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7. 如图,在平面直角坐标系中,△ABC的顶点坐标分别为A(-2,-4),B(0,-4),C(1,-1).
(1)画出△ABC绕点C逆时针旋转90°后得到的△A₁B₁C.
(2)将△A₁B₁C先向左平移4个单位长度,再向上平移4个单位长度,得到△A₂B₂C₂,画出△A₂B₂C₂.
(3)若△A₂B₂C₂可以看作是由△ABC绕某点旋转得到的,则旋转中心的坐标是什么?请直接写出答案.
(1)画出△ABC绕点C逆时针旋转90°后得到的△A₁B₁C.
(2)将△A₁B₁C先向左平移4个单位长度,再向上平移4个单位长度,得到△A₂B₂C₂,画出△A₂B₂C₂.
(3)若△A₂B₂C₂可以看作是由△ABC绕某点旋转得到的,则旋转中心的坐标是什么?请直接写出答案.
答案
7.【解】(1)如图，$△ A_1B_1C$即为所求。
(2)如图，$△ A_2B_2C_2$即为所求。
(3)旋转中心的坐标是$(-3,-1)$。
解析
【分析】
(1) 绘制旋转后图形需依据旋转性质：旋转前后对应点到旋转中心距离相等，对应点与旋转中心的连线夹角等于旋转角90°。先计算点A、B绕点C逆时针旋转90°后的坐标，再顺次连接C及旋转后的两点得到所求三角形。
(2) 平移作图按照“横坐标左减右加、纵坐标上加下减”的规则，将△A₁B₁C的三个顶点分别向左平移4个单位、向上平移4个单位得到对应点，顺次连接即可得到△A₂B₂C₂。
(3) 旋转中心到各对应点的距离相等，因此是两组对应点连线的垂直平分线的交点，求出两组对应点连线的垂直平分线，联立求解即可得到旋转中心坐标。
【解析】
(1) 已知旋转中心为C(1,-1)，旋转方向为逆时针，旋转角90°：
点A(-2,-4)相对于C的坐标差为(-3,-3)，逆时针旋转90°后相对坐标变为(3,-3)，因此A₁坐标为$(1+3,-1-3)=(4,-4)$；
点B(0,-4)相对于C的坐标差为(-1,-3)，逆时针旋转90°后相对坐标变为(3,-1)，因此B₁坐标为$(1+3,-1-1)=(4,-2)$；
顺次连接C、A₁、B₁，得到△A₁B₁C。
(2) 按照平移规则：向左平移4个单位横坐标减4，向上平移4个单位纵坐标加4：
A₁(4,-4)平移后得$A₂(4-4,-4+4)=(0,0)$；
B₁(4,-2)平移后得$B₂(4-4,-2+4)=(0,2)$；
C(1,-1)平移后得$C₂(1-4,-1+4)=(-3,3)$；
顺次连接A₂、B₂、C₂，得到△A₂B₂C₂。
(3) 取对应点A(-2,-4)与A₂(0,0)、B(0,-4)与B₂(0,2)：
① 线段AA₂的中点为$(\frac{-2+0}{2},\frac{-4+0}{2})=(-1,-2)$，AA₂的斜率$k_{AA_2}=\frac{0-(-4)}{0-(-2)}=2$，因此其垂直平分线的斜率为$-\frac{1}{2}$，方程为$y+2=-\frac{1}{2}(x+1)$，整理得$y=-\frac{1}{2}x-\frac{5}{2}$；
② 线段BB₂为竖直线x=0，中点为(0,-1)，因此其垂直平分线为水平线$y=-1$；
联立两个方程，将$y=-1$代入$y=-\frac{1}{2}x-\frac{5}{2}$，解得$x=-3$，即交点坐标为$(-3,-1)$，也就是旋转中心坐标。
【答案】
(1) 如图，$△ A_1B_1C$即为所求。
(2) 如图，$△ A_2B_2C_2$即为所求。
(3) 旋转中心的坐标是$(-3,-1)$。
【知识点】
旋转作图，平移作图，旋转中心确定
【点评】
本题综合考查了平面直角坐标系中平移、旋转的作图方法及旋转中心的求解，解题关键是熟练掌握平移和旋转的性质，准确进行坐标变换，找旋转中心时利用垂直平分线的性质可快速求解。
