10. 如果用一个平面截棱柱的一个角,剩下的几何体有几个顶点? 有几条棱? 有几个面? 试用下表进行研究。
图形
顶点数(v)
棱的条数(e)
面的个数(f)
$f+v-e$
问题:
(1)如果一个四棱柱被截去一个角,那么剩余几何体是一个面体；
(2)如果一个四棱柱被截去一个角后,共有10个顶点,那么它的棱数是。

解：
表格填写（从左到右三列依次对应三个图形）：
顶点数($v$)：7，8，9
棱的条数($e$)：12，13，14
面的个数($f$)：7，7，7
$f+v-e$：2，2，2
(1) 四棱柱原有6个面，截去一个角后新增1个截面，剩余几何体是一个$\boldsymbol{7}$面体；
(2) 剩余几何体共10个顶点时，面数为7，由$f+v-e=2$，得$e=f+v-2=7+10-2=15$，即它的棱数是$\boldsymbol{15}$。

【分析】
首先我们先明确四棱柱的基础属性：普通四棱柱原本有8个顶点、12条棱、6个面。当用平面截去四棱柱的一个角时，截面为三角形，会新增1个面；顶点数和棱数的变化取决于截面经过的原四棱柱顶点数量：
①当截面经过原四棱柱的3个顶点时，会减少1个原顶点，剩余顶点数为7；
②当截面经过原四棱柱的2个顶点时，顶点总数不变，剩余顶点数为8；
③当截面经过原四棱柱的1个顶点时，会新增1个顶点，剩余顶点数为9。
再分别统计对应情况的棱数、面数，可验证简单多面体的欧拉公式$f+v-e=2$恒成立，后续问题可直接用该公式计算。
【解析】
先填写表格（从左到右三列依次对应三个图形）：
顶点数$v$：7，8，9
棱的条数$e$：12，13，14
面的个数$f$：7，7，7
$f+v-e$：2，2，2
(1) 四棱柱原有6个面，截去一个角后新增1个截面，总面数为$6+1=7$，因此剩余几何体是7面体。
(2) 截去一个角后面数固定为7，已知剩余几何体有10个顶点，代入欧拉公式$f+v-e=2$，变形得$e=f+v-2$，代入数值计算：$e=7+10-2=15$。
【答案】
表格（从左到右）：顶点数：7、8、9；棱数：12、13、14；面数：7、7、7；$f+v-e$：2、2、2；(1)$\boldsymbol{7}$；(2)$\boldsymbol{15}$
【知识点】
截几何体；欧拉公式；立体图形的认识
【点评】
本题主要考查几何体截角后的参数变化，解题的核心是明确截去一个角后面数固定增加1，结合欧拉公式可以快速建立面、顶点、棱的数量关系，解题时要注意截法不同会导致顶点数、棱数出现多种情况，避免漏解。
【难度系数】
0.65