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1.(兰州中考)计算:$2a(a^2 + 2b)=$ (
A.$a^3 + 4ab$
B.$2a^3 + 2ab$
C.$2a + 4ab$
D.$2a^3 + 4ab$
D
)A.$a^3 + 4ab$
B.$2a^3 + 2ab$
C.$2a + 4ab$
D.$2a^3 + 4ab$
答案
1.D
解析
【分析】
这道题考查单项式乘多项式的运算，解题思路是依据单项式乘多项式的运算法则，用单项式2a分别乘多项式$a^2+2b$的每一项，再把得到的两个积相加，计算过程中要注意同底数幂相乘的运算规则以及系数的乘法计算，最后对应选项选出答案即可。
【解析】
根据单项式乘多项式的运算法则：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。
计算过程如下：
$\begin{aligned}2a(a^2 + 2b)&=2a· a^2 + 2a· 2b\\&=2a^{1+2} + (2×2)ab\\&=2a^3 + 4ab\end{aligned}$
所得结果对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
单项式乘多项式；同底数幂的乘法
【点评】
本题属于整式乘法的基础题型，核心考查对单项式乘多项式运算法则的应用，计算时需注意系数相乘的结果以及同底数幂的指数运算规则，避免出现系数算错或指数漏加的失误。
【难度系数】
0.9
这道题考查单项式乘多项式的运算，解题思路是依据单项式乘多项式的运算法则，用单项式2a分别乘多项式$a^2+2b$的每一项，再把得到的两个积相加，计算过程中要注意同底数幂相乘的运算规则以及系数的乘法计算，最后对应选项选出答案即可。
【解析】
根据单项式乘多项式的运算法则：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。
计算过程如下：
$\begin{aligned}2a(a^2 + 2b)&=2a· a^2 + 2a· 2b\\&=2a^{1+2} + (2×2)ab\\&=2a^3 + 4ab\end{aligned}$
所得结果对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
单项式乘多项式；同底数幂的乘法
【点评】
本题属于整式乘法的基础题型，核心考查对单项式乘多项式运算法则的应用，计算时需注意系数相乘的结果以及同底数幂的指数运算规则，避免出现系数算错或指数漏加的失误。
【难度系数】
0.9
2.(教材P105例T2变式)计算：
(1)$(\frac{2}{3}ab^2 - 2ab) · \frac{1}{2}ab = \_\_\_\_\_\_$；
(2)$(x - 3y) · (-6x) = \_\_\_\_\_\_$。
(1)$(\frac{2}{3}ab^2 - 2ab) · \frac{1}{2}ab = \_\_\_\_\_\_$；
(2)$(x - 3y) · (-6x) = \_\_\_\_\_\_$。
答案
2.(1)$\frac{1}{3}a^2b^3 - a^2b^2$ (2)$-6x^2 + 18xy$
解析
【分析】
这两道题均考查单项式乘多项式的运算，解题核心是运用乘法分配律：用单项式去乘多项式的每一项，再把所有的积相加。计算时需注意三点：①系数相乘要准确；②同底数幂相乘遵循“底数不变，指数相加”的规则；③不要漏乘项，同时要注意各项的符号，尤其是带负号的项运算时符号不要出错。
【解析】
(1) 根据单项式乘多项式法则展开计算：
$\begin{aligned}(\frac{2}{3}ab^2 - 2ab) · \frac{1}{2}ab&=\frac{2}{3}ab^2 · \frac{1}{2}ab + (-2ab) · \frac{1}{2}ab\\&=(\frac{2}{3}×\frac{1}{2})a^{1+1}b^{2+1} + (-2×\frac{1}{2})a^{1+1}b^{1+1}\\&=\frac{1}{3}a^2b^3 - a^2b^2\end{aligned}$
(2) 同理展开计算：
