7.(2025·凉州期末)如图,四边形ABCD中,对角线AC,BD交于点O,AB=AC,点E是BD上一点,且∠ABD = ∠ACD,∠EAD = ∠BAC.
(1)求证:AE=AD;
(2)若BD=8,DC=5,求ED的长.

7.(1)
∵∠BAC=∠EAD,
∴∠BAC−∠EAC=∠EAD−∠EAC,即∠BAE=∠CAD,在△ABE 和△ACD 中,$\begin{cases} ∠ABD=∠ACD, \\ AB=AC, \\ ∠BAE=∠CAD, \end{cases}$
∴△ABE≌△ACD(ASA),
∴AE=AD
(2)
∵△ABE≌△ACD,
∴BE=CD,
∵BD=8,DC=5,
∴ED=BD−BE=BD−CD=8−5=3

【分析】
（1）要证明AE=AD，可通过证明两条边所在的三角形全等实现。已知∠BAC=∠EAD，两个角同时减去公共角∠EAC，可推导出∠BAE=∠CAD，结合已知的AB=AC、∠ABD=∠ACD，刚好满足角边角（ASA）的全等判定条件，可证△ABE≌△ACD，根据全等三角形对应边相等即可得到AE=AD。
（2）由（1）的全等结论可得对应边BE=CD，观察线段BD的组成可知ED=BD-BE，代入已知数值即可求出ED的长度。
【解析】
(1) 证明：
∵∠BAC=∠EAD，
∴∠BAC−∠EAC=∠EAD−∠EAC，即∠BAE=∠CAD，
在△ABE 和△ACD 中，
$\begin{cases} ∠ABD=∠ACD, \\ AB=AC, \\ ∠BAE=∠CAD, \end{cases}$
∴△ABE≌△ACD(ASA)，
∴AE=AD。
(2) 解：
∵△ABE≌△ACD，
∴BE=CD，
∵BD=8，DC=5，
∴ED=BD−BE=BD−CD=8−5=3。
【答案】
(1) AE=AD得证；
(2) ED的长为3。
【知识点】
ASA判定全等，全等三角形性质，线段和差计算
【点评】
本题是三角形全等章节的典型考题，解题核心是通过角的和差推导得到相等的夹角，进而证明三角形全等，再利用全等性质求解线段长度，解题思路清晰，注重基础方法的应用。
【难度系数】
0.7

8.(新思维)如图,在四边形ABCD中,AD//BC,∠1=∠2,AB=EC.
(1)求证:AD+DE=BC;
(2)若∠1=20°,∠ADB=30°,求∠DEC的度数.

8.(1)
∵AD//BC,
∴∠ADB=∠EBC,在△ABD 和△ECB 中,$\begin{cases} ∠ADB=∠EBC, \\ ∠1=∠2, \\ AB=EC, \end{cases}$
∴△ABD≌△ECB(AAS),
∴AD=BE,BD=BC,
∴AD+DE=BE+DE=BD=BC
(2)
∵∠ADB=∠EBC=30°,∠1=∠2=20°,
∴∠DEC=∠EBC+∠2=30°+20°=50°

【分析】
(1) 要证明AD+DE=BC，可通过全等三角形将AD转化为等长线段，结合线段和的关系推导。首先由AD//BC可得内错角∠ADB=∠EBC，结合已知的∠1=∠2、AB=EC，可证明△ABD≌△ECB，根据全等性质得AD=BE、BD=BC，再根据BD=BE+DE，等量代换即可得证。
(2) 求∠DEC的度数，可利用三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和。由平行线性质和已知条件可得∠EBC=∠ADB=30°，∠2=∠1=20°，代入外角公式即可求出∠DEC的度数。
【解析】
(1) 证明：
∵AD//BC，
∴∠ADB=∠EBC（两直线平行，内错角相等）。
在△ABD 和△ECB 中，
$\begin{cases} ∠ADB=∠EBC, \\ ∠1=∠2, \\ AB=EC, \end{cases}$
∴△ABD≌△ECB（AAS），
∴AD=BE，BD=BC（全等三角形对应边相等），
又
∵BD=BE+DE，
∴AD+DE=BE+DE=BD=BC，即AD+DE=BC得证。
(2) 解：
由(1)可知∠ADB=∠EBC，已知∠ADB=30°，
∴∠EBC=30°，
∵∠1=∠2，∠1=20°，
∴∠2=20°，
∵∠DEC是△BEC的外角，
∴∠DEC=∠EBC+∠2=30°+20°=50°。
【答案】
(1) 证明成立；
(2) $\boxed{50°}$
【知识点】
全等三角形的判定与性质；平行线的性质；三角形外角的性质
【点评】
本题是几何基础综合题，解题核心是通过已知条件找到全等三角形，实现线段、角的等量转化，第二问借助三角形外角性质可快速求解，解题时要注意观察图形中线段、角的位置关系，灵活运用相关性质。
【难度系数】
0.7

