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6. 一辆汽车以 60 km/h 的速度行驶，从 A 城到 B 城需 t h，若该车的速度每小时增加 v km，则从 A 城到 B 城需要（
A.$\dfrac{60t}{v}$ h
B.$\dfrac{60t}{v+60}$ h
C.$\dfrac{vt}{v+60}$ h
D.$\dfrac{vt}{60}$ h
B
）。A.$\dfrac{60t}{v}$ h
B.$\dfrac{60t}{v+60}$ h
C.$\dfrac{vt}{v+60}$ h
D.$\dfrac{vt}{60}$ h
答案
6. B
解析
【分析】
本题为行程类的代数式求解问题，解题思路如下：首先回忆行程问题的核心数量关系：路程=速度×时间，第一步先根据原来的行驶速度和行驶时间计算出A城到B城的总路程；第二步计算提速后的行驶速度；最后利用“时间=路程÷速度”的关系，代入路程和新速度，即可得到提速后所需的时间，对应选项得出结果。
【解析】
第一步：计算A、B两城的总路程
已知汽车原行驶速度为60 km/h，从A城到B城原需t h，根据路程=速度×时间，可得两城总路程为：$60 × t = 60t$（km）
第二步：计算提速后的行驶速度
已知速度每小时增加v km，因此提速后的速度为：$60 + v$（km/h）
第三步：计算提速后从A城到B城的时间
根据时间=路程÷速度，代入总路程和新速度，可得所需时间为：$\dfrac{60t}{60 + v}$ h，与选项B表达式一致。
【答案】
B
【知识点】
列代数式；行程问题基本公式；分式的应用
【点评】
本题属于基础应用型题目，解题关键是抓住A、B两城路程不变的隐含条件，熟练掌握行程问题中路程、速度、时间三个量的转换关系即可快速求解，是分式相关应用的常见基础题型。
【难度系数】
0.85
本题为行程类的代数式求解问题，解题思路如下：首先回忆行程问题的核心数量关系：路程=速度×时间，第一步先根据原来的行驶速度和行驶时间计算出A城到B城的总路程；第二步计算提速后的行驶速度；最后利用“时间=路程÷速度”的关系，代入路程和新速度，即可得到提速后所需的时间，对应选项得出结果。
【解析】
第一步：计算A、B两城的总路程
已知汽车原行驶速度为60 km/h，从A城到B城原需t h，根据路程=速度×时间，可得两城总路程为：$60 × t = 60t$（km）
第二步：计算提速后的行驶速度
已知速度每小时增加v km，因此提速后的速度为：$60 + v$（km/h）
第三步：计算提速后从A城到B城的时间
根据时间=路程÷速度，代入总路程和新速度，可得所需时间为：$\dfrac{60t}{60 + v}$ h，与选项B表达式一致。
【答案】
B
【知识点】
列代数式；行程问题基本公式；分式的应用
【点评】
本题属于基础应用型题目，解题关键是抓住A、B两城路程不变的隐含条件，熟练掌握行程问题中路程、速度、时间三个量的转换关系即可快速求解，是分式相关应用的常见基础题型。
【难度系数】
0.85
7.（易错题）若x是整数，且$\frac{6}{2x+1}$的值也是整数，则所有符合条件的x的值有（
A.8个
B.6个
C.4个
D.2个
C
）。A.8个
B.6个
C.4个
D.2个
答案
7. C
解析
【分析】
要解决这道题，我们可以按照以下思路思考：首先，分式的值为整数的核心条件是分母是分子的整数约数（正、负约数都要考虑，因为负约数也能让分式结果为整数）；其次，题目明确x是整数，那么2x+1的结果一定是奇数，我们可以先列出6的所有整数约数，再筛选出其中的奇数，最后分别解方程求出x的值，统计符合条件的x的个数即可。
【解析】
要使$\frac{6}{2x+1}$的值为整数，则分母$2x+1$是6的整数约数。
6的所有整数约数为：$\pm1,\pm2,\pm3,\pm6$。