$\begin{aligned}(x - 3y) · (-6x)&=x·(-6x) + (-3y)·(-6x)\\&=-6x^2 + 18xy\end{aligned}$
【答案】
(1)$\frac{1}{3}a^2b^3 - a^2b^2$；(2)$-6x^2 + 18xy$
【知识点】
单项式乘多项式运算、同底数幂的乘法
【点评】
本题属于整式乘法的基础运算题，核心考查对单项式乘多项式法则的掌握，计算时要注意不要漏乘多项式的每一项，重点关注负号的运算以及同底数幂的指数运算规则，细心计算即可得分。
【难度系数】
0.8
这两道题均考查单项式乘多项式的运算，解题核心是运用乘法分配律：用单项式去乘多项式的每一项，再把所有的积相加。计算时需注意三点：①系数相乘要准确；②同底数幂相乘遵循“底数不变，指数相加”的规则；③不要漏乘项，同时要注意各项的符号，尤其是带负号的项运算时符号不要出错。
【解析】
(1) 根据单项式乘多项式法则展开计算：
$\begin{aligned}(\frac{2}{3}ab^2 - 2ab) · \frac{1}{2}ab&=\frac{2}{3}ab^2 · \frac{1}{2}ab + (-2ab) · \frac{1}{2}ab\\&=(\frac{2}{3}×\frac{1}{2})a^{1+1}b^{2+1} + (-2×\frac{1}{2})a^{1+1}b^{1+1}\\&=\frac{1}{3}a^2b^3 - a^2b^2\end{aligned}$
(2) 同理展开计算：
$\begin{aligned}(x - 3y) · (-6x)&=x·(-6x) + (-3y)·(-6x)\\&=-6x^2 + 18xy\end{aligned}$
【答案】
(1)$\frac{1}{3}a^2b^3 - a^2b^2$；(2)$-6x^2 + 18xy$
【知识点】
单项式乘多项式运算、同底数幂的乘法
【点评】
本题属于整式乘法的基础运算题，核心考查对单项式乘多项式法则的掌握，计算时要注意不要漏乘多项式的每一项，重点关注负号的运算以及同底数幂的指数运算规则，细心计算即可得分。
【难度系数】
0.8
3.(易错题)计算：$-3a^{2}b· (a^{2}-5b+1)=$
$-3a^4b + 15a^2b^2 - 3a^2b$
.答案
3.$-3a^4b + 15a^2b^2 - 3a^2b$
解析
【分析】
本题属于单项式乘多项式的运算题，解题思路如下：首先明确运算规则：单项式乘多项式，需用单项式分别乘多项式的每一项，再把所得的积相加。计算时需注意三个核心要点：一是不能漏乘多项式的任意一项，尤其要注意不要漏乘常数项1；二是注意符号处理，本题单项式系数为负，乘多项式各项时要准确判断每一项乘积的符号；三是单项式乘单项式时，系数相乘作为积的系数，同底数幂按照“底数不变，指数相加”计算，单独出现的字母直接保留在乘积中。
【解析】
根据单项式乘多项式的运算法则展开计算：
$\begin{aligned}-3a^{2}b· (a^{2}-5b+1)&=-3a^2b·a^2 + (-3a^2b)·(-5b) + (-3a^2b)·1 \\&=-3a^{2+2}b + 15a^2b^{1+1} -3a^2b \\&=-3a^4b + 15a^2b^2 - 3a^2b\end{aligned}$
【答案】
$-3a^4b + 15a^2b^2 - 3a^2b$
【知识点】
单项式乘多项式、同底数幂的乘法、单项式乘法
【点评】
本题是整式乘法的基础易错题，核心考查单项式乘多项式的运算规则，常见错误为漏乘常数项、符号判断错误、同底数幂指数计算错误，计算后可核对结果的项数是否与原多项式项数一致，避免漏项。
【难度系数】
0.7
本题属于单项式乘多项式的运算题，解题思路如下：首先明确运算规则：单项式乘多项式，需用单项式分别乘多项式的每一项，再把所得的积相加。计算时需注意三个核心要点：一是不能漏乘多项式的任意一项，尤其要注意不要漏乘常数项1；二是注意符号处理，本题单项式系数为负，乘多项式各项时要准确判断每一项乘积的符号；三是单项式乘单项式时，系数相乘作为积的系数，同底数幂按照“底数不变，指数相加”计算，单独出现的字母直接保留在乘积中。
【解析】
根据单项式乘多项式的运算法则展开计算：