【难度系数】
0.7
(1) 绘制旋转后图形需依据旋转性质：旋转前后对应点到旋转中心距离相等，对应点与旋转中心的连线夹角等于旋转角90°。先计算点A、B绕点C逆时针旋转90°后的坐标，再顺次连接C及旋转后的两点得到所求三角形。
(2) 平移作图按照“横坐标左减右加、纵坐标上加下减”的规则，将△A₁B₁C的三个顶点分别向左平移4个单位、向上平移4个单位得到对应点，顺次连接即可得到△A₂B₂C₂。
(3) 旋转中心到各对应点的距离相等，因此是两组对应点连线的垂直平分线的交点，求出两组对应点连线的垂直平分线，联立求解即可得到旋转中心坐标。
【解析】
(1) 已知旋转中心为C(1,-1)，旋转方向为逆时针，旋转角90°：
点A(-2,-4)相对于C的坐标差为(-3,-3)，逆时针旋转90°后相对坐标变为(3,-3)，因此A₁坐标为$(1+3,-1-3)=(4,-4)$；
点B(0,-4)相对于C的坐标差为(-1,-3)，逆时针旋转90°后相对坐标变为(3,-1)，因此B₁坐标为$(1+3,-1-1)=(4,-2)$；
顺次连接C、A₁、B₁，得到△A₁B₁C。
(2) 按照平移规则：向左平移4个单位横坐标减4，向上平移4个单位纵坐标加4：
A₁(4,-4)平移后得$A₂(4-4,-4+4)=(0,0)$；
B₁(4,-2)平移后得$B₂(4-4,-2+4)=(0,2)$；
C(1,-1)平移后得$C₂(1-4,-1+4)=(-3,3)$；
顺次连接A₂、B₂、C₂，得到△A₂B₂C₂。
(3) 取对应点A(-2,-4)与A₂(0,0)、B(0,-4)与B₂(0,2)：
① 线段AA₂的中点为$(\frac{-2+0}{2},\frac{-4+0}{2})=(-1,-2)$，AA₂的斜率$k_{AA_2}=\frac{0-(-4)}{0-(-2)}=2$，因此其垂直平分线的斜率为$-\frac{1}{2}$，方程为$y+2=-\frac{1}{2}(x+1)$，整理得$y=-\frac{1}{2}x-\frac{5}{2}$；
② 线段BB₂为竖直线x=0，中点为(0,-1)，因此其垂直平分线为水平线$y=-1$；
联立两个方程，将$y=-1$代入$y=-\frac{1}{2}x-\frac{5}{2}$，解得$x=-3$，即交点坐标为$(-3,-1)$，也就是旋转中心坐标。
【答案】
(1) 如图，$△ A_1B_1C$即为所求。
(2) 如图，$△ A_2B_2C_2$即为所求。
(3) 旋转中心的坐标是$(-3,-1)$。
【知识点】
旋转作图，平移作图，旋转中心确定
【点评】
本题综合考查了平面直角坐标系中平移、旋转的作图方法及旋转中心的求解，解题关键是熟练掌握平移和旋转的性质，准确进行坐标变换，找旋转中心时利用垂直平分线的性质可快速求解。
【难度系数】
0.7
8.小明将图案绕某点连续旋转若干次，每次旋转相同的度数，设计出一个外轮廓为正六边形的图案（
），则旋转角最小为
），则旋转角最小为60°
。答案
8.$60°$
解析
【分析】
解题时需结合正六边形的旋转对称性思考：正六边形绕中心旋转一定角度后可与自身重合，要让图案每次旋转相同度数后最终拼成外轮廓为正六边形的图案，最小旋转角就等于正六边形的中心角，即把周角360°平均分成6份，每份的度数就是所求的最小旋转角。
【解析】
正n边形的中心角为$\frac{360°}{n}$，对于正六边形，n=6，因此它的中心角为：
$\frac{360°}{6}=60°$
要使图案连续旋转相同角度后得到正六边形，每次旋转的最小角度等于正六边形的中心角，即60°，此时连续旋转5次，加上初始图案共6个相同部分，就能组合成外轮廓为正六边形的图案。
【答案】
$60°$
【知识点】
