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1.(2024·郸城期末)如图，AD是$△ ABC$的中线，则下列结论正确的是（
A.$AD ⊥ BC$
B.$∠ BAD = ∠ CAD$
C.$AB = AC$
D.$BD = CD$
D
）A.$AD ⊥ BC$
B.$∠ BAD = ∠ CAD$
C.$AB = AC$
D.$BD = CD$
答案
1.D
解析
【分析】
首先明确本题考查三角形中线的定义，解题时先回忆三角形中线、高、角平分线的概念，再逐一分析选项：三角形的中线是连接顶点与对边中点的线段，仅能得到对边被中点分为相等的两段；高是从顶点向对边作垂线得到的线段，角平分线是平分内角的线段，后两者的性质只有在等腰三角形三线合一的前提下才会和中线性质重合，题干未说明△ABC是等腰三角形，因此可排除对应错误选项，选出符合中线定义的选项。
【解析】
根据三角形中线的定义：连接三角形一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线。
已知AD是△ABC的中线，因此D是BC边的中点，可得BD=CD，故D选项正确。
对其余选项分析如下：
A. AD⊥BC是三角形的高的性质，只有当△ABC为等腰三角形（AB=AC）时，中线AD才同时是BC边上的高，题干未说明△ABC是等腰三角形，故A错误；
B. ∠BAD=∠CAD是三角形角平分线的性质，同理只有等腰三角形三线合一时才满足，故B错误；
C. 中线不能推出三角形两边相等，仅当△ABC为等腰三角形时才有AB=AC，故C错误。
【答案】
D
【知识点】
三角形中线的定义，三角形的高，三角形的角平分线
【点评】
本题属于基础概念题，重点考查三角形三类重要线段（中线、高、角平分线）的概念区分，需注意“三线合一”的性质仅适用于等腰三角形，牢记基础定义即可快速判断。
【难度系数】
0.9
首先明确本题考查三角形中线的定义，解题时先回忆三角形中线、高、角平分线的概念，再逐一分析选项：三角形的中线是连接顶点与对边中点的线段，仅能得到对边被中点分为相等的两段；高是从顶点向对边作垂线得到的线段，角平分线是平分内角的线段，后两者的性质只有在等腰三角形三线合一的前提下才会和中线性质重合，题干未说明△ABC是等腰三角形，因此可排除对应错误选项，选出符合中线定义的选项。
【解析】
根据三角形中线的定义：连接三角形一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线。
已知AD是△ABC的中线，因此D是BC边的中点，可得BD=CD，故D选项正确。
对其余选项分析如下：
A. AD⊥BC是三角形的高的性质，只有当△ABC为等腰三角形（AB=AC）时，中线AD才同时是BC边上的高，题干未说明△ABC是等腰三角形，故A错误；
B. ∠BAD=∠CAD是三角形角平分线的性质，同理只有等腰三角形三线合一时才满足，故B错误；
C. 中线不能推出三角形两边相等，仅当△ABC为等腰三角形时才有AB=AC，故C错误。
【答案】
D
【知识点】
三角形中线的定义，三角形的高，三角形的角平分线
【点评】
本题属于基础概念题，重点考查三角形三类重要线段（中线、高、角平分线）的概念区分，需注意“三线合一”的性质仅适用于等腰三角形，牢记基础定义即可快速判断。
【难度系数】
0.9
2.(推理计算)如图，CD为$△ ABC$的AB边上的中线，$△ BCD$的周长比$△ ACD$的周长大3 cm，$BC=8$ cm，求边AC的长.