$\begin{aligned}-3a^{2}b· (a^{2}-5b+1)&=-3a^2b·a^2 + (-3a^2b)·(-5b) + (-3a^2b)·1 \\&=-3a^{2+2}b + 15a^2b^{1+1} -3a^2b \\&=-3a^4b + 15a^2b^2 - 3a^2b\end{aligned}$
【答案】
$-3a^4b + 15a^2b^2 - 3a^2b$
【知识点】
单项式乘多项式、同底数幂的乘法、单项式乘法
【点评】
本题是整式乘法的基础易错题，核心考查单项式乘多项式的运算规则，常见错误为漏乘常数项、符号判断错误、同底数幂指数计算错误，计算后可核对结果的项数是否与原多项式项数一致，避免漏项。
【难度系数】
0.7
4.已知$x^2 + 3x + 1 = 0$，则式子$4 + x(x + 3)$的值为
3
。答案
4.3
解析
【分析】
解题时先观察所求代数式的结构，首先利用单项式乘以多项式的法则展开x(x+3)，整理所求代数式后，会发现式子中出现和已知方程左侧相同的部分x²+3x，此时只需将已知方程变形得到x²+3x的取值，整体代入即可求出结果，无需解出x的具体值，能简化计算。
【解析】
1. 化简所求代数式：
根据单项式乘多项式的运算规则，$x(x+3)=x^2+3x$，因此：
$4 + x(x + 3)=4+x^2+3x=x^2+3x+4$
2. 由已知方程推导整体值：
已知$x^2 + 3x + 1 = 0$，移项可得$x^2+3x=-1$
3. 整体代入计算：
将$x^2+3x=-1$代入化简后的式子，得：
原式$=-1+4=3$
【答案】
3
【知识点】
单项式乘多项式，代数式求值，整体代入思想
【点评】
本题侧重考查单项式乘多项式的运算法则，以及整体代入求值的技巧，不需要求解未知数的具体值，通过整体代换即可快速得到结果，是代数求值类题目的基础常见题型。
【难度系数】
0.8
解题时先观察所求代数式的结构，首先利用单项式乘以多项式的法则展开x(x+3)，整理所求代数式后，会发现式子中出现和已知方程左侧相同的部分x²+3x，此时只需将已知方程变形得到x²+3x的取值，整体代入即可求出结果，无需解出x的具体值，能简化计算。
【解析】
1. 化简所求代数式：
根据单项式乘多项式的运算规则，$x(x+3)=x^2+3x$，因此：
$4 + x(x + 3)=4+x^2+3x=x^2+3x+4$
2. 由已知方程推导整体值：
已知$x^2 + 3x + 1 = 0$，移项可得$x^2+3x=-1$
3. 整体代入计算：
将$x^2+3x=-1$代入化简后的式子，得：
原式$=-1+4=3$
【答案】
3
【知识点】
单项式乘多项式，代数式求值，整体代入思想
【点评】
本题侧重考查单项式乘多项式的运算法则，以及整体代入求值的技巧，不需要求解未知数的具体值，通过整体代换即可快速得到结果，是代数求值类题目的基础常见题型。
【难度系数】
0.8
5.(教材 P110 习题2变式)计算：
(1)$-ab(2a^2b + ab - 1)$；
(2)$a(3+a)-3(a+2)$。
(1)$-ab(2a^2b + ab - 1)$；
(2)$a(3+a)-3(a+2)$。
答案
5.(1)原式=$-2a^3b^2 - a^2b^2 + ab$ (2)原式=$a^2 - 6$
解析
【分析】
本题考查整式乘法中的单项式乘多项式运算，解题思路如下：
(1) 对于单项式乘多项式的运算，依据法则：用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。计算时要注意单项式带负号，乘每一项时都要正确处理符号，同时结合同底数幂的乘法法则计算系数与字母部分。
(2) 先分别计算两个单项式乘多项式的部分，再去括号，最后合并同类项得到结果，合并时注意找准同类项，正确抵消或合并。
【解析】
(1) 根据单项式乘多项式法则展开计算：
$\begin{aligned}原式&=-ab· 2a^2b + (-ab)· ab + (-ab)· (-1)\\&=-2a^{1+2}b^{1+1} - a^{1+1}b^{1+1} + ab\\&=-2a^3b^2 - a^2b^2 + ab\end{aligned}$
(2) 先分别展开两个乘积，再合并同类项：
