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19. 已知三角形的三边长分别是2,7,x−1,则x的取值范围是
$6＜x＜10$
。答案
19. $6＜x＜10$
解析
【分析】
看到题目给出三角形三边长求参数x的取值范围，首先想到运用三角形三边关系定理解题。三角形的三边满足：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。已知其中两条边长为2和7，那么第三边x-1的取值范围是大于这两条边的差、小于这两条边的和，据此列出关于x的不等式，解不等式即可得到x的取值范围。其余的三边关系不等式要么与所列不等式等价，要么在该取值范围内自动成立，无需额外列写。
【解析】
解：根据三角形三边关系，可得：
$7-2 ＜ x-1 ＜ 7+2$
化简得：
$5 ＜ x-1 ＜ 9$
不等式各部分同时加1，得：
$5+1 ＜ x ＜ 9+1$
即 $6 ＜ x ＜ 10$
【答案】
$6＜x＜10$
【知识点】
1. 三角形三边关系
2. 一元一次不等式的解法
【点评】
本题是基础题型，主要考查三角形三边关系的应用，解题关键是牢记三边关系定理并正确列出不等式，计算难度低，熟练掌握相关知识点就能快速得分。
【难度系数】
0.9
看到题目给出三角形三边长求参数x的取值范围，首先想到运用三角形三边关系定理解题。三角形的三边满足：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。已知其中两条边长为2和7，那么第三边x-1的取值范围是大于这两条边的差、小于这两条边的和，据此列出关于x的不等式，解不等式即可得到x的取值范围。其余的三边关系不等式要么与所列不等式等价，要么在该取值范围内自动成立，无需额外列写。
【解析】
解：根据三角形三边关系，可得：
$7-2 ＜ x-1 ＜ 7+2$
化简得：
$5 ＜ x-1 ＜ 9$
不等式各部分同时加1，得：
$5+1 ＜ x ＜ 9+1$
即 $6 ＜ x ＜ 10$
【答案】
$6＜x＜10$
【知识点】
1. 三角形三边关系
2. 一元一次不等式的解法
【点评】
本题是基础题型，主要考查三角形三边关系的应用，解题关键是牢记三边关系定理并正确列出不等式，计算难度低，熟练掌握相关知识点就能快速得分。
【难度系数】
0.9
20. 如图，BC为等腰三角形纸片ABC的底边，AD⊥BC。将此三角形纸片沿AD剪开，得到两个三角形。把剪成的两个三角形纸片拼成一个四边形，能拼出互不全等的四边形
（第20题）
4
个。（第20题）答案
20. 4
解析
【分析】
解题时首先明确剪开得到的两个三角形是全等的直角三角形，共有3组相等的边。要拼成四边形，需将两个三角形的一组相等边重合进行拼接，每一组相等边对应2种拼接方式，我们只需要逐一分析每组边的拼接结果，排除拼接后得到三角形的情况，统计互不全等的四边形数量即可。
【解析】
∵△ABC是等腰三角形，AD⊥BC，
∴BD=CD，△ABD≌△ACD，两个三角形是全等的直角三角形，三组对应相等的边为：AB=AC，AD=AD，BD=CD。
分三类讨论拼接情况：
1. 将AB与AC重合拼接：有2种不同拼法，均得到互不全等的四边形，无三角形情况；
2. 将AD与AD重合拼接：有2种拼法，其中1种拼成原等腰三角形（非四边形，排除），剩余1种得到四边形；
3. 将BD与CD重合拼接：有2种拼法，其中1种拼成三角形（非四边形，排除），剩余1种得到四边形。
综上，共能拼出互不全等的四边形2+1+1=4个。
【答案】
4
【知识点】
等腰三角形性质，图形的剪拼，全等三角形性质
【点评】
本题需要结合分类讨论思想分析所有可能的拼接方式，解题时要注意排除拼接后构成三角形的情况，避免多算或者漏算，重点考查动手操作能力和空间想象能力。
【难度系数】
0.6
解题时首先明确剪开得到的两个三角形是全等的直角三角形，共有3组相等的边。要拼成四边形，需将两个三角形的一组相等边重合进行拼接，每一组相等边对应2种拼接方式，我们只需要逐一分析每组边的拼接结果，排除拼接后得到三角形的情况，统计互不全等的四边形数量即可。