答案
2.$∵CD$为$△ABC$的$AB$边上的中线，$∴AD=BD$，$∵△BCD$的周长比$△ACD$的周长大3 cm，$∴(BC+BD+CD)-(AC+AD+CD)=3\ \mathrm{cm}$，$∴BC-AC=3\ \mathrm{cm}$，$∵BC=8\ \mathrm{cm}$，$∴AC=5\ \mathrm{cm}$
解析
【分析】
解题时先从已知条件“CD是AB边上的中线”切入，根据三角形中线的定义可得到AD=BD；再结合△BCD和△ACD的周长差为3cm，分别写出两个三角形的周长表达式，将两个周长相减时，BD与AD相等、CD是公共边，二者抵消后即可得到BC与AC的长度差，最后代入已知的BC长度就能求出AC的长。
【解析】
∵CD为△ABC的AB边上的中线，
∴AD=BD，
∵△BCD的周长比△ACD的周长大3 cm，
∴(BC+BD+CD)-(AC+AD+CD)=3 $\mathrm{cm}$，
化简得BC-AC=3 $\mathrm{cm}$，
又
∵BC=8 $\mathrm{cm}$，
∴AC=8-3=5 $\mathrm{cm}$。
【答案】
AC的长为5 cm
【知识点】
三角形中线的定义；三角形周长计算
【点评】
本题属于基础几何计算题，解题核心是利用三角形中线得到相等线段，再通过周长作差消去公共边和相等线段，将复杂的周长关系转化为两条边的长度差，从而简化计算。
【难度系数】
0.8
解题时先从已知条件“CD是AB边上的中线”切入，根据三角形中线的定义可得到AD=BD；再结合△BCD和△ACD的周长差为3cm，分别写出两个三角形的周长表达式，将两个周长相减时，BD与AD相等、CD是公共边，二者抵消后即可得到BC与AC的长度差，最后代入已知的BC长度就能求出AC的长。
【解析】
∵CD为△ABC的AB边上的中线，
∴AD=BD，
∵△BCD的周长比△ACD的周长大3 cm，
∴(BC+BD+CD)-(AC+AD+CD)=3 $\mathrm{cm}$，
化简得BC-AC=3 $\mathrm{cm}$，
又
∵BC=8 $\mathrm{cm}$，
∴AC=8-3=5 $\mathrm{cm}$。
【答案】
AC的长为5 cm
【知识点】
三角形中线的定义；三角形周长计算
【点评】
本题属于基础几何计算题，解题核心是利用三角形中线得到相等线段，再通过周长作差消去公共边和相等线段，将复杂的周长关系转化为两条边的长度差，从而简化计算。
【难度系数】
0.8
3.(教材P10习题T8变式)如图，D是$△ ABC$中BC上的一点，$DE // AC$交AB于点E，$DF // AB$交AC于点F，且$∠ ADE = ∠ ADF$，AD是$△ ABC$的角平分线吗？说明理由。
答案
3.AD是$△ABC$的角平分线.理由:$∵DE// AC$，$∴∠ADE=∠DAC$，$∵DF// AB$，$∴∠ADF=∠BAD$，又$∵∠ADE=∠ADF$，$∴∠DAC=∠BAD$，$∴AD$是$∠BAC$的角平分线，$∴AD$是$△ABC$的角平分线
解析
【分析】
要判断AD是不是△ABC的角平分线，根据角平分线的定义，只需证明AD将∠BAC分成两个相等的角，即证∠BAD=∠DAC。已知给出两组平行线，可利用“两直线平行，内错角相等”的性质，将已知的∠ADE、∠ADF分别和∠DAC、∠BAD建立等量关系，再结合题目给出的∠ADE=∠ADF，通过等量代换即可得到∠BAD=∠DAC，完成证明。
【解析】
解：AD是△ABC的角平分线，理由如下：
∵$DE // AC$，
∴$∠ADE=∠DAC$（两直线平行，内错角相等），
∵$DF // AB$，
∴$∠ADF=∠BAD$（两直线平行，内错角相等），
又
∵$∠ADE = ∠ADF$，
∴$∠DAC=∠BAD$（等量代换），
∴AD平分$∠BAC$，即AD是$△ABC$的角平分线。
【答案】
AD是$△ABC$的角平分线.理由:$∵DE// AC$，$∴∠ADE=∠DAC$，$∵DF// AB$，$∴∠ADF=∠BAD$，又$∵∠ADE=∠ADF$，$∴∠DAC=∠BAD$，$∴AD$是$∠BAC$的角平分线，$∴AD$是$△ABC$的角平分线
【知识点】
平行线的性质，角平分线的判定
【点评】
本题属于基础几何证明题，解题关键是利用平行线的性质实现角的等量转化，梳理清楚已知条件和待证结论之间的关联，找准角的对应关系即可快速求解，是几何入门阶段的常考题型。
【难度系数】
0.8
要判断AD是不是△ABC的角平分线，根据角平分线的定义，只需证明AD将∠BAC分成两个相等的角，即证∠BAD=∠DAC。已知给出两组平行线，可利用“两直线平行，内错角相等”的性质，将已知的∠ADE、∠ADF分别和∠DAC、∠BAD建立等量关系，再结合题目给出的∠ADE=∠ADF，通过等量代换即可得到∠BAD=∠DAC，完成证明。