又因为x是整数，所以$2x$是偶数，$2x+1$必为奇数，因此排除约数中的偶数$\pm2、\pm6$，仅剩的符合要求的约数为$\pm1、\pm3$。
分别列方程求解：
1. 当$2x+1=1$时，解得$x=0$，是整数，符合要求；
2. 当$2x+1=-1$时，解得$x=-1$，是整数，符合要求；
3. 当$2x+1=3$时，解得$x=1$，是整数，符合要求；
4. 当$2x+1=-3$时，解得$x=-2$，是整数，符合要求。
综上，符合条件的x共有4个。
【答案】
C
【知识点】
分式值为整数的条件，整数约数，一元一次方程求解
【点评】
本题是易错题，容易出现两种错误：一是只考虑正约数，忽略负约数导致漏解；二是未结合x是整数的条件筛选分母的取值，导致多算无效解。解题时要全面考虑约数的正负性，同时注意结合题目隐含条件验证解的合理性。
【难度系数】
0.6
要解决这道题，我们可以按照以下思路思考：首先，分式的值为整数的核心条件是分母是分子的整数约数（正、负约数都要考虑，因为负约数也能让分式结果为整数）；其次，题目明确x是整数，那么2x+1的结果一定是奇数，我们可以先列出6的所有整数约数，再筛选出其中的奇数，最后分别解方程求出x的值，统计符合条件的x的个数即可。
【解析】
要使$\frac{6}{2x+1}$的值为整数，则分母$2x+1$是6的整数约数。
6的所有整数约数为：$\pm1,\pm2,\pm3,\pm6$。
又因为x是整数，所以$2x$是偶数，$2x+1$必为奇数，因此排除约数中的偶数$\pm2、\pm6$，仅剩的符合要求的约数为$\pm1、\pm3$。
分别列方程求解：
1. 当$2x+1=1$时，解得$x=0$，是整数，符合要求；
2. 当$2x+1=-1$时，解得$x=-1$，是整数，符合要求；
3. 当$2x+1=3$时，解得$x=1$，是整数，符合要求；
4. 当$2x+1=-3$时，解得$x=-2$，是整数，符合要求。
综上，符合条件的x共有4个。
【答案】
C
【知识点】
分式值为整数的条件，整数约数，一元一次方程求解
【点评】
本题是易错题，容易出现两种错误：一是只考虑正约数，忽略负约数导致漏解；二是未结合x是整数的条件筛选分母的取值，导致多算无效解。解题时要全面考虑约数的正负性，同时注意结合题目隐含条件验证解的合理性。
【难度系数】
0.6
8. 列式表示下列各量：
（1）某市改造一段全长 3 000 m 的道路. 原计划每天修 x m，则计划修路用
（2）甲种米售价为 x 元/kg，乙种米售价为 y 元/kg，取甲种米 a kg 和乙种米 b kg，混合后的大米售价
（1）某市改造一段全长 3 000 m 的道路. 原计划每天修 x m，则计划修路用
$\frac{3000}{x}$
天；实际施工时，每天修路比原计划的 2 倍还多 20 m，那么修这条路实际用$\frac{3000}{2x+20}$
天.（2）甲种米售价为 x 元/kg，乙种米售价为 y 元/kg，取甲种米 a kg 和乙种米 b kg，混合后的大米售价
$\frac{ax+by}{a+b}$
元/kg.答案
8. (1) $\frac{3000}{x}$ $\frac{3000}{2x+20}$ (2) $\frac{ax+by}{a+b}$
解析
【分析】
本题考查根据实际问题列代数式，解题时紧扣常见数量关系推导即可。
（1）工程问题中，工作时间=工作总量÷工作效率。首先明确修路的总工作总量是3000m，原计划工作效率为每天x m，代入公式即可得计划用时；再先算出实际每天修路的效率为(2x+20)m，再次代入工作时间公式即可得到实际用时。
（2）混合大米的平均售价=总售价÷总质量。先分别计算甲、乙两种米的总售价，相加得到混合后大米的总售价，再计算两种米的总质量，代入公式即可得到混合后的售价。
【解析】
（1）已知修路总长度为3000m，原计划每天修x m，根据“工作时间=工作总量÷工作效率”，可得计划修路用时为$\frac{3000}{x}$天；