9.(2024·鄄城期末)如图，M是线段AB上的一点，ED是过点M的一条线段，连接AE，BD，过点B作BF//AE交ED于点F，且EM=FM.
(1)求证:AE=BF；
(2)连接AC，若∠AEC = 90°, ∠CAE = ∠DBF, CD=4,求EM的长.

9.(1)
∵BF//AE,
∴∠EAM=∠FBM,在△AME 和△BMF 中,$\begin{cases} ∠EAM=∠FBM, \\ ∠AME=∠BMF, \\ EM=FM, \end{cases}$
∴△AME≌△BMF(AAS),
∴AE=BF
(2)
∵△AME≌△BMF,
∴AE=BF,∠BFM=∠AEC=90°,
∴∠AEC=∠BFD=90°,在△AEC 和△BFD 中,$\begin{cases} ∠AEC=∠BFD, \\ AE=BF, \\ ∠CAE=∠DBF, \end{cases}$
∴△AEC≌△BFD(ASA),
∴EC=FD,
∴EC−CF=FD−CF,即EF=CD=4,
∴EM=$\frac{1}{2}$EF=2

【分析】
(1) 要证明AE=BF，可通过证明两条线段所在的三角形全等来推导。已知BF//AE，可得一组内错角相等，结合对顶角相等、已知的EM=FM，可利用AAS判定△AME≌△BMF，从而得到AE=BF。
(2) 先利用(1)中全等的结论得到AE=BF、对应角相等，结合∠AEC=90°可得∠BFD=90°，再结合已知的∠CAE=∠DBF，用ASA判定△AEC≌△BFD，得到EC=FD，减去公共线段CF可得EF=CD，最后结合EM=FM即可求出EM的长度。
【解析】
(1) 证明：
∵BF//AE，
∴∠EAM=∠FBM，
在△AME 和△BMF 中，
$\begin{cases} ∠EAM=∠FBM, \\ ∠AME=∠BMF, \\ EM=FM, \end{cases}$
∴△AME≌△BMF(AAS)，
∴AE=BF。
(2) 解：
∵△AME≌△BMF，
∴AE=BF，∠BFM=∠AEM，
∵∠AEC = 90°，即∠AEM=90°，
∴∠BFM=90°，即∠BFD=∠AEC=90°，
在△AEC 和△BFD 中，
$\begin{cases} ∠AEC=∠BFD, \\ AE=BF, \\ ∠CAE=∠DBF, \end{cases}$
∴△AEC≌△BFD(ASA)，
∴EC=FD，
∴EC−CF=FD−CF，即EF=CD，
∵CD=4，
∴EF=4，
又
∵EM=FM，
∴EM=$\frac{1}{2}$EF=$\frac{1}{2}×4=2$。
【答案】
(1) AE=BF得证；(2) EM的长为2
【知识点】
平行线的性质；全等三角形的判定；全等三角形的性质
【点评】
本题属于全等三角形的综合应用题，第一问是基础的全等判定应用，第二问需要沿用第一问的全等结论进一步推导新的全等关系，解题时注意挖掘对顶角、公共线段等隐含条件，逐步推导即可求解。
【难度系数】
0.7