【解析】
解：AD是△ABC的角平分线，理由如下：
∵$DE // AC$，
∴$∠ADE=∠DAC$（两直线平行，内错角相等），
∵$DF // AB$，
∴$∠ADF=∠BAD$（两直线平行，内错角相等），
又
∵$∠ADE = ∠ADF$，
∴$∠DAC=∠BAD$（等量代换），
∴AD平分$∠BAC$，即AD是$△ABC$的角平分线。
【答案】
AD是$△ABC$的角平分线.理由:$∵DE// AC$，$∴∠ADE=∠DAC$，$∵DF// AB$，$∴∠ADF=∠BAD$，又$∵∠ADE=∠ADF$，$∴∠DAC=∠BAD$，$∴AD$是$∠BAC$的角平分线，$∴AD$是$△ABC$的角平分线
【知识点】
平行线的性质，角平分线的判定
【点评】
本题属于基础几何证明题，解题关键是利用平行线的性质实现角的等量转化，梳理清楚已知条件和待证结论之间的关联，找准角的对应关系即可快速求解，是几何入门阶段的常考题型。
【难度系数】
0.8
4.(2024·郑州期中)在下列△ABC中,正确画出AC边上的高的图形是 (
D
) 答案
4.D
解析
【分析】
要判断哪个图形是AC边上的高，首先回忆三角形高的定义：AC边上的高是过AC边所对的顶点B，向AC所在直线作垂线，顶点B和垂足之间的线段。解题时只需逐一验证每个选项是否满足“过点B、与AC所在直线垂直、垂足在AC或AC的延长线上”这几个要求即可。
【解析】
根据三角形高的定义：从三角形的一个顶点向对边所在直线作垂线，顶点与垂足间的线段就是该边上的高。AC边的对顶点是B，因此AC边上的高需过点B，且垂直于AC所在直线：
选项A：线段端点为A，未过点B，垂足在BC边上，不符合要求；
选项B：所作线段垂直于BC边，是BC边上的高，不符合要求；
选项C：线段BD与AC不垂直，不符合垂线要求；
选项D：过点B作AC所在直线的垂线，垂足D在AC的延长线上，完全符合AC边上高的定义。
【答案】
D
【知识点】
三角形高的定义
【点评】
本题是基础概念题，重点考查对三角形高的认识，需要注意：钝角三角形中，钝角对应的两条边上的高的垂足会落在对应边的延长线上，不要错误认为垂足一定在三角形的边上。
【难度系数】
0.8
要判断哪个图形是AC边上的高，首先回忆三角形高的定义：AC边上的高是过AC边所对的顶点B，向AC所在直线作垂线，顶点B和垂足之间的线段。解题时只需逐一验证每个选项是否满足“过点B、与AC所在直线垂直、垂足在AC或AC的延长线上”这几个要求即可。
【解析】
根据三角形高的定义：从三角形的一个顶点向对边所在直线作垂线，顶点与垂足间的线段就是该边上的高。AC边的对顶点是B，因此AC边上的高需过点B，且垂直于AC所在直线：
选项A：线段端点为A，未过点B，垂足在BC边上，不符合要求；
选项B：所作线段垂直于BC边，是BC边上的高，不符合要求；
选项C：线段BD与AC不垂直，不符合垂线要求；
选项D：过点B作AC所在直线的垂线，垂足D在AC的延长线上，完全符合AC边上高的定义。
【答案】
D
【知识点】
三角形高的定义
【点评】
本题是基础概念题，重点考查对三角形高的认识，需要注意：钝角三角形中，钝角对应的两条边上的高的垂足会落在对应边的延长线上，不要错误认为垂足一定在三角形的边上。
【难度系数】
0.8
5.如图,在$Rt△ ABF$中,$∠ F=90°$,点C是线段BF上异于点B和点F的一点,连接AC,过点C作$CD⊥ AC$交AB于点D,过点C作$CE⊥ AB$交AB于点E,则下列说法中,错误的是 (
A.$△ ABC$中,AB边上的高是CE
B.$△ ABC$中,BC边上的高是AF
C.$△ ACD$中,AC边上的高是CE
D.$△ ACD$中,CD边上的高是AC
C
)A.$△ ABC$中,AB边上的高是CE
B.$△ ABC$中,BC边上的高是AF
C.$△ ACD$中,AC边上的高是CE
D.$△ ACD$中,CD边上的高是AC
答案
5.C
解析
【分析】
解题的核心依据是三角形高的定义：从三角形的一个顶点向对边所在的直线作垂线，顶点与垂足之间的线段就是该边上的高。我们只需逐个判断每个选项中描述的高是否符合定义即可：首先明确对应三角形、对应边，再找这条边所对的顶点，判断给出的线段是否是该顶点向对应边所作的垂线段。
【解析】
根据三角形高的定义，逐一分析选项：
1. 对选项A：在△ABC中，AB边所对的顶点是C，已知CE⊥AB，因此AB边上的高是CE，该说法正确，不符合题意。
2. 对选项B：在△ABC中，BC边所对的顶点是A，已知∠F=90°，即AF⊥BF，BC在直线BF上，因此AF垂直BC所在直线，BC边上的高是AF，该说法正确，不符合题意。