实际每天修路的长度比原计划的2倍还多20m，即实际每天修$(2x+20)$m，同理可得修这条路实际用时为$\frac{3000}{2x+20}$天。
（2）a kg甲种米的总售价为$ax$元，b kg乙种米的总售价为$by$元，混合后大米的总售价为$(ax+by)$元，总质量为$(a+b)$kg，根据“单价=总价÷总质量”，可得混合后的大米售价为$\frac{ax+by}{a+b}$元/kg。
【答案】
（1）$\frac{3000}{x}$；$\frac{3000}{2x+20}$ （2）$\frac{ax+by}{a+b}$
【知识点】
1. 列代数式 2. 工程问题数量关系 3. 销售问题数量关系
【点评】
本题属于基础题型，解题的核心是熟练掌握常见的实际问题数量关系，列式时注意理清运算顺序，结果要符合分式的书写规范。
【难度系数】
0.9
本题考查根据实际问题列代数式，解题时紧扣常见数量关系推导即可。
（1）工程问题中，工作时间=工作总量÷工作效率。首先明确修路的总工作总量是3000m，原计划工作效率为每天x m，代入公式即可得计划用时；再先算出实际每天修路的效率为(2x+20)m，再次代入工作时间公式即可得到实际用时。
（2）混合大米的平均售价=总售价÷总质量。先分别计算甲、乙两种米的总售价，相加得到混合后大米的总售价，再计算两种米的总质量，代入公式即可得到混合后的售价。
【解析】
（1）已知修路总长度为3000m，原计划每天修x m，根据“工作时间=工作总量÷工作效率”，可得计划修路用时为$\frac{3000}{x}$天；
实际每天修路的长度比原计划的2倍还多20m，即实际每天修$(2x+20)$m，同理可得修这条路实际用时为$\frac{3000}{2x+20}$天。
（2）a kg甲种米的总售价为$ax$元，b kg乙种米的总售价为$by$元，混合后大米的总售价为$(ax+by)$元，总质量为$(a+b)$kg，根据“单价=总价÷总质量”，可得混合后的大米售价为$\frac{ax+by}{a+b}$元/kg。
【答案】
（1）$\frac{3000}{x}$；$\frac{3000}{2x+20}$ （2）$\frac{ax+by}{a+b}$
【知识点】
1. 列代数式 2. 工程问题数量关系 3. 销售问题数量关系
【点评】
本题属于基础题型，解题的核心是熟练掌握常见的实际问题数量关系，列式时注意理清运算顺序，结果要符合分式的书写规范。
【难度系数】
0.9
9. 已知分式$\frac{2x+a}{x-b}$（$a$，$b$为常数）满足表格中的信息：
则$b^a$的值是
则$b^a$的值是
$\frac{1}{2}$
。答案
9. $\frac{1}{2}$
解析
【分析】
解题思路如下：首先回忆分式的相关性质：①分式无意义时，分母等于0；②分式的值为0时，分子等于0且分母不等于0。我们先利用x=2时分式无意义的条件求出b的值，再利用x=0.5时分式值为0的条件求出a的值，最后代入计算$b^a$即可。
【解析】
1. 求b的值：
当x=2时，分式$\frac{2x+a}{x-b}$无意义，说明此时分母为0，即：
$2 - b = 0$
解得：$b=2$
2. 求a的值：
当x=0.5时，分式的值为0，说明此时分子为0且分母不为0，代入分子得：
$2×0.5 + a = 0$
计算得：$1 + a = 0$
解得：$a=-1$
（验证：此时分母$x-b=0.5-2=-1.5≠0$，符合分式值为0的条件）
3. 计算$b^a$：
将$a=-1$，$b=2$代入得：
$b^a=2^{-1}=\frac{1}{2}$
【答案】
$\frac{1}{2}$
【知识点】
分式无意义的条件；分式值为0的条件；负整数指数幂运算
【点评】
本题是分式性质的基础应用题，解题关键是明确分式无意义、值为0的成立条件，尤其注意分式值为0时要同时满足分子为0、分母不为0两个条件，不要漏验分母的取值。
【难度系数】
0.8