【解析】
∵△ABC是等腰三角形，AD⊥BC，
∴BD=CD，△ABD≌△ACD，两个三角形是全等的直角三角形，三组对应相等的边为：AB=AC，AD=AD，BD=CD。
分三类讨论拼接情况：
1. 将AB与AC重合拼接：有2种不同拼法，均得到互不全等的四边形，无三角形情况；
2. 将AD与AD重合拼接：有2种拼法，其中1种拼成原等腰三角形（非四边形，排除），剩余1种得到四边形；
3. 将BD与CD重合拼接：有2种拼法，其中1种拼成三角形（非四边形，排除），剩余1种得到四边形。
综上，共能拼出互不全等的四边形2+1+1=4个。
【答案】
4
【知识点】
等腰三角形性质，图形的剪拼，全等三角形性质
【点评】
本题需要结合分类讨论思想分析所有可能的拼接方式，解题时要注意排除拼接后构成三角形的情况，避免多算或者漏算，重点考查动手操作能力和空间想象能力。
【难度系数】
0.6
21. 关于正比例函数$y=-2x$，下列结论正确的是（
A.图象经过点$(-1,-2)$
B.图象经过第一、三象限
C.$y$随$x$的增大而减小
D.不论$x$取何值，总有$y＜0$
C
）。A.图象经过点$(-1,-2)$
B.图象经过第一、三象限
C.$y$随$x$的增大而减小
D.不论$x$取何值，总有$y＜0$
答案
21. C
解析
【分析】
本题考查正比例函数的相关性质，解题思路如下：首先回忆正比例函数$y=kx$（$k$为常数，$k\ne0$）的图象特征、增减性与$k$的关系，再逐一验证每个选项：对于判断点是否在函数图象上的选项，将点的横坐标代入解析式计算出纵坐标，和选项给出的纵坐标对比即可判断正误；对于涉及图象经过的象限、函数增减性、函数值符号的选项，结合$k$的正负根据正比例函数性质判断即可。
【解析】
我们对每个选项逐一分析：
A. 将$x=-1$代入$y=-2x$，得$y=-2×(-1)=2$，因此图象经过点$(-1,2)$，不是$(-1,-2)$，故A错误；
B. 正比例函数$y=kx$中，当$k＜0$时图象经过第二、四象限，本题$k=-2＜0$，因此图象过第二、四象限，故B错误；
C. 正比例函数$y=kx$中，当$k＜0$时，$y$随$x$的增大而减小，本题$k=-2＜0$，因此$y$随$x$的增大而减小，故C正确；
D. 当$x＜0$时，$y=-2x＞0$，例如$x=-1$时$y=2＞0$，因此不是不论$x$取何值都有$y＜0$，故D错误。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
正比例函数的性质；函数图象上点的坐标特征；一次函数的增减性
【点评】
本题属于基础题，核心考查正比例函数中系数$k$对函数图象、增减性的影响，熟练掌握相关性质后逐个排查选项即可快速得分。
【难度系数】
0.8
本题考查正比例函数的相关性质，解题思路如下：首先回忆正比例函数$y=kx$（$k$为常数，$k\ne0$）的图象特征、增减性与$k$的关系，再逐一验证每个选项：对于判断点是否在函数图象上的选项，将点的横坐标代入解析式计算出纵坐标，和选项给出的纵坐标对比即可判断正误；对于涉及图象经过的象限、函数增减性、函数值符号的选项，结合$k$的正负根据正比例函数性质判断即可。
【解析】
我们对每个选项逐一分析：
A. 将$x=-1$代入$y=-2x$，得$y=-2×(-1)=2$，因此图象经过点$(-1,2)$，不是$(-1,-2)$，故A错误；
B. 正比例函数$y=kx$中，当$k＜0$时图象经过第二、四象限，本题$k=-2＜0$，因此图象过第二、四象限，故B错误；
C. 正比例函数$y=kx$中，当$k＜0$时，$y$随$x$的增大而减小，本题$k=-2＜0$，因此$y$随$x$的增大而减小，故C正确；
D. 当$x＜0$时，$y=-2x＞0$，例如$x=-1$时$y=2＞0$，因此不是不论$x$取何值都有$y＜0$，故D错误。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
