5. 已知幂函数$f(x) = x^{\frac{1}{2}}$. 若$f(7 - a) \lt f(2a - 2)$,则$a$的取值范围为______.

5. $(3,7]$　因为$f(x) = x^{\frac{1}{2}} = \sqrt{x}(x \geq 0)$，所以$f(x)$在$[0, +\infty)$上单调递增。又$f(7 - a) ＜ f(2a - 2)$，所以$\begin{cases}2a - 2 \geq 0, \\ 7 - a \geq 0, \\ 2a - 2 ＞ 7 - a\end{cases}$，解得$\begin{cases}a \geq 1, \\ a \leq 7, \\ a ＞ 3\end{cases}$，所以$3 ＜ a \leq 7$。

6. 函数$y = x^{-3}在区间[-4,-2]$上的最小值是______.

6. $-\frac{1}{8}$　因为函数$y = x^{-3} = \frac{1}{x^3}$在$(-\infty, 0)$上单调递减，所以当$x = -2$时，$y_{min} = (-2)^{-3} = \frac{1}{(-2)^3} = -\frac{1}{8}$。

7. 已知点$(\sqrt{2},2)在幂函数f(x)$的图象上,点$(-2,\frac{1}{4})在幂函数g(x)$的图象上,求当$x$为何值时,有：
(1)$f(x) \gt g(x)$；
(2)$f(x) = g(x)$；
(3)$f(x) \lt g(x)$.

7. 解：设$f(x) = x^a$，由点$(\sqrt{2}, 2)$在幂函数$f(x)$的图象上，得$(\sqrt{2})^a = 2$，$\therefore a = 2$，则$f(x) = x^2$。
令$g(x) = x^\beta$，由点$(-2, \frac{1}{4})$在幂函数$g(x)$的图象上，得$(-2)^\beta = \frac{1}{4}$，$\therefore \beta = -2$，则$g(x) = x^{-2}$。
在同一平面直角坐标系中作出这两个函数的图象，如图所示，

(1)观察图象可得，当$x ＞ 1$或$x ＜ -1$时，$f(x) ＞ g(x)$。
(2)观察图象可得，当$x = 1$或$x = -1$时，$f(x) = g(x)$。
(3)观察图象可得，当$-1 ＜ x ＜ 1$，且$x \neq 0$时，$f(x) ＜ g(x)$。

8. 若$a = (\frac{4}{5})^{\frac{1}{2}}$,$b = (\frac{5}{4})^{\frac{1}{3}}$,$c = (\frac{3}{4})^{\frac{3}{4}}$,则$a,b,c$的大小关系为()
A. $c \lt a \lt b$
B. $c \lt b \lt a$
C. $a \lt c \lt b$
D. $b \lt c \lt a$

8. A　因为$a = (\frac{4}{5})^{\frac{1}{2}} = (\frac{16}{25})^{\frac{1}{2}} ＜ 1$，$b = (\frac{5}{4})^{\frac{1}{2}} ＞ 1$，$c = (\frac{3}{4})^{\frac{1}{2}} = (\frac{27}{64})^{\frac{1}{2}} ＜ 1$，且$y = x^{\frac{1}{2}}$在$[0, +\infty)$上单调递增，所以$c = (\frac{27}{64})^{\frac{1}{2}} ＜ (\frac{16}{25})^{\frac{1}{2}} = a$。综上，$c ＜ a ＜ b$。

10. 已知幂函数$f(x) = (m^{2} - m - 1)x^{m^{2} - 2m - 1}$.
(1)求$f(x)$的解析式；
(2)若$f(x)$的图象不经过坐标原点,判断$f(x)$的奇偶性并证明；
(3)若$f(x)$的图象经过坐标原点,解不等式$f(2 - x) \gt f(x)$.
(提示：(1)根据幂函数的系数为$1$列方程求解；(2)根据函数图象不经过坐标原点确定函数的解析式,进而化简$f(-x)$确定奇偶性；(3)根据函数图象经过坐标原点确定函数的解析式,进而根据$f(2 - x) \gt f(x)$列出不等式求解)

10. 解：(1)因为$f(x)$为幂函数，所以$m^2 - m - 1 = 1$，解得$m = -1$或$m = 2$，故$f(x) = x^2$或$f(x) = x^{-1}$。
(2)当$f(x) = x^2$时，$f(x)$的图象经过坐标原点，不满足要求；当$f(x) = x^{-1}$时，$f(x)$的图象不经过坐标原点，所以$f(x) = x^{-1}$。
$f(x)$为奇函数。证明如下：
因为$f(x)$的定义域为$(-\infty, 0) \cup (0, +\infty)$，图象关于原点对称，$f(-x) = (-x)^{-1} = -x^{-1} = -f(x)$，$\therefore f(x)$为奇函数。
(3)由(2)，得若$f(x)$的图象经过坐标原点，则$f(x) = x^2$。由$f(2 - x) ＞ f(x)$，得$(2 - x)^2 ＞ x^2$，解得$x ＜ 1$，所以原不等式的解集为$(-\infty, 1)$。