解题思路如下：首先回忆分式的相关性质：①分式无意义时，分母等于0；②分式的值为0时，分子等于0且分母不等于0。我们先利用x=2时分式无意义的条件求出b的值，再利用x=0.5时分式值为0的条件求出a的值，最后代入计算$b^a$即可。
【解析】
1. 求b的值：
当x=2时，分式$\frac{2x+a}{x-b}$无意义，说明此时分母为0，即：
$2 - b = 0$
解得：$b=2$
2. 求a的值：
当x=0.5时，分式的值为0，说明此时分子为0且分母不为0，代入分子得：
$2×0.5 + a = 0$
计算得：$1 + a = 0$
解得：$a=-1$
（验证：此时分母$x-b=0.5-2=-1.5≠0$，符合分式值为0的条件）
3. 计算$b^a$：
将$a=-1$，$b=2$代入得：
$b^a=2^{-1}=\frac{1}{2}$
【答案】
$\frac{1}{2}$
【知识点】
分式无意义的条件；分式值为0的条件；负整数指数幂运算
【点评】
本题是分式性质的基础应用题，解题关键是明确分式无意义、值为0的成立条件，尤其注意分式值为0时要同时满足分子为0、分母不为0两个条件，不要漏验分母的取值。
【难度系数】
0.8
10. 已知分式$\frac{y - a}{y + b}$，当$y=-3$时，无意义；当$y=2$时，分式的值为0. 求当$y=7$时分式的值.
答案
$\frac{1}{2}$
解析
【分析】
解决本题的核心是掌握分式的两个基本性质：1. 分式无意义时，分母等于0；2. 分式的值为0时，分子等于0且分母不等于0。我们可以先根据这两个性质分别列出关于a、b的方程，求出a、b的取值，再将y=7代入确定的分式中计算即可得到结果。
【解析】
解：①当y=-3时分式无意义，此时分母为0，即：
$-3 + b = 0$
解得$b=3$
②当y=2时分式的值为0，此时分子为0且分母不为0：
分子：$2 - a = 0$，解得$a=2$
验证分母：$y + b = 2 + 3 = 5 ≠ 0$，符合要求
因此原分式为$\frac{y - 2}{y + 3}$
③将y=7代入分式得：
$\frac{7 - 2}{7 + 3} = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}$
【答案】
$\frac{1}{2}$
【知识点】
分式无意义的条件；分式值为0的条件；分式求值
【点评】
本题是分式性质的基础应用题型，解题关键是熟练掌握分式无意义、值为0的成立条件，求解参数后记得验证分母不为0的要求，避免出错。
【难度系数】
0.8
解决本题的核心是掌握分式的两个基本性质：1. 分式无意义时，分母等于0；2. 分式的值为0时，分子等于0且分母不等于0。我们可以先根据这两个性质分别列出关于a、b的方程，求出a、b的取值，再将y=7代入确定的分式中计算即可得到结果。
【解析】
解：①当y=-3时分式无意义，此时分母为0，即：
$-3 + b = 0$
解得$b=3$
②当y=2时分式的值为0，此时分子为0且分母不为0：
分子：$2 - a = 0$，解得$a=2$
验证分母：$y + b = 2 + 3 = 5 ≠ 0$，符合要求
因此原分式为$\frac{y - 2}{y + 3}$
③将y=7代入分式得：
$\frac{7 - 2}{7 + 3} = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}$
【答案】
$\frac{1}{2}$
【知识点】
分式无意义的条件；分式值为0的条件；分式求值
【点评】
本题是分式性质的基础应用题型，解题关键是熟练掌握分式无意义、值为0的成立条件，求解参数后记得验证分母不为0的要求，避免出错。
【难度系数】
0.8
11. 下表描述了分式$\frac{x+m}{x+n}$的部分信息：
（1）其中$x_1＜0＜x_2＜x_3$，$y_2＜0$，请判断$n$的符号.