正比例函数的性质；函数图象上点的坐标特征；一次函数的增减性
【点评】
本题属于基础题，核心考查正比例函数中系数$k$对函数图象、增减性的影响，熟练掌握相关性质后逐个排查选项即可快速得分。
【难度系数】
0.8
22. 在直角坐标系中,若点$P(1-m,m)$在第二象限,则下列关系式正确的是(
A.$0＜m＜1$
B.$m＜0$
C.$m＞0$
D.$m＞1$
D
)。A.$0＜m＜1$
B.$m＜0$
C.$m＞0$
D.$m＞1$
答案
22. D
解析
【分析】
要解决这道题，首先需要明确平面直角坐标系中第二象限内点的坐标符号特征：横坐标为负数，纵坐标为正数。接下来我们将点P的横、纵坐标分别对应这个特征列出不等式，再解不等式组得到m的取值范围，最后匹配选项即可得到正确答案。
【解析】
∵ 第二象限内的点的横坐标小于0，纵坐标大于0，点$P(1-m,m)$在第二象限
∴ 可列不等式组：
$\begin{cases}1-m ＜ 0 ①\\m ＞ 0 ②\end{cases}$
解不等式①：移项得 $-m ＜ -1$，两边同时乘$-1$（不等号方向改变），得 $m ＞ 1$
结合不等式②$m＞0$，根据“同大取大”的原则，不等式组的解集为$m＞1$
因此符合条件的是选项D。
【答案】
D
【知识点】
各象限内点的坐标特征；解一元一次不等式组
【点评】
本题属于基础常考题，主要考查对第二象限点坐标符号规律的掌握，结合一元一次不等式组的解法即可快速求解，熟练记忆各象限点的坐标符号是解题的关键。
【难度系数】
0.9
要解决这道题，首先需要明确平面直角坐标系中第二象限内点的坐标符号特征：横坐标为负数，纵坐标为正数。接下来我们将点P的横、纵坐标分别对应这个特征列出不等式，再解不等式组得到m的取值范围，最后匹配选项即可得到正确答案。
【解析】
∵ 第二象限内的点的横坐标小于0，纵坐标大于0，点$P(1-m,m)$在第二象限
∴ 可列不等式组：
$\begin{cases}1-m ＜ 0 ①\\m ＞ 0 ②\end{cases}$
解不等式①：移项得 $-m ＜ -1$，两边同时乘$-1$（不等号方向改变），得 $m ＞ 1$
结合不等式②$m＞0$，根据“同大取大”的原则，不等式组的解集为$m＞1$
因此符合条件的是选项D。
【答案】
D
【知识点】
各象限内点的坐标特征；解一元一次不等式组
【点评】
本题属于基础常考题，主要考查对第二象限点坐标符号规律的掌握，结合一元一次不等式组的解法即可快速求解，熟练记忆各象限点的坐标符号是解题的关键。
【难度系数】
0.9
23. 如图,在等边三角形ABC中,BD＝CE,AD与BE交于点P,则∠APE的度数是(
A.$45°$
B.$55°$
C.$60°$
D.$75°$
C
)A.$45°$
B.$55°$
C.$60°$
D.$75°$
答案
23. C
解析
【分析】
解决本题首先回忆等边三角形的性质：三边相等，三个内角均为60°。已知BD=CE，可尝试证明包含这两组等边的△ABD和△BCE全等，通过全等得到对应角相等，再利用角的和差关系、对顶角相等以及三角形外角的性质，推导得出∠APE的度数。
【解析】
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC，∠ABD=∠C=∠ABC=60°，
在△ABD和△BCE中：
$\{\begin{array}{l}AB=BC\\ ∠ ABD=∠ C\\ BD=CE\end{array} $
∴△ABD≌△BCE（SAS），
∴∠BAD=∠CBE。
∵∠APE与∠BPD是对顶角，
∴∠APE=∠BPD，
又
∵∠BPD是△ABP的外角，根据三角形外角性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，
∴∠BPD=∠BAD+∠ABP，
将∠BAD替换为∠CBE，得：
∠BPD=∠CBE+∠ABP=∠ABC=60°，
∴∠APE=60°。
【答案】
C
【知识点】
等边三角形的性质；全等三角形的判定与性质；三角形外角的性质
【点评】