正多边形的性质，旋转的性质
【点评】
本题考查旋转与正多边形性质的综合应用，解题的关键是理解正多边形的旋转对称性，牢记正n边形的最小旋转角为$\frac{360°}{n}$，掌握相关概念即可快速求解。
【难度系数】
0.8
解题时需结合正六边形的旋转对称性思考：正六边形绕中心旋转一定角度后可与自身重合，要让图案每次旋转相同度数后最终拼成外轮廓为正六边形的图案，最小旋转角就等于正六边形的中心角，即把周角360°平均分成6份，每份的度数就是所求的最小旋转角。
【解析】
正n边形的中心角为$\frac{360°}{n}$，对于正六边形，n=6，因此它的中心角为：
$\frac{360°}{6}=60°$
要使图案连续旋转相同角度后得到正六边形，每次旋转的最小角度等于正六边形的中心角，即60°，此时连续旋转5次，加上初始图案共6个相同部分，就能组合成外轮廓为正六边形的图案。
【答案】
$60°$
【知识点】
正多边形的性质，旋转的性质
【点评】
本题考查旋转与正多边形性质的综合应用，解题的关键是理解正多边形的旋转对称性，牢记正n边形的最小旋转角为$\frac{360°}{n}$，掌握相关概念即可快速求解。
【难度系数】
0.8
9. 如图，E是正方形ABCD内一点，连接AE，BE，CE，将△ABE绕点B顺时针旋转90°，得到△A'BE'.
(1)画出旋转后的△A'BE'.
(2)若$AE=\sqrt{5}$，$BE=1$，$CE=\sqrt{3}$，求∠BEC的度数.
(1)画出旋转后的△A'BE'.
(2)若$AE=\sqrt{5}$，$BE=1$，$CE=\sqrt{3}$，求∠BEC的度数.
答案
9.【解】(1)如图所示。
(2)如图，连接$EE'$。
$\because△ ABE$绕点 $B$ 顺时针旋转 $90°$得到$△ A'BE'$，
$\therefore △ ABE ≌ △ A'BE'$，$∠ EBE'=90°$。
$\because AE=\sqrt{5},BE=1$，
$\therefore BE'=BE=1,CE'=AE=\sqrt{5}$。
$\therefore ∠ BEE'=45°,E'E=\sqrt{BE^2+E'B^2}=\sqrt{2}$。
又$CE=\sqrt{3}$，
$\therefore E'E^2+CE^2=E'C^2$。
$\therefore ∠ CEE'=90°$。
$\therefore ∠ BEC=∠ BEE'+∠ CEE'=135°$。
解析
【分析】
(1) 旋转作图需先明确三要素：旋转中心为点B，旋转方向为顺时针，旋转角为90°。在正方形ABCD中，AB=BC，∠ABC=90°，因此点A绕点B顺时针旋转90°后对应点就是点C（即A'与C重合）；再找E的对应点E'：以B为顶点，作∠EBE'=90°，且使BE'=BE，连接CE'，得到的△CBE'就是旋转后的△A'BE'。
(2) 求解角度时，首先利用旋转的性质得到全等三角形，得出对应边相等和旋转角为90°，可知△EBE'是等腰直角三角形，可求出EE'的长度和∠BEE'的度数；再结合已知的CE长度，观察△EE'C的三边长度，用勾股定理逆定理判断其为直角三角形，得到∠CEE'=90°，将两个角相加即可得到∠BEC的度数。
【解析】
(1) 按照旋转作图步骤确定对应点：点A对应点C，点E的对应点E'满足BE'=BE、∠EBE'=90°，连接BE'、CE'，所得△A'BE'即为所求。
(2) 连接EE'：
∵△ABE绕点B顺时针旋转90°得到△A'BE'，
∴△ABE≌△A'BE'，∠EBE'=90°，
∴BE'=BE=1，CE'=AE=√5。
在Rt△EBE'中，由勾股定理得：
$EE'=\sqrt{BE^2+BE'^2}=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$，
