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1. 如图,按要求补全图形并回答:
(1)已知点P在$∠AOC$的边OA上,①过点P画OA的垂线交OC于点B;
②画点P到OC的垂线段PM交OC于点M.
(2)指出上述作图中哪一条线段的长度表示P点到OC边的距离.
(3)比较PM与OP的大小并说明理由.
(1)已知点P在$∠AOC$的边OA上,①过点P画OA的垂线交OC于点B;
②画点P到OC的垂线段PM交OC于点M.
(2)指出上述作图中哪一条线段的长度表示P点到OC边的距离.
PM
(3)比较PM与OP的大小并说明理由.
PM，理由是
垂线段最短
.答案
1. （1）
①：用三角板的一条直角边与$OA$重合，另一条直角边过点$P$画直线，交$OC$于点$B$，则$PB\perp OA$。
②：用三角板的一条直角边与$OC$重合，另一条直角边过点$P$画线段，交$OC$于点$M$，则$PM\perp OC$。
2. （2）
根据点到直线的距离的定义：从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短，垂线段的长度叫做点到直线的距离。所以$PM$的长度表示$P$点到$OC$边的距离。
3. （3）
解：$PM\lt OP$。
理由：因为$PM\perp OC$，根据垂线段最短的性质，从直线外一点（$P$点）到这条直线（$OC$）所作的垂线段（$PM$）最短，而$OP$是从$P$点到$O$点（$O$在$OC$上）的线段（不是垂线段），所以$PM\lt OP$。
综上，（2）答案为$PM$；（3）$PM\lt OP$，理由是垂线段最短。
①：用三角板的一条直角边与$OA$重合，另一条直角边过点$P$画直线，交$OC$于点$B$，则$PB\perp OA$。
②：用三角板的一条直角边与$OC$重合，另一条直角边过点$P$画线段，交$OC$于点$M$，则$PM\perp OC$。
2. （2）
根据点到直线的距离的定义：从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短，垂线段的长度叫做点到直线的距离。所以$PM$的长度表示$P$点到$OC$边的距离。
3. （3）
解：$PM\lt OP$。
理由：因为$PM\perp OC$，根据垂线段最短的性质，从直线外一点（$P$点）到这条直线（$OC$）所作的垂线段（$PM$）最短，而$OP$是从$P$点到$O$点（$O$在$OC$上）的线段（不是垂线段），所以$PM\lt OP$。
综上，（2）答案为$PM$；（3）$PM\lt OP$，理由是垂线段最短。
2. 如图,已知直线EF和AB,CD分别相交于K,H,且$EG⊥AB,∠E= 30^{\circ }.$
(1)求$∠EKG$的度数.
(2)如果$∠CHK= 120^{\circ }$,那么AB与CD平行吗? 为什么?
(1)求$∠EKG$的度数.
60°
(2)如果$∠CHK= 120^{\circ }$,那么AB与CD平行吗? 为什么?
答案
2. 解: (1) $ 60^{\circ} $.
(2) 平行. $ \because EG \perp AB, \angle E = 30^{\circ} $,
$ \therefore \angle AKF = \angle EKG = 60^{\circ} $.
$ \because \angle CHK = 120^{\circ}, \therefore \angle AKF + \angle CHK = 180^{\circ} $.
$ \therefore AB // CD $.
(2) 平行. $ \because EG \perp AB, \angle E = 30^{\circ} $,
$ \therefore \angle AKF = \angle EKG = 60^{\circ} $.
$ \because \angle CHK = 120^{\circ}, \therefore \angle AKF + \angle CHK = 180^{\circ} $.
$ \therefore AB // CD $.
3. 如图,$AB// CD$,分别探讨下面四个图形中$∠P与∠A,∠C$的关系,请你从所得的四个关系中任意选取一个证明.