本题是几何基础常考题，将等边三角形性质、全等三角形判定与性质、三角形外角性质结合考查，解题核心是通过全等转换角的等量关系，再结合角的和差计算角度，难度不大。
【难度系数】
0.8
解决本题首先回忆等边三角形的性质：三边相等，三个内角均为60°。已知BD=CE，可尝试证明包含这两组等边的△ABD和△BCE全等，通过全等得到对应角相等，再利用角的和差关系、对顶角相等以及三角形外角的性质，推导得出∠APE的度数。
【解析】
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC，∠ABD=∠C=∠ABC=60°，
在△ABD和△BCE中：
$\{\begin{array}{l}AB=BC\\ ∠ ABD=∠ C\\ BD=CE\end{array} $
∴△ABD≌△BCE（SAS），
∴∠BAD=∠CBE。
∵∠APE与∠BPD是对顶角，
∴∠APE=∠BPD，
又
∵∠BPD是△ABP的外角，根据三角形外角性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，
∴∠BPD=∠BAD+∠ABP，
将∠BAD替换为∠CBE，得：
∠BPD=∠CBE+∠ABP=∠ABC=60°，
∴∠APE=60°。
【答案】
C
【知识点】
等边三角形的性质；全等三角形的判定与性质；三角形外角的性质
【点评】
本题是几何基础常考题，将等边三角形性质、全等三角形判定与性质、三角形外角性质结合考查，解题核心是通过全等转换角的等量关系，再结合角的和差计算角度，难度不大。
【难度系数】
0.8
24. 已知一次函数$y_1=ax+2a-1(a＜0)$和$y_2=\frac{1}{2}x$，当$y_1＜y_2$时，$x$的取值范围是
$x＞-2$
。答案
24. $x＞-2$
解析
【分析】
要解决该问题，首先根据“$y_1＜y_2$”的条件列出关于x的不等式，再结合$a＜0$的已知条件解一元一次不等式即可。解题时要注意：不等式两边同时除以负数时，不等号方向需要改变。
【解析】
解：
∵ $y_1＜y_2$
∴ 代入函数表达式得：$ax + 2a - 1 ＜ \frac{1}{2}x$
移项，将含x的项移到不等号左侧，常数项移到右侧：
$ax - \frac{1}{2}x ＜ 1 - 2a$
左侧提取公因式x，右侧变形可得：
$x(a - \frac{1}{2}) ＜ -2(a - \frac{1}{2})$
∵ $a＜0$，
∴ $a - \frac{1}{2} ＜ 0 - \frac{1}{2} = -\frac{1}{2} ＜ 0$
不等式两边同时除以负数$(a - \frac{1}{2})$，不等号方向改变：
$x ＞ \frac{-2(a - \frac{1}{2})}{a - \frac{1}{2}}$
约分得：$x ＞ -2$
【答案】
$x＞-2$
【知识点】
一次函数与不等式；解一元一次不等式；不等式的基本性质
【点评】
本题属于一次函数与不等式的综合基础题，解题核心是正确根据函数大小关系列不等式，易错点是忽略不等式两边除以负数时不等号方向需要改变。
【难度系数】
0.7
要解决该问题，首先根据“$y_1＜y_2$”的条件列出关于x的不等式，再结合$a＜0$的已知条件解一元一次不等式即可。解题时要注意：不等式两边同时除以负数时，不等号方向需要改变。
【解析】
解：
∵ $y_1＜y_2$
∴ 代入函数表达式得：$ax + 2a - 1 ＜ \frac{1}{2}x$
移项，将含x的项移到不等号左侧，常数项移到右侧：
$ax - \frac{1}{2}x ＜ 1 - 2a$
左侧提取公因式x，右侧变形可得：
$x(a - \frac{1}{2}) ＜ -2(a - \frac{1}{2})$
∵ $a＜0$，
∴ $a - \frac{1}{2} ＜ 0 - \frac{1}{2} = -\frac{1}{2} ＜ 0$
不等式两边同时除以负数$(a - \frac{1}{2})$，不等号方向改变：
$x ＞ \frac{-2(a - \frac{1}{2})}{a - \frac{1}{2}}$