$\begin{aligned}原式&=3a + a^2 - 3(a+2)\\&=3a + a^2 - 3a -6\\&=a^2 -6\end{aligned}$
【答案】
(1) $-2a^3b^2 - a^2b^2 + ab$；(2) $a^2 - 6$
【知识点】
单项式乘多项式、同底数幂的乘法、合并同类项
【点评】
本题属于整式乘法的基础题型，核心考查单项式乘多项式的运算规则，计算时需特别注意负号的处理，避免出现漏乘项、符号错误或合并同类项失误的问题。
【难度系数】
0.8
本题考查整式乘法中的单项式乘多项式运算，解题思路如下：
(1) 对于单项式乘多项式的运算，依据法则：用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。计算时要注意单项式带负号，乘每一项时都要正确处理符号，同时结合同底数幂的乘法法则计算系数与字母部分。
(2) 先分别计算两个单项式乘多项式的部分，再去括号，最后合并同类项得到结果，合并时注意找准同类项，正确抵消或合并。
【解析】
(1) 根据单项式乘多项式法则展开计算：
$\begin{aligned}原式&=-ab· 2a^2b + (-ab)· ab + (-ab)· (-1)\\&=-2a^{1+2}b^{1+1} - a^{1+1}b^{1+1} + ab\\&=-2a^3b^2 - a^2b^2 + ab\end{aligned}$
(2) 先分别展开两个乘积，再合并同类项：
$\begin{aligned}原式&=3a + a^2 - 3(a+2)\\&=3a + a^2 - 3a -6\\&=a^2 -6\end{aligned}$
【答案】
(1) $-2a^3b^2 - a^2b^2 + ab$；(2) $a^2 - 6$
【知识点】
单项式乘多项式、同底数幂的乘法、合并同类项
【点评】
本题属于整式乘法的基础题型，核心考查单项式乘多项式的运算规则，计算时需特别注意负号的处理，避免出现漏乘项、符号错误或合并同类项失误的问题。
【难度系数】
0.8
6.若一个长方体的长、宽、高分别为2x，x，3x－4，则长方体的体积为
$6x^3 - 8x^2$
。答案
6.$6x^3 - 8x^2$
解析
【分析】
解题首先回忆长方体的体积计算公式：体积=长×宽×高。首先将题目给出的长、宽、高代入公式，得到整式乘法算式，先计算前两个单项式的乘积，再按照单项式乘以多项式的运算法则展开计算即可得到结果。
【解析】
根据长方体体积公式可得：
$\begin{aligned}V&=长×宽×高\\&=2x· x·(3x-4)\\&=2x^2·(3x-4)\\&=2x^2·3x + 2x^2×(-4)\\&=6x^3 - 8x^2\end{aligned}$
【答案】
$6x^3 - 8x^2$
【知识点】
长方体体积计算；单项式乘单项式；单项式乘多项式
【点评】
本题是整式乘法与几何体积计算的结合题型，核心考查整式乘法的运算法则，难度较低，熟练掌握相关公式和运算法则即可快速解题。
【难度系数】
0.85
解题首先回忆长方体的体积计算公式：体积=长×宽×高。首先将题目给出的长、宽、高代入公式，得到整式乘法算式，先计算前两个单项式的乘积，再按照单项式乘以多项式的运算法则展开计算即可得到结果。
【解析】
根据长方体体积公式可得：
$\begin{aligned}V&=长×宽×高\\&=2x· x·(3x-4)\\&=2x^2·(3x-4)\\&=2x^2·3x + 2x^2×(-4)\\&=6x^3 - 8x^2\end{aligned}$
【答案】
$6x^3 - 8x^2$
【知识点】
长方体体积计算；单项式乘单项式；单项式乘多项式
【点评】
本题是整式乘法与几何体积计算的结合题型，核心考查整式乘法的运算法则，难度较低，熟练掌握相关公式和运算法则即可快速解题。
【难度系数】
0.85
7. 情境题 现实生活 如图，把边长分别为a和b的两个正方形并列放在一起，请你计算出图中阴影部分的面积。
答案
7.图中阴影部分的面积为$a^2 + b^2 + \frac{1}{2}b(a-b) - \frac{1}{2}a^2 - \frac{1}{2}b(a+b)=\frac{1}{2}a^2$
解析
