9 有一个正数$a$，$a$与1的和乘以$a$与1的差仍得$a$，则$a$等于（ ）
A. $\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}$
B. $\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}$
C. $\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}$
D. $\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}$或$\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}$

B

10 若一元二次方程$x^2+bx+c=0$的两根中较小的一个根是$m(m≠0)$,则$b+\sqrt{b^2-4c}$的值为（ ）
A. $m$
B. $-m$
C. $2m$
D. $-2m$

D

11 定义新运算:对于两个不相等的实数$a,b$,我们规定符号$\max\{a,b\}$表示$a,b$中的较大值,如:
$\max\{1,3\}=3,\max\{-1,-3\}=-1$.按照这个规定,若$\max\{x,-x\}=\frac{x^2 - 2x -1}{2}$,则$x$的值是______.

$2+\sqrt{5}$或$-1$

12 若$ t $是一元二次方程$ ax^2 + bx + c = 0(a ≠ 0) $的根，则$ b^2 - 4ac $和完全平方式$ M = (2at + b)^2 $的大小关系为$ b^2 - 4ac $ ______ $ M $．（填“＞”“＜”或“=”）

$=$

13 已知关于 $ x $ 的一元二次方程 $(m-1)x^2 - 2mx + m + 1 = 0$。
（1）求方程的根；
（2）当 $ m $ 为何整数时，此方程的两个根都为正整数？

解：​$(1)$​根据一元二次方程的定义，得​$m\neq 1$​∵​$a = m - 1，$​​$b = -2\ \mathrm {m}，$​​$c = m + 1，$​∴​$b^2-4ac=(-2m)^2-4(m - 1)(m + 1)=4\ \mathrm {m^2}-4(\mathrm {m^2}-1)=4$​∴​$x=\frac {2\ \mathrm {m}\pm 2}{2(m - 1)}，$​∴​$x_{1}=\frac {m + 1}{m - 1}，$​​$x_{2} = 1$​​$ (2)$​由​$(1)$​知，​$x_{1}=\frac {m + 1}{m - 1}=1+\frac 2{m - 1}$​∵方程的两个根都为正整数，∴​$\frac 2{m - 1}$​是正整数∴​$m - 1 = 1$​或​$m - 1 = 2，$​解得​$m = 2$​或​$m = 3$​∴当​$m $​为​$2$​或​$3$​时，此方程的两个根都为正整数

14（2024 无锡江阴期中）阅读下面的例题:分解因式:$x^2+2x-1$.
解:令$x^2+2x-1=0$,得到一个关于$x$的一元二次方程.因为$a=1,b=2,c=-1$,
所以$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{-2\pm2\sqrt{2}}{2}=-1\pm\sqrt{2}$,解得$x_1=-1+\sqrt{2},x_2=-1-\sqrt{2}$,
所以$x^2+2x-1=(x-x_1)(x-x_2)=[x-(-1+\sqrt{2})][x-(-1-\sqrt{2})]=(x+1-\sqrt{2})(x+1+\sqrt{2})$.
这种分解因式的方法叫求根法,请你利用这种方法完成下面问题:
(1) 已知代数式$x^2-2x-k$对应的方程解为$-3$和$5$,则代数式$x^2-2x-k$分解因式后为________;
(2) 将代数式$x^2-3x+1$分解因式.

$(x + 3)(x - 5)$ ; 解：​$(2)$​令​$x^2-3x + 1 = 0，$​得到一个关于​$x$​的一元二次方程∵​$a = 1，$​​$b = -3，$​​$c = 1$​∴​$x=\frac {-b\pm \sqrt {b^2-4ac}}{2a}=\frac {3\pm \sqrt 5}2$​解得​$x_{1}=\frac {3 + \sqrt 5}2，$​​$x_{2}=\frac {3 - \sqrt 5}2$​∴​$x^2-3x + 1=(x - x_{1})(x - x_{2})=(x-\frac {3 + \sqrt 5}2)(x-\frac {3 - \sqrt 5}2)$​