图（1）：
证明：（以图（2）为例）过点$P$作$PE// AB$。因为$AB// CD$，$PE// AB$，所以$PE// CD$。因为$PE// AB$，所以$\angle A=\angle APE$；因为$PE// CD$，所以$\angle C=\angle CPE$。又因为$\angle APC=\angle APE+\angle CPE$，所以
图（1）：
$\angle A+\angle C + \angle P=360^{\circ}$
；图（2）：$\angle A+\angle C=\angle P$
；图（3）：$\angle C=\angle A+\angle P$
；图（4）：$\angle A=\angle C + \angle P$
。证明：（以图（2）为例）过点$P$作$PE// AB$。因为$AB// CD$，$PE// AB$，所以$PE// CD$。因为$PE// AB$，所以$\angle A=\angle APE$；因为$PE// CD$，所以$\angle C=\angle CPE$。又因为$\angle APC=\angle APE+\angle CPE$，所以
$\angle APC=\angle A + \angle C$
。答案
1. 首先分析四个图形中$\angle P$与$\angle A$，$\angle C$的关系：
图（1）：$\angle A+\angle C + \angle P=360^{\circ}$；
图（2）：$\angle A+\angle C=\angle P$；
图（3）：$\angle C=\angle A+\angle P$；
图（4）：$\angle A=\angle C + \angle P$。
2. 然后选取图（2）进行证明：
解（证明）：过点$P$作$PE// AB$。
因为$AB// CD$，$PE// AB$（平行于同一条直线的两条直线互相平行），所以$PE// CD$。
根据两直线平行，内错角相等：
因为$PE// AB$，所以$\angle A=\angle APE$（两直线平行，内错角相等）；
因为$PE// CD$，所以$\angle C=\angle CPE$（两直线平行，内错角相等）。
又因为$\angle APC=\angle APE+\angle CPE$，所以$\angle APC=\angle A + \angle C$。
若选取图（1）证明：
解（证明）：过点$P$作$PF// AB$。
因为$AB// CD$，$PF// AB$，所以$PF// CD$。
根据两直线平行，同旁内角互补：
因为$PF// AB$，所以$\angle A+\angle APF = 180^{\circ}$（两直线平行，同旁内角互补）；
因为$PF// CD$，所以$\angle C+\angle CPF = 180^{\circ}$（两直线平行，同旁内角互补）。
则$\angle A+\angle APF+\angle C+\angle CPF=\angle A+\angle C+\angle APC=360^{\circ}$。
若选取图（3）证明：
解（证明）：设$AB$与$PC$相交于点$O$。
因为$AB// CD$，根据两直线平行，同位角相等，所以$\angle C=\angle POB$。
又因为$\angle POB$是$\triangle AOP$的外角，根据三角形外角性质（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和），$\angle POB=\angle A+\angle P$。
所以$\angle C=\angle A+\angle P$。
若选取图（4）证明：
解（证明）：设$AP$与$CD$相交于点$Q$。
因为$AB// CD$，根据两直线平行，同位角相等，所以$\angle A=\angle PQC$。
又因为$\angle PQC$是$\triangle PQC$的外角，根据三角形外角性质（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和），$\angle PQC=\angle C+\angle P$。
所以$\angle A=\angle C+\angle P$。
图（1）：$\angle A+\angle C + \angle P=360^{\circ}$；
图（2）：$\angle A+\angle C=\angle P$；
图（3）：$\angle C=\angle A+\angle P$；
图（4）：$\angle A=\angle C + \angle P$。
2. 然后选取图（2）进行证明：
解（证明）：过点$P$作$PE// AB$。
因为$AB// CD$，$PE// AB$（平行于同一条直线的两条直线互相平行），所以$PE// CD$。
根据两直线平行，内错角相等：
因为$PE// AB$，所以$\angle A=\angle APE$（两直线平行，内错角相等）；
因为$PE// CD$，所以$\angle C=\angle CPE$（两直线平行，内错角相等）。
又因为$\angle APC=\angle APE+\angle CPE$，所以$\angle APC=\angle A + \angle C$。
若选取图（1）证明：
解（证明）：过点$P$作$PF// AB$。
因为$AB// CD$，$PF// AB$，所以$PF// CD$。
根据两直线平行，同旁内角互补：
因为$PF// AB$，所以$\angle A+\angle APF = 180^{\circ}$（两直线平行，同旁内角互补）；
因为$PF// CD$，所以$\angle C+\angle CPF = 180^{\circ}$（两直线平行，同旁内角互补）。
则$\angle A+\angle APF+\angle C+\angle CPF=\angle A+\angle C+\angle APC=360^{\circ}$。
若选取图（3）证明：
解（证明）：设$AB$与$PC$相交于点$O$。
因为$AB// CD$，根据两直线平行，同位角相等，所以$\angle C=\angle POB$。
又因为$\angle POB$是$\triangle AOP$的外角，根据三角形外角性质（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和），$\angle POB=\angle A+\angle P$。
所以$\angle C=\angle A+\angle P$。
若选取图（4）证明：
解（证明）：设$AP$与$CD$相交于点$Q$。
因为$AB// CD$，根据两直线平行，同位角相等，所以$\angle A=\angle PQC$。
又因为$\angle PQC$是$\triangle PQC$的外角，根据三角形外角性质（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和），$\angle PQC=\angle C+\angle P$。
所以$\angle A=\angle C+\angle P$。