（2）结合上述内容，请判断$m$的符号和$m$，$n$之间的大小关系.
（1）其中$x_1＜0＜x_2＜x_3$，$y_2＜0$，请判断$n$的符号.
（2）结合上述内容，请判断$m$的符号和$m$，$n$之间的大小关系.
答案
（1）根据$\frac{x+m}{x+n}$无意义，知$x_2=-n$。由$x_2＞0$，所以$n＜0$ （2）当$x=0$时，$y_2=\frac{m}{n}＜0$，所以$m＞0$，则$n＜m$
解析
【分析】
（1）要判断n的符号，首先回忆分式无意义的条件：分式分母为0时，分式无意义。已知x=x₂时分式无意义，可推出此时分母x+n=0，即x₂=-n，再结合x₂＞0的已知条件，即可推导n的符号。
（2）要判断m的符号和m、n的大小关系，先将x=0代入分式得到y₂的表达式，结合y₂＜0的条件可得m和n的符号关系，再结合（1）中得到的n的符号，就能确定m的符号，进而比较m和n的大小。
【解析】
（1）
∵分式$\frac{x+m}{x+n}$在$x=x_2$时无意义，
∴此时分母的值为0，即$x_2 + n = 0$，可得$x_2 = -n$，
又已知$x_2＞0$，
∴$-n＞0$，即$n＜0$，n为负号。
（2）当$x=0$时，代入分式得$y_2 = \frac{0+m}{0+n} = \frac{m}{n}$，
已知$y_2＜0$，即$\frac{m}{n}＜0$，说明m和n异号，
由（1）可知$n＜0$，因此$m＞0$，
∵正数大于负数，
∴$n＜m$。
【答案】
（1）$n＜0$，n为负号；
（2）$m＞0$，m为正号，$n＜m$。
【知识点】
1. 分式无意义的条件
2. 分式求值
3. 有理数除法符号法则
【点评】
本题是分式章节的基础典型题，解题核心是熟练掌握分式无意义的判定条件，结合有理数运算的符号规律即可快速推导出字母的符号和大小关系。
【难度系数】
0.8
（1）要判断n的符号，首先回忆分式无意义的条件：分式分母为0时，分式无意义。已知x=x₂时分式无意义，可推出此时分母x+n=0，即x₂=-n，再结合x₂＞0的已知条件，即可推导n的符号。
（2）要判断m的符号和m、n的大小关系，先将x=0代入分式得到y₂的表达式，结合y₂＜0的条件可得m和n的符号关系，再结合（1）中得到的n的符号，就能确定m的符号，进而比较m和n的大小。
【解析】
（1）
∵分式$\frac{x+m}{x+n}$在$x=x_2$时无意义，
∴此时分母的值为0，即$x_2 + n = 0$，可得$x_2 = -n$，
又已知$x_2＞0$，
∴$-n＞0$，即$n＜0$，n为负号。
（2）当$x=0$时，代入分式得$y_2 = \frac{0+m}{0+n} = \frac{m}{n}$，
已知$y_2＜0$，即$\frac{m}{n}＜0$，说明m和n异号，
由（1）可知$n＜0$，因此$m＞0$，
∵正数大于负数，
∴$n＜m$。
【答案】
（1）$n＜0$，n为负号；
（2）$m＞0$，m为正号，$n＜m$。
【知识点】
1. 分式无意义的条件
2. 分式求值
3. 有理数除法符号法则
【点评】
本题是分式章节的基础典型题，解题核心是熟练掌握分式无意义的判定条件，结合有理数运算的符号规律即可快速推导出字母的符号和大小关系。
【难度系数】
0.8
12. 写出一个使分式$\frac{1}{x+3}$有意义的x的值，可以是