【分析】
本题是不规则图形面积计算问题，采用“总面积减空白面积”的思路求解：首先明确阴影部分没有直接可套用的面积公式，因此先计算阴影所在的完整区域总面积，即两个正方形面积加上△DCF的面积；再分别计算两个空白三角形的面积；最后用总面积减去空白部分总面积，通过整式化简即可得到阴影面积。
【解析】
解：先计算阴影覆盖区域的总面积：
1. 边长为$a$的正方形面积：$S_1=a^2$
2. 边长为$b$的正方形面积：$S_2=b^2$
3. $△ DCF$的底为$b$，高为$a-b$，面积：$S_3=\frac{1}{2}b(a-b)$
总面积$S_{总}=a^2 + b^2 + \frac{1}{2}b(a-b)$
再计算空白部分总面积：
1. $△ ABD$为大正方形面积的一半，面积：$S_{空1}=\frac{1}{2}a^2$
2. $△ BEF$的底为$a+b$，高为$b$，面积：$S_{空2}=\frac{1}{2}b(a+b)$
空白总面积$S_{空}=\frac{1}{2}a^2 + \frac{1}{2}b(a+b)$
阴影面积为总面积减空白面积，代入化简：
$\begin{aligned}S_{阴}&= a^2 + b^2 + \frac{1}{2}b(a-b) - \frac{1}{2}a^2 - \frac{1}{2}b(a+b)\\&=a^2 + b^2 + \frac{1}{2}ab - \frac{1}{2}b^2 - \frac{1}{2}a^2 - \frac{1}{2}ab - \frac{1}{2}b^2\\&=\frac{1}{2}a^2\end{aligned}$
【答案】
$\frac{1}{2}a^2$
【知识点】
1. 面积和差计算 2. 单项式乘多项式 3. 整式化简
【点评】
本题考查不规则图形面积的计算方法，重点是掌握割补法（和差法）将未知面积转化为多个规则图形面积的和或差，计算过程中要注意整式运算的符号，避免展开时出错。
【难度系数】
0.7
本题是不规则图形面积计算问题，采用“总面积减空白面积”的思路求解：首先明确阴影部分没有直接可套用的面积公式，因此先计算阴影所在的完整区域总面积，即两个正方形面积加上△DCF的面积；再分别计算两个空白三角形的面积；最后用总面积减去空白部分总面积，通过整式化简即可得到阴影面积。
【解析】
解：先计算阴影覆盖区域的总面积：
1. 边长为$a$的正方形面积：$S_1=a^2$
2. 边长为$b$的正方形面积：$S_2=b^2$
3. $△ DCF$的底为$b$，高为$a-b$，面积：$S_3=\frac{1}{2}b(a-b)$
总面积$S_{总}=a^2 + b^2 + \frac{1}{2}b(a-b)$
再计算空白部分总面积：
1. $△ ABD$为大正方形面积的一半，面积：$S_{空1}=\frac{1}{2}a^2$
2. $△ BEF$的底为$a+b$，高为$b$，面积：$S_{空2}=\frac{1}{2}b(a+b)$
空白总面积$S_{空}=\frac{1}{2}a^2 + \frac{1}{2}b(a+b)$
阴影面积为总面积减空白面积，代入化简：
$\begin{aligned}S_{阴}&= a^2 + b^2 + \frac{1}{2}b(a-b) - \frac{1}{2}a^2 - \frac{1}{2}b(a+b)\\&=a^2 + b^2 + \frac{1}{2}ab - \frac{1}{2}b^2 - \frac{1}{2}a^2 - \frac{1}{2}ab - \frac{1}{2}b^2\\&=\frac{1}{2}a^2\end{aligned}$
【答案】
$\frac{1}{2}a^2$
【知识点】
1. 面积和差计算 2. 单项式乘多项式 3. 整式化简
【点评】
本题考查不规则图形面积的计算方法，重点是掌握割补法（和差法）将未知面积转化为多个规则图形面积的和或差，计算过程中要注意整式运算的符号，避免展开时出错。
【难度系数】
0.7
8.(方程思想)如果计算$(2 - nx + 3x^2 + mx^3)(-4x^2)$的结果不含$x^5$项，那么$m$的值为（
A.0
B.1
C.$-1$
D.$-\frac{1}{4}$
A
）A.0
B.1
C.$-1$
