∠AEB=90°.
所以∠BAE=90°-70°=20°.
因为∠ABC=70°,
BF是∠ABC的平分线,
所以∠CBF=35°.
所以∠1=90°+35°=125°.

【分析】
解题时先从等腰三角形的已知条件入手，首先根据等腰三角形“等边对等角”的性质，由AB=AC、∠C=70°可求出∠ABC的度数；再结合AE是等腰三角形底边上的中线，根据等腰三角形“三线合一”的性质可知AE垂直于BC，得到∠AEB=90°，在直角三角形ABE中利用两锐角互余即可求出∠BAE的度数；接下来根据BF是角平分线，利用角平分线定义求出∠CBF的度数，最后∠1是△BEF的外角，根据三角形外角等于与它不相邻的两个内角之和的性质，即可求出∠1的度数。
【解析】
解：因为AB=AC，∠C=70°，
所以∠ABC=∠C=70°。
因为AB=AC，AE是中线，
所以AE⊥BC，即∠AEB=90°。
所以∠BAE=90°-70°=20°。
因为∠ABC=70°，BF是∠ABC的平分线，
所以∠CBF=35°。
所以∠1=90°+35°=125°。
【答案】
∠BAE=20°，∠1=125°
【知识点】
等腰三角形的性质，角平分线的定义，三角形外角的性质
【点评】
本题是等腰三角形性质的基础应用题，需要熟练掌握等腰三角形等边对等角、三线合一的性质，结合角平分线定义和三角形外角性质即可快速求解，是等腰三角形章节的典型基础题。
【难度系数】
0.85

【变式2】数学课上，张老师举了下面的例题：
例1:在等腰$△ ABC$中，$∠ A=110°$，求$∠ B$的度数.(答案:$35°$)
例2:在等腰$△ ABC$中，$∠ A=40°$，求$∠ B$的度数.(答案:$40°$或$70°$或$100°$)
张老师启发同学们进行变式，小敏编了如下两题:
第一题:在等腰$△ ABC$中，$∠ A=100°$，求$∠ B$的度数.
第二题:在等腰$△ ABC$中，$∠ A=45°$，求$∠ B$的度数.
请你解答以上两道题.
规律总结 已知等腰三角形的一个角，求另外两个角时，常运用分类讨论的方法.
(1)若已知角是一个直角或钝角，则它一定是这个等腰三角形的顶角，只需再求其底角即可.(2)若已知角是一个锐角，则需分两种情况来讨论:①已知角是顶角;②已知角是底角.

解:第一题解答如下：
因为∠A=100°,所以∠A只能为△ABC的顶角.
因为△ABC为等腰三角形，
所以∠B=∠C=$\frac{1}{2}$×(180°-100°)=40°.
第二题解答如下：
若∠A为顶角,则∠B=(180°-∠A)÷2=67.5°；
若∠A为底角,∠B为顶角,则∠B=180°-2×45°=90°；
若∠A为底角,∠B为底角,则∠B=45°.
故∠B=67.5°或90°或45°.

【分析】
解题时结合等腰三角形“等边对等角”的性质和三角形内角和为180°的定理，根据已知角的类型分类讨论：1. 第一题的∠A=100°是钝角，等腰三角形中底角一定是锐角，因此∠A只能是顶角，剩余两个角是相等的底角，直接计算即可；2. 第二题的∠A=45°是锐角，此时需要分三类讨论：①∠A为顶角，∠B为底角；②∠A为底角，∠B为顶角；③∠A为底角，∠B也为底角，分别按情况计算即可，注意每种情况需满足三角形内角和要求。
【解析】
第一题解答：
已知∠A=100°，为钝角，由于等腰三角形的底角必须为锐角（若底角为钝角，两个底角之和会超过180°，不符合三角形内角和定理），因此∠A只能是等腰△ABC的顶角。
根据等腰三角形两底角相等的性质，可得：
$∠ B = ∠ C = \frac{1}{2} × (180° - ∠ A) = \frac{1}{2} × (180° - 100°) = 40°$
第二题解答：
∠A=45°为锐角，分三种情况讨论：
1. 若∠A为顶角，则∠B为底角：
$∠ B = \frac{1}{2} × (180° - 45°) = 67.5°$
2. 若∠A为底角，∠B为顶角：
$∠ B = 180° - 2 × 45° = 90°$
3. 若∠A为底角，∠B也为底角：
$∠ B = ∠ A = 45°$
综上，∠B的度数为67.5°或90°或45°。
【答案】
第一题：$\boldsymbol{40°}$；第二题：$\boldsymbol{45°}$或$\boldsymbol{67.5°}$或$\boldsymbol{90°}$
【知识点】
等腰三角形的性质，三角形内角和定理，分类讨论思想
【点评】
本题是等腰三角形角度计算的典型题型，核心易错点是忽略分类讨论导致漏解。解题时需先判断已知角的类型：若已知角为钝角或直角，只能作为顶角，无需额外讨论；若已知角为锐角，则要分已知角是顶角、底角两种大类，再结合所求角的位置细分情况，同时要验证计算结果是否符合三角形内角和的限制，避免出现不符合实际的解。
【难度系数】
0.75