（素材来源:教材 P140 数学活动）综合与实践.
【活动主题】探究四点共圆的条件.
【实践探索】(1)小明对下列几何图形进行作图操作,其中过四个顶点一定能作一个圆的有（填序号）.
①非特殊平行四边形;②菱形;③矩形;④正方形.
【理论探索】小明经过实践探索发现:过对角互补的四边形的四个顶点能作一个圆.下面是小明运用反证法证明上述命题的过程:
已知:在四边形 ABCD 中,∠B + ∠D = 180°.求证:过点 A,B,C,D 可作一个圆.
证明:如图 1,假设过点 A,B,C,D 四点不能作一个圆,过 A,B,C 三点作⊙O,若点 D 在⊙O 外,设 AD 与⊙O 相交于点 E,连接 CE,则∠B + ∠AEC = 180°,已知∠B + ∠D = 180°,所以∠AEC = ∠D,而∠AEC 是△CED 的外角,∠AEC ＞ ∠D,出现矛盾,故假设不成立,因此点 D 在过 A,B,C 三点的圆上,即过点 A,B,C,D 可作一个圆.

(2)上述证明过程中画横线部分结论的依据是.
(3)如图 2,假设过 A,B,C,D 四点不能作一个圆,过 A,B,C 三点作⊙O,若点 D 在⊙O 内,设 AD 的延长线与⊙O 相交于点 E,连接 CE,请仿照小明的证法完成证明过程.
综上所述,得到四点共圆的条件:过对角互补的四边形的四个顶点能作一个圆.
【应用拓展】(4)如图 3,在四边形 ABCD 中,∠ABC = ∠ADC = 90°,∠CAD = 16°,AD = BD,求∠ADB 的度数.

1. ③④
2. 圆内接四边形的对角互补
3. 略
4. 32°

【分析】
(1) 判断四边形四个顶点能否共圆，核心依据是“对角互补的四边形四个顶点共圆”：逐一分析4个图形的对角性质，筛选出对角互补的图形即可。
(2) 划线结论对应圆内接四边形的基础性质，直接对应性质内容即可。
(3) 仿照给出的反证法逻辑：先利用圆内接四边形对角互补得到角的等量关系，结合已知条件推出矛盾，推翻假设完成证明。
(4) 先由两个直角对角互补判定四点共圆，再用同弧所对圆周角相等求出对应角，最后结合等腰三角形性质和三角形内角和计算角度即可。
【解析】
(1) 四点共圆的四边形需满足对角互补：
①非特殊平行四边形对角相等，仅为矩形时才满足对角和为180°，普通平行四边形不满足，无法共圆；
②菱形对角相等，仅为正方形时才满足对角和为180°，普通菱形不满足，无法共圆；
③矩形四个内角均为90°，对角和为180°，满足对角互补，四个顶点可共圆；
④正方形四个内角均为90°，对角和为180°，满足对角互补，四个顶点可共圆。
故填$\boxed{③④}$。
(2) 划线部分中四边形$ABCE$是$\odot O$的内接四边形，依据圆内接四边形的对角互补，可得$∠ B+∠ AEC=180°$。
(3) 证明：假设过$A,B,C,D$四点不能作一个圆，过$A,B,C$三点作$\odot O$，点$D$在$\odot O$内，延长$AD$交$\odot O$于点$E$，连接$CE$。
∵ 四边形$ABCE$是$\odot O$的内接四边形，
∴ $∠ B + ∠ E = 180°$，
已知$∠ B + ∠ ADC = 180°$，
∴ $∠ ADC = ∠ E$，
又
∵ $∠ ADC$是$△ CDE$的外角，
∴ $∠ ADC ＞ ∠ E$，二者矛盾，
故假设不成立，因此点$D$在过$A,B,C$三点的圆上，即过点$A,B,C,D$可作一个圆。
(4) 解：
∵ $∠ ABC = ∠ ADC = 90°$，
∴ $∠ ABC + ∠ ADC = 180°$，
根据对角互补的四边形四个顶点共圆，得$A、B、C、D$四点共圆，
∴ $∠ CBD = ∠ CAD = 16°$（同弧$CD$所对的圆周角相等），
∴ $∠ ABD = ∠ ABC - ∠ CBD = 90° - 16° = 74°$，
∵ $AD=BD$，
∴ $△ ABD$为等腰三角形，$∠ BAD = ∠ ABD =74°$，
∴ $∠ ADB = 180° - ∠ BAD - ∠ ABD = 180° - 74° × 2 = 32°$。
【答案】
(1) $\boxed{③④}$
(2) $\boxed{圆内接四边形的对角互补}$
(3) 证明过程见上述解析
(4) $\boxed{32°}$
【知识点】
四点共圆的判定、圆内接四边形的性质、等腰三角形的性质
【点评】
本题以四点共圆的探究为主线，涵盖了性质判断、反证法推理、实际应用三类考法，既考查了对圆相关基础性质的掌握程度，也对逻辑推理、知识迁移应用的能力有一定要求。
【难度系数】
0.65