D.$-\frac{1}{4}$
答案
8.A
解析
【分析】
解题思路：首先根据单项式乘多项式的运算法则将原式展开，找到展开式中$x^5$项的系数；题目中“结果不含$x^5$项”的含义是$x^5$项的系数为0，据此列方程求解即可得到$m$的值。
【解析】
根据单项式乘多项式法则展开原式：
$\begin{aligned}&(2 - nx + 3x^2 + mx^3)(-4x^2)\\=&2×(-4x^2) + (-nx)×(-4x^2) + 3x^2×(-4x^2) + mx^3×(-4x^2)\\=&-8x^2 + 4nx^3 - 12x^4 - 4mx^5\end{aligned}$
因为计算结果不含$x^5$项，所以$x^5$项的系数为0，可得：
$-4m=0$
解得$m=0$。
【答案】
A
【知识点】
单项式乘多项式；项的系数；不含项的条件
【点评】
本题是整式乘法的基础常考题，核心是掌握单项式乘多项式的运算规则，明确“不含某一项”等价于该项的系数为0，即可快速求解。
【难度系数】
0.8
解题思路：首先根据单项式乘多项式的运算法则将原式展开，找到展开式中$x^5$项的系数；题目中“结果不含$x^5$项”的含义是$x^5$项的系数为0，据此列方程求解即可得到$m$的值。
【解析】
根据单项式乘多项式法则展开原式：
$\begin{aligned}&(2 - nx + 3x^2 + mx^3)(-4x^2)\\=&2×(-4x^2) + (-nx)×(-4x^2) + 3x^2×(-4x^2) + mx^3×(-4x^2)\\=&-8x^2 + 4nx^3 - 12x^4 - 4mx^5\end{aligned}$
因为计算结果不含$x^5$项，所以$x^5$项的系数为0，可得：
$-4m=0$
解得$m=0$。
【答案】
A
【知识点】
单项式乘多项式；项的系数；不含项的条件
【点评】
本题是整式乘法的基础常考题，核心是掌握单项式乘多项式的运算规则，明确“不含某一项”等价于该项的系数为0，即可快速求解。
【难度系数】
0.8
9.已知$ab^2=-1$，则$(-ab)(a^2b^5 - ab^3 - b)$的值为
1
.答案
9.1
解析
【分析】
解题时首先利用单项式乘以多项式的法则将原式展开，再根据积的乘方的逆运算，把展开后的各项转化为含有$ab^2$的形式，最后将已知条件$ab^2=-1$整体代入计算即可，不需要单独求解$a$、$b$的具体数值，用整体代换思想可简化计算过程。
【解析】
先根据单项式乘多项式法则展开原式：
$\begin{aligned}(-ab)(a^2b^5 - ab^3 - b)&=(-ab)· a^2b^5 + (-ab)· (-ab^3) + (-ab)· (-b)\\&=-a^3b^6 + a^2b^4 + ab^2\end{aligned}$
逆用积的乘方公式变形：$a^3b^6=(ab^2)^3$，$a^2b^4=(ab^2)^2$，因此原式可改写为：
$-(ab^2)^3 + (ab^2)^2 + ab^2$
将$ab^2=-1$代入上式计算：
$\begin{aligned}&-(-1)^3 + (-1)^2 + (-1)\\=&1 + 1 -1\\=&1\end{aligned}$
【答案】
1
【知识点】
单项式乘以多项式；积的乘方运算；整体代入求值
【点评】
本题侧重考查整式乘法法则的应用和整体代换的数学思想，无需单独求解未知字母的值，通过将所求代数式转化为含已知式的结构即可快速得出结果，是整式运算中常见的典型题型。
【难度系数】
0.7
解题时首先利用单项式乘以多项式的法则将原式展开，再根据积的乘方的逆运算，把展开后的各项转化为含有$ab^2$的形式，最后将已知条件$ab^2=-1$整体代入计算即可，不需要单独求解$a$、$b$的具体数值，用整体代换思想可简化计算过程。
【解析】
先根据单项式乘多项式法则展开原式：
$\begin{aligned}(-ab)(a^2b^5 - ab^3 - b)&=(-ab)· a^2b^5 + (-ab)· (-ab^3) + (-ab)· (-b)\\&=-a^3b^6 + a^2b^4 + ab^2\end{aligned}$