且△EBE'为等腰直角三角形，故∠BEE'=45°。
已知$CE=\sqrt{3}$，在△CEE'中：
$EE'^2+CE^2=(\sqrt{2})^2+(\sqrt{3})^2=2+3=5$，$CE'^2=(\sqrt{5})^2=5$，
即$EE'^2+CE^2=CE'^2$，由勾股定理逆定理可得△CEE'为直角三角形，∠CEE'=90°，
∴∠BEC=∠BEE'+∠CEE'=45°+90°=135°。
【答案】
(1) 如图所示
(2) $∠ BEC=135°$
【知识点】
旋转的性质；勾股定理及逆定理；等腰直角三角形的性质
【点评】
本题是旋转性质应用的典型题型，解题关键是利用旋转的不变性构造特殊三角形，将分散的边长、角度条件集中到同一三角形中求解，能有效考察学生的几何作图能力和逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7
(1) 旋转作图需先明确三要素：旋转中心为点B，旋转方向为顺时针，旋转角为90°。在正方形ABCD中，AB=BC，∠ABC=90°，因此点A绕点B顺时针旋转90°后对应点就是点C（即A'与C重合）；再找E的对应点E'：以B为顶点，作∠EBE'=90°，且使BE'=BE，连接CE'，得到的△CBE'就是旋转后的△A'BE'。
(2) 求解角度时，首先利用旋转的性质得到全等三角形，得出对应边相等和旋转角为90°，可知△EBE'是等腰直角三角形，可求出EE'的长度和∠BEE'的度数；再结合已知的CE长度，观察△EE'C的三边长度，用勾股定理逆定理判断其为直角三角形，得到∠CEE'=90°，将两个角相加即可得到∠BEC的度数。
【解析】
(1) 按照旋转作图步骤确定对应点：点A对应点C，点E的对应点E'满足BE'=BE、∠EBE'=90°，连接BE'、CE'，所得△A'BE'即为所求。
(2) 连接EE'：
∵△ABE绕点B顺时针旋转90°得到△A'BE'，
∴△ABE≌△A'BE'，∠EBE'=90°，
∴BE'=BE=1，CE'=AE=√5。
在Rt△EBE'中，由勾股定理得：
$EE'=\sqrt{BE^2+BE'^2}=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$，
且△EBE'为等腰直角三角形，故∠BEE'=45°。
已知$CE=\sqrt{3}$，在△CEE'中：
$EE'^2+CE^2=(\sqrt{2})^2+(\sqrt{3})^2=2+3=5$，$CE'^2=(\sqrt{5})^2=5$，
即$EE'^2+CE^2=CE'^2$，由勾股定理逆定理可得△CEE'为直角三角形，∠CEE'=90°，
∴∠BEC=∠BEE'+∠CEE'=45°+90°=135°。
【答案】
(1) 如图所示
(2) $∠ BEC=135°$
【知识点】
旋转的性质；勾股定理及逆定理；等腰直角三角形的性质
【点评】
本题是旋转性质应用的典型题型，解题关键是利用旋转的不变性构造特殊三角形，将分散的边长、角度条件集中到同一三角形中求解，能有效考察学生的几何作图能力和逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7
10. 如图,在平面直角坐标系中,将正方形OABC绕点O按逆时针方向旋转,每次旋转$45°$.第1次旋转$45°$,得到正方形$OA_1B_1C_1$;第2次旋转$45°$,得到正方形$OA_2B_2C_2$;……;第2026次旋转$45°$,得到正方形$OA_{2026}B_{2026}C_{2026}$.如果点A的坐标为$(1,0)$,那么点$B_{2026}$的坐标为
(-1,1)
.答案