约分得：$x ＞ -2$
【答案】
$x＞-2$
【知识点】
一次函数与不等式；解一元一次不等式；不等式的基本性质
【点评】
本题属于一次函数与不等式的综合基础题，解题核心是正确根据函数大小关系列不等式，易错点是忽略不等式两边除以负数时不等号方向需要改变。
【难度系数】
0.7
25. 仔细阅读下图的对话，根据对话内容，求出饼干和矿泉水的标价。
答案
25. 设饼干的标价为每盒 x 元,矿泉水的标价为每瓶 y 元,则$\begin{cases}x+y＞10,\\0.9x+y=10-0.8,\end{cases}$解得$x＞8$。又$x＜10$且为整数,所以$x=9$。把$x=9$代入,得$y=1.1$。所以饼干的标价为每盒 9 元,矿泉水的标价为每瓶 1.1 元。
解析
【分析】
解题时先统一单位，将8角换算为0.8元，再逐一梳理题目条件：①10元买饼干还有剩余，说明饼干标价x＜10且为整数；②原价买1盒饼干和1瓶矿泉水总价超过10元，可得不等关系x+y＞10；③饼干打九折后买两样东西付10元找回0.8元，可得等量关系0.9x+y=10-0.8。接下来用代入消元的思路，把y用含x的式子表示后代入不等式，求出x的取值范围，再结合x是正整数且小于10的条件确定x的值，最后求出y的值即可。
【解析】
解：设饼干的标价为每盒x元，矿泉水的标价为每瓶y元，统一单位：8角=0.8元。
根据题意可列关系式：
$\begin{cases} x ＜ 10 ①\\ x+y ＞ 10 ②\\ 0.9x + y = 10 - 0.8 ③ \end{cases}$
由③式整理得：$y = 9.2 - 0.9x$ ④
把④代入②式得：$x + 9.2 - 0.9x ＞ 10$
合并同类项得：$0.1x + 9.2 ＞ 10$
移项计算得：$0.1x ＞ 0.8$，解得$x ＞ 8$
结合①式$x ＜ 10$，且x为整数，可得$x = 9$
把$x=9$代入④式得：$y = 9.2 - 0.9×9 = 1.1$
经检验，结果符合所有题意。
【答案】
饼干的标价为每盒9元，矿泉水的标价为每瓶1.1元。
【知识点】
不等式应用，方程应用，折扣问题
【点评】
本题以生活购物场景为背景，需要学生将文字信息转化为数学中的方程和不等式关系，解题的关键是挖掘“饼干标价为整数”“10元单买饼干有剩余”这些隐含条件，能很好地锻炼学生的信息提取能力和实际问题解决能力。
【难度系数】
0.7
解题时先统一单位，将8角换算为0.8元，再逐一梳理题目条件：①10元买饼干还有剩余，说明饼干标价x＜10且为整数；②原价买1盒饼干和1瓶矿泉水总价超过10元，可得不等关系x+y＞10；③饼干打九折后买两样东西付10元找回0.8元，可得等量关系0.9x+y=10-0.8。接下来用代入消元的思路，把y用含x的式子表示后代入不等式，求出x的取值范围，再结合x是正整数且小于10的条件确定x的值，最后求出y的值即可。
【解析】
解：设饼干的标价为每盒x元，矿泉水的标价为每瓶y元，统一单位：8角=0.8元。
根据题意可列关系式：
$\begin{cases} x ＜ 10 ①\\ x+y ＞ 10 ②\\ 0.9x + y = 10 - 0.8 ③ \end{cases}$
由③式整理得：$y = 9.2 - 0.9x$ ④
把④代入②式得：$x + 9.2 - 0.9x ＞ 10$
合并同类项得：$0.1x + 9.2 ＞ 10$
移项计算得：$0.1x ＞ 0.8$，解得$x ＞ 8$
结合①式$x ＜ 10$，且x为整数，可得$x = 9$
把$x=9$代入④式得：$y = 9.2 - 0.9×9 = 1.1$
经检验，结果符合所有题意。
【答案】
饼干的标价为每盒9元，矿泉水的标价为每瓶1.1元。
【知识点】
不等式应用，方程应用，折扣问题
【点评】
本题以生活购物场景为背景，需要学生将文字信息转化为数学中的方程和不等式关系，解题的关键是挖掘“饼干标价为整数”“10元单买饼干有剩余”这些隐含条件，能很好地锻炼学生的信息提取能力和实际问题解决能力。
【难度系数】
0.7