逆用积的乘方公式变形：$a^3b^6=(ab^2)^3$，$a^2b^4=(ab^2)^2$，因此原式可改写为：
$-(ab^2)^3 + (ab^2)^2 + ab^2$
将$ab^2=-1$代入上式计算：
$\begin{aligned}&-(-1)^3 + (-1)^2 + (-1)\\=&1 + 1 -1\\=&1\end{aligned}$
【答案】
1
【知识点】
单项式乘以多项式；积的乘方运算；整体代入求值
【点评】
本题侧重考查整式乘法法则的应用和整体代换的数学思想，无需单独求解未知字母的值，通过将所求代数式转化为含已知式的结构即可快速得出结果，是整式运算中常见的典型题型。
【难度系数】
0.7
10.(整体思想)已知$3n - 2m = 4$，则代数式$m(n - 4) - n(m - 6)$的值为
8
。答案
10.8
解析
【分析】
解题时首先运用单项式乘多项式的运算法则将所求代数式展开，再合并同类项完成化简，观察化简后的结果可发现其能整理为含已知式$3n-2m$的形式，此时将$3n-2m$看作一个整体代入计算即可，无需单独求解m、n的具体数值，可大幅简化计算过程。
【解析】
先对代数式展开并化简：
$\begin{aligned}m(n - 4) - n(m - 6)&=mn-4m-(mn-6n)\\&=mn-4m-mn+6n\\&=-4m+6n\\&=2(3n-2m)\end{aligned}$
已知$3n-2m=4$，将其整体代入上式得：
原式$=2×4=8$
【答案】
$8$
【知识点】
单项式乘多项式，整式化简求值，整体代入求值
【点评】
本题重点考查整式的运算技巧，解题关键是先化简代数式，再通过整体代入的方法求值，规避了求解单个未知数的繁琐步骤，很好地体现了整体思想在代数运算中的实用性。
【难度系数】
0.7
解题时首先运用单项式乘多项式的运算法则将所求代数式展开，再合并同类项完成化简，观察化简后的结果可发现其能整理为含已知式$3n-2m$的形式，此时将$3n-2m$看作一个整体代入计算即可，无需单独求解m、n的具体数值，可大幅简化计算过程。
【解析】
先对代数式展开并化简：
$\begin{aligned}m(n - 4) - n(m - 6)&=mn-4m-(mn-6n)\\&=mn-4m-mn+6n\\&=-4m+6n\\&=2(3n-2m)\end{aligned}$
已知$3n-2m=4$，将其整体代入上式得：
原式$=2×4=8$
【答案】
$8$
【知识点】
单项式乘多项式，整式化简求值，整体代入求值
【点评】
本题重点考查整式的运算技巧，解题关键是先化简代数式，再通过整体代入的方法求值，规避了求解单个未知数的繁琐步骤，很好地体现了整体思想在代数运算中的实用性。
【难度系数】
0.7
11.某同学在计算一个多项式乘$-3x^2$时，算成了加上$-3x^2$，得到的答案是$x^2-\frac{1}{2}x+1$，那么正确的计算结果是多少？
答案
11.设这个多项式为A，则$A+(-3x^2)=x^2-\frac{1}{2}x+1$，
∴$A=4x^2-\frac{1}{2}x+1$，
∴$A·(-3x^2)=(4x^2-\frac{1}{2}x+1)(-3x^2)=-12x^4+\frac{3}{2}x^3-3x^2$
∴$A=4x^2-\frac{1}{2}x+1$，
∴$A·(-3x^2)=(4x^2-\frac{1}{2}x+1)(-3x^2)=-12x^4+\frac{3}{2}x^3-3x^2$
解析
【分析】
解题首先需要还原出原本的多项式：由于误将乘法运算算成加法，即原多项式加上$-3x^2$后得到结果$x^2-\frac{1}{2}x+1$，因此可通过“和减去一个加数等于另一个加数”的关系求出原多项式，再将原多项式乘以$-3x^2$，按照单项式乘多项式的运算法则计算，即可得到正确结果。
【解析】
设这个多项式为$A$，根据题意可得：
$A+(-3x^2)=x^2-\frac{1}{2}x+1$
移项求解$A$：
$A=x^2-\frac{1}{2}x+1 - (-3x^2)=x^2-\frac{1}{2}x+1+3x^2=4x^2-\frac{1}{2}x+1$
再计算正确的乘法运算：
$A·(-3x^2)=(4x^2-\frac{1}{2}x+1)×(-3x^2)$