10.$(-1,1)$
解析
【分析】
首先先确定初始时点B的坐标，再分析旋转的周期规律：每次逆时针旋转45°，旋转一周360°共需要8次，即每8次旋转为一个循环，点B的位置会重复出现。接着计算2026次旋转对应的循环余数，确定最终点B的旋转总角度，最后结合三角函数即可求出对应坐标。
【解析】
1. 求初始点B的坐标：
已知正方形OABC中，点A坐标为$(1,0)$，则正方形边长为1，点B的初始坐标为$(1,1)$，线段OB的长度为$\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$，初始时OB与x轴正方向的夹角为$45°$。
2. 确定旋转周期：
每次旋转$45°$，旋转一周（$360°$）的次数为$360°÷45°=8$，即每8次旋转为一个循环，点B的位置会回到初始状态。
3. 计算2026次旋转对应的位置：
$2026÷8=253······2$，即2026次旋转等价于253个完整循环后，再额外旋转2次，额外旋转的总角度为$2×45°=90°$。
4. 求点$B_{2026}$的坐标：
此时OB与x轴正方向的总夹角为$45°+90°=135°$，根据三角函数定义：
横坐标：$\sqrt{2}×\cos135°=\sqrt{2}×(-\frac{\sqrt{2}}{2})=-1$
纵坐标：$\sqrt{2}×\sin135°=\sqrt{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}=1$
因此点$B_{2026}$的坐标为$(-1,1)$。
【答案】
$(-1,1)$
【知识点】
旋转的性质；周期规律探究；正方形的性质
【点评】
本题将图形旋转和规律探究结合，解题关键是找到旋转的循环周期，再结合旋转角度计算对应点坐标，能有效考查学生的逻辑推理能力和知识应用能力。
【难度系数】
0.6
首先先确定初始时点B的坐标，再分析旋转的周期规律：每次逆时针旋转45°，旋转一周360°共需要8次，即每8次旋转为一个循环，点B的位置会重复出现。接着计算2026次旋转对应的循环余数，确定最终点B的旋转总角度，最后结合三角函数即可求出对应坐标。
【解析】
1. 求初始点B的坐标：
已知正方形OABC中，点A坐标为$(1,0)$，则正方形边长为1，点B的初始坐标为$(1,1)$，线段OB的长度为$\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$，初始时OB与x轴正方向的夹角为$45°$。
2. 确定旋转周期：
每次旋转$45°$，旋转一周（$360°$）的次数为$360°÷45°=8$，即每8次旋转为一个循环，点B的位置会回到初始状态。
3. 计算2026次旋转对应的位置：
$2026÷8=253······2$，即2026次旋转等价于253个完整循环后，再额外旋转2次，额外旋转的总角度为$2×45°=90°$。
4. 求点$B_{2026}$的坐标：
此时OB与x轴正方向的总夹角为$45°+90°=135°$，根据三角函数定义：
横坐标：$\sqrt{2}×\cos135°=\sqrt{2}×(-\frac{\sqrt{2}}{2})=-1$
纵坐标：$\sqrt{2}×\sin135°=\sqrt{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}=1$
因此点$B_{2026}$的坐标为$(-1,1)$。
【答案】
$(-1,1)$
【知识点】
旋转的性质；周期规律探究；正方形的性质
【点评】
本题将图形旋转和规律探究结合，解题关键是找到旋转的循环周期，再结合旋转角度计算对应点坐标，能有效考查学生的逻辑推理能力和知识应用能力。
【难度系数】
0.6
