【变式1】把下列各数：$2^{\frac{2}{3}},(\frac{5}{3})^{-\frac{1}{3}},(-\frac{2}{3})^{3},(\frac{3}{2})^{\frac{2}{3}}$,按由小到大的顺序排列：______.

$(-\frac{2}{3})^3 ＜ (\frac{5}{3})^{-\frac{1}{2}} ＜ (\frac{3}{2})^{\frac{1}{2}} ＜ 2^{\frac{1}{2}}$　因为幂函数$y = x^{\frac{1}{2}}$在$[0, +\infty)$上单调递增，且$1 ＜ \frac{3}{2} ＜ 2$，所以$1 ＜ (\frac{3}{2})^{\frac{1}{2}} ＜ 2^{\frac{1}{2}}$。
因为$(\frac{5}{3})^{-\frac{1}{2}} = (\frac{3}{5})^{\frac{1}{2}} ＜ 1$，所以$0 ＜ (\frac{5}{3})^{-\frac{1}{2}} ＜ 1$。
又$(-\frac{2}{3})^3 ＜ 0$，所以$(-\frac{2}{3})^3 ＜ (\frac{5}{3})^{-\frac{1}{2}} ＜ (\frac{3}{2})^{\frac{1}{2}} ＜ 2^{\frac{1}{2}}$。

【典例2】已知$(a + 1)^{-1} \lt (3 - 2a)^{-1}$,求$a$的取值范围.

解题指导
将$(a + 1)^{-1}和(3 - 2a)^{-1}看作是幂函数y = x^{-1}$的两个函数值,结合定义域分类讨论,并根据单调性列出不等式组求解.
答案
解：①当$a + 1 \gt 0$,且$3 - 2a \gt 0$时,
$\because (a + 1)^{-1} \lt (3 - 2a)^{-1}$,$\therefore \begin{cases}a + 1 \gt 0, \\ 3 - 2a \gt 0, \\ a + 1 \gt 3 - 2a,\end{cases}$
解得$\frac{2}{3} \lt a \lt \frac{3}{2}$.
②当$a + 1 \lt 0$,且$3 - 2a \gt 0$时,
$\because (a + 1)^{-1} \lt 0$,$(3 - 2a)^{-1} \gt 0$,符合题意,
$\therefore \begin{cases}a + 1 \lt 0, \\ 3 - 2a \gt 0,\end{cases}解得a \lt -1$.
③当$a + 1 \lt 0$,且$3 - 2a \lt 0$时,
$\because (a + 1)^{-1} \lt (3 - 2a)^{-1}$,
$\therefore \begin{cases}a + 1 \lt 0, \\ 3 - 2a \lt 0, \\ a + 1 \gt 3 - 2a,\end{cases}不等式组的解集为\varnothing$.
综上所述,$a的取值范围为(-\infty,-1) \cup (\frac{2}{3},\frac{3}{2})$.

【变式2】已知幂函数$f(x) = (m^{2} - 3m + 3)x^{m + 1}$的图象关于原点对称,若$(a + 1)^{m} \gt (3 - 2a)^{m}$,则实数$a$的取值范围为______.

$(\frac{2}{3}, 4)$　由幂函数的定义，可知$m^2 - 3m + 3 = 1$，解得$m = 1$或$m = 2$。根据题意，得幂函数$f(x)$是奇函数，$\therefore m = 2$，$\therefore$原不等式化为$(a + 1)^2 ＞ (3 - 2a)^2$。整理，得$3a^2 - 14a + 8 ＜ 0$，解得$\frac{2}{3} ＜ a ＜ 4$。

1. 若$f(x) = mx^{\alpha} + 2n - 4$是幂函数,则$m + n = $()
A. $1$
B. $2$
C. $3$
D. $4$

1. C　由题意，得$\begin{cases}m = 1, \\ 2n - 4 = 0\end{cases}$，解得$\begin{cases}m = 1, \\ n = 2\end{cases}$，所以$m + n = 3$。

2. 幂函数$y = x^{\alpha}(\alpha \in \mathbf{R})$的图象一定不经过()
A. 第四象限
B. 第三象限
C. 第二象限
D. 第一象限

2. A　当$x ＞ 0$时，$y = x^a ＞ 0$，所以幂函数$y = x^a$的图象一定不经过第四象限。

3. 若$a = (\frac{1}{2})^{\frac{1}{2}}$,$b = (\frac{1}{5})^{\frac{1}{2}}$,$c = (-2)^{3}$,则$a,b,c$的大小关系为()
A. $a \lt b \lt c$
B. $c \lt a \lt b$
C. $b \lt a \lt c$
D. $c \lt b \lt a$

3. D　因为幂函数$y = x^{\frac{1}{2}}$在$[0, +\infty)$上单调递增，值域为$[0, +\infty)$，且$\frac{1}{2} ＞ \frac{1}{5}$，所以$(\frac{1}{2})^{\frac{1}{2}} ＞ (\frac{1}{5})^{\frac{1}{2}} ＞ 0$。又$(-2)^3 = -8 ＜ 0$，所以$c ＜ b ＜ a$。

4. (多选)已知函数$f(x) = x^{\alpha}的图象经过点(2,8)$,则下列命题正确的有()
A. $f(0) = 0$
B. $\forall a \lt b$,都有$f(a) \gt f(b)$
C. 若$x \gt 1$,则$f(x) \gt 1$
D. $f(x) + f(-x) = 0$

4. ACD　由题意，得$2^a = 8$，解得$a = 3$，即$f(x) = x^3$，$\therefore f(0) = 0$，且$f(x)$在定义域上为增函数，$f(-x) = -f(x)$，故AD选项正确，B选项错误。$\because$当$x ＞ 1$时，$f(x) ＞ 1$，故C选项正确。

9. 已知幂函数$y = x^{m^{2} - 2m - 3}(m \in \mathbf{N}^{*})的图象关于y$轴对称,且幂函数在$(0,+\infty)$上单调递减. 若$(a + 1)^{-\frac{m}{3}} \lt (3 - 2a)^{-\frac{m}{3}}$,则$a$的取值范围为()
A. $(0,+\infty)$
B. $(-\frac{2}{3},+\infty)$
C. $(0,\frac{3}{2})$
D. $(-\infty,-1) \cup (\frac{2}{3},\frac{3}{2})$

9. D　因为幂函数$y = x^{m^2 - 2m - 3}(m \in N^*)$在$(0, +\infty)$上单调递减，所以$m^2 - 2m - 3 ＜ 0$，解得$-1 ＜ m ＜ 3$。又$m \in N^*$，所以$m = 1$或$m = 2$。当$m = 1$时，$y = x^{-4}$的图象关于$y$轴对称，符合题意；当$m = 2$时，$y = x^{-3}$的图象不关于$y$轴对称，不符合题意，故$m = 1$。原不等式化为$(a + 1)^{-\frac{1}{2}} ＜ (3 - 2a)^{-\frac{1}{2}}$。因为函数$y = x^{-\frac{1}{2}}$在$(-\infty, 0)$和$(0, +\infty)$上单调递减，所以$a + 1 ＞ 3 - 2a ＞ 0$或$0 ＞ a + 1 ＞ 3 - 2a$或$a + 1 ＜ 0 ＜ 3 - 2a$，解得$a ＜ -1$或$\frac{2}{3} ＜ a ＜ \frac{3}{2}$。