1（答案不唯一）
。答案
12. 1（答案不唯一）
解析
【分析】
要确定使分式有意义的x的取值，首先需明确分式有意义的核心条件：分式的分母不能为0。本题中分式的分母为x+3，因此只需保证x+3≠0，解这个不等式得到x的取值范围后，在范围内任意选取一个符合要求的数即可。
【解析】
解：根据分式有意义的条件：分母不为0，可得：
该分式的分母为$x+3$，因此列不等式：
$x+3 ≠ 0$
解得：$x ≠ -3$
因此只要取不等于-3的任意实数都满足要求，例如取x=1（答案不唯一）。
【答案】
1（答案不唯一）
【知识点】
分式有意义的条件
【点评】
本题属于基础题型，核心考查分式有意义的判定规则，只要牢记“分式分母不为0”的要求即可快速解答，注意避开x=-3这个使分式无意义的取值即可。
【难度系数】
0.9
要确定使分式有意义的x的取值，首先需明确分式有意义的核心条件：分式的分母不能为0。本题中分式的分母为x+3，因此只需保证x+3≠0，解这个不等式得到x的取值范围后，在范围内任意选取一个符合要求的数即可。
【解析】
解：根据分式有意义的条件：分母不为0，可得：
该分式的分母为$x+3$，因此列不等式：
$x+3 ≠ 0$
解得：$x ≠ -3$
因此只要取不等于-3的任意实数都满足要求，例如取x=1（答案不唯一）。
【答案】
1（答案不唯一）
【知识点】
分式有意义的条件
【点评】
本题属于基础题型，核心考查分式有意义的判定规则，只要牢记“分式分母不为0”的要求即可快速解答，注意避开x=-3这个使分式无意义的取值即可。
【难度系数】
0.9
13. 要使分式$\frac{x+y}{x-y}$有意义，字母$x$，$y$须满足（
A.$x≠y$
B.$x≠-y$
C.$x≥y$
D.$x≥-y$
A
）.A.$x≠y$
B.$x≠-y$
C.$x≥y$
D.$x≥-y$
答案
13. A
解析
【分析】
要解决这道题，首先回忆分式有意义的判定规则：分式有意义的前提是分母不能等于0。解题时第一步先找到给定分式的分母，第二步令分母的取值不等于0，第三步解出对应的不等关系，最后匹配选项即可。
【解析】
根据分式有意义的条件：分母不为0。
本题中分式$\frac{x+y}{x-y}$的分母为$x-y$，因此要使分式有意义，需满足：
$x-y ≠ 0$
移项可得$x ≠ y$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
分式有意义的条件
【点评】
本题属于基础题型，重点考查分式有意义的核心条件，解题时注意区分分式有意义、分式值为0的不同要求，避免混淆。
【难度系数】
0.9
要解决这道题，首先回忆分式有意义的判定规则：分式有意义的前提是分母不能等于0。解题时第一步先找到给定分式的分母，第二步令分母的取值不等于0，第三步解出对应的不等关系，最后匹配选项即可。
【解析】
根据分式有意义的条件：分母不为0。
本题中分式$\frac{x+y}{x-y}$的分母为$x-y$，因此要使分式有意义，需满足：
$x-y ≠ 0$
移项可得$x ≠ y$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
分式有意义的条件
【点评】
本题属于基础题型，重点考查分式有意义的核心条件，解题时注意区分分式有意义、分式值为0的不同要求，避免混淆。
【难度系数】
0.9