$=4x^2×(-3x^2)+(-\frac{1}{2}x)×(-3x^2)+1×(-3x^2)$
$=-12x^4+\frac{3}{2}x^3-3x^2$
【答案】
$-12x^4+\frac{3}{2}x^3-3x^2$
【知识点】
整式的加减；单项式乘多项式
【点评】
本题属于运算纠错类基础题，核心是先根据错误的运算关系还原出原始多项式，再进行正确运算，计算时需注意单项式乘多项式每一项的符号，避免符号错误。
【难度系数】
0.7
解题首先需要还原出原本的多项式：由于误将乘法运算算成加法，即原多项式加上$-3x^2$后得到结果$x^2-\frac{1}{2}x+1$，因此可通过“和减去一个加数等于另一个加数”的关系求出原多项式，再将原多项式乘以$-3x^2$，按照单项式乘多项式的运算法则计算，即可得到正确结果。
【解析】
设这个多项式为$A$，根据题意可得：
$A+(-3x^2)=x^2-\frac{1}{2}x+1$
移项求解$A$：
$A=x^2-\frac{1}{2}x+1 - (-3x^2)=x^2-\frac{1}{2}x+1+3x^2=4x^2-\frac{1}{2}x+1$
再计算正确的乘法运算：
$A·(-3x^2)=(4x^2-\frac{1}{2}x+1)×(-3x^2)$
$=4x^2×(-3x^2)+(-\frac{1}{2}x)×(-3x^2)+1×(-3x^2)$
$=-12x^4+\frac{3}{2}x^3-3x^2$
【答案】
$-12x^4+\frac{3}{2}x^3-3x^2$
【知识点】
整式的加减；单项式乘多项式
【点评】
本题属于运算纠错类基础题，核心是先根据错误的运算关系还原出原始多项式，再进行正确运算，计算时需注意单项式乘多项式每一项的符号，避免符号错误。
【难度系数】
0.7
12.(推理计算)设n为自然数,试说明$n(2n+1)-2n(n-1)$的值一定是3的倍数.
答案
12.$n(2n+1)-2n(n-1)=2n^2+n-2n^2+2n=3n$，
∵n是自然数，
∴3n是3的倍数，即$n(2n+1)-2n(n-1)$的值一定是3的倍数
∵n是自然数，
∴3n是3的倍数，即$n(2n+1)-2n(n-1)$的值一定是3的倍数
解析
【分析】
要判断给定代数式的值是否为3的倍数，首先需要对代数式进行化简：先运用单项式乘多项式的运算规则去掉括号，再合并同类项得到最简结果，最后结合n是自然数的条件，判断最简结果是否含有因数3即可。
【解析】
先对原式展开并合并同类项：
$n(2n+1)-2n(n-1)$
$=2n^2 + n - 2n^2 + 2n$
$=3n$
∵n是自然数，
∴3n是3与自然数n的乘积，即3n是3的倍数，
因此$n(2n+1)-2n(n-1)$的值一定是3的倍数。
【答案】
$n(2n+1)-2n(n-1)=2n^2+n-2n^2+2n=3n$，
∵n是自然数，
∴3n是3的倍数，即$n(2n+1)-2n(n-1)$的值一定是3的倍数
【知识点】
单项式乘多项式、合并同类项、整除判定
【点评】
本题是整式运算的基础应用题型，解题关键是熟练掌握单项式乘多项式的运算法则，注意运算过程中的符号处理，通过化简将原式转化为含因数3的形式，即可结合已知条件完成判定。
【难度系数】
0.8
要判断给定代数式的值是否为3的倍数，首先需要对代数式进行化简：先运用单项式乘多项式的运算规则去掉括号，再合并同类项得到最简结果，最后结合n是自然数的条件，判断最简结果是否含有因数3即可。
【解析】
先对原式展开并合并同类项：
$n(2n+1)-2n(n-1)$
$=2n^2 + n - 2n^2 + 2n$
$=3n$
∵n是自然数，
∴3n是3与自然数n的乘积，即3n是3的倍数，
因此$n(2n+1)-2n(n-1)$的值一定是3的倍数。
【答案】
$n(2n+1)-2n(n-1)=2n^2+n-2n^2+2n=3n$，
∵n是自然数，
∴3n是3的倍数，即$n(2n+1)-2n(n-1)$的值一定是3的倍数
【知识点】
单项式乘多项式、合并同类项、整除判定
【点评】
本题是整式运算的基础应用题型，解题关键是熟练掌握单项式乘多项式的运算法则，注意运算过程中的符号处理，通过化简将原式转化为含因数3的形式，即可结合已知条件完成判定。
【难度系数】
0.8