3. 对选项C：在△ACD中，AC边所对的顶点是D，已知CD⊥AC，因此AC边上的高是CD，不是CE，该说法错误，符合题意。
4. 对选项D：在△ACD中，CD边所对的顶点是A，已知AC⊥CD，因此CD边上的高是AC，该说法正确，不符合题意。
【答案】
C
【知识点】
三角形高的定义
【点评】
本题考查对三角形高的概念的理解与应用，易错点是忽略高可以在三角形外部，只要是过对应顶点且垂直于对边所在直线的线段，都属于对应边上的高，解题时要先明确所在三角形和对应边，再结合垂直关系判断。
【难度系数】
0.7
解题的核心依据是三角形高的定义：从三角形的一个顶点向对边所在的直线作垂线，顶点与垂足之间的线段就是该边上的高。我们只需逐个判断每个选项中描述的高是否符合定义即可：首先明确对应三角形、对应边，再找这条边所对的顶点，判断给出的线段是否是该顶点向对应边所作的垂线段。
【解析】
根据三角形高的定义，逐一分析选项：
1. 对选项A：在△ABC中，AB边所对的顶点是C，已知CE⊥AB，因此AB边上的高是CE，该说法正确，不符合题意。
2. 对选项B：在△ABC中，BC边所对的顶点是A，已知∠F=90°，即AF⊥BF，BC在直线BF上，因此AF垂直BC所在直线，BC边上的高是AF，该说法正确，不符合题意。
3. 对选项C：在△ACD中，AC边所对的顶点是D，已知CD⊥AC，因此AC边上的高是CD，不是CE，该说法错误，符合题意。
4. 对选项D：在△ACD中，CD边所对的顶点是A，已知AC⊥CD，因此CD边上的高是AC，该说法正确，不符合题意。
【答案】
C
【知识点】
三角形高的定义
【点评】
本题考查对三角形高的概念的理解与应用，易错点是忽略高可以在三角形外部，只要是过对应顶点且垂直于对边所在直线的线段，都属于对应边上的高，解题时要先明确所在三角形和对应边，再结合垂直关系判断。
【难度系数】
0.7
6.分别画出下列锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的三条高.
答案
6.
解析
【分析】
要解决这个作图题，首先明确三角形高的定义：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点与垂足之间的线段就是该边上的高。接下来分三类三角形处理：①锐角三角形：三条高都在三角形内部，直接过三个顶点分别向对边线段作垂线段即可；②直角三角形：两条直角边本身互为对边的高，仅需要额外画出斜边上的高，三条高交点在直角顶点处；③钝角三角形：夹钝角的两条边上的高在三角形外部，需要先延长这两条边的对应对边，再过顶点作延长线的垂线段，剩下一条边上的高在三角形内部。作图完成后要在垂足处标注直角符号，保证高是线段，不要画成直线或射线。
【解析】
第一步，明确高的作图规则：三角形的高是顶点到对边所在直线的垂线段，垂足处需标注直角符号。
1. 锐角三角形作图：
过点A作BC边的垂线，垂足落在BC线段上，连接A与垂足，得到BC边上的高；
过点B作AC边的垂线，垂足落在AC线段上，连接B与垂足，得到AC边上的高；
过点C作AB边的垂线，垂足落在AB线段上，连接C与垂足，得到AB边上的高。
2. 直角三角形作图：
直角边AB垂直于BC，因此AB就是BC边上的高，BC就是AB边上的高；
过点B作AC边的垂线，垂足落在AC线段上，连接B与垂足，得到斜边AC边上的高。
3. 钝角三角形作图：
过点A作BC边的垂线，需要反向延长CB线段，垂足落在CB的延长线上，连接A与垂足，得到BC边上的高；
过点C作AB边的垂线，需要延长AB线段，垂足落在AB的延长线上，连接C与垂足，得到AB边上的高；
过点B作AC边的垂线，垂足落在AC线段上，连接B与垂足，得到AC边上的高。
最终作图结果如参考答案所示。
【答案】
【知识点】
三角形高的定义，三角形高的画法，三类三角形高的特征
【点评】
本题核心考查对三角形高的概念的理解与动手作图能力，易错点是作钝角三角形的高时容易忘记延长对应边，或是误将高画成直线/射线，作图后要注意检查直角符号是否标注正确。
【难度系数】
0.7
要解决这个作图题，首先明确三角形高的定义：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点与垂足之间的线段就是该边上的高。接下来分三类三角形处理：①锐角三角形：三条高都在三角形内部，直接过三个顶点分别向对边线段作垂线段即可；②直角三角形：两条直角边本身互为对边的高，仅需要额外画出斜边上的高，三条高交点在直角顶点处；③钝角三角形：夹钝角的两条边上的高在三角形外部，需要先延长这两条边的对应对边，再过顶点作延长线的垂线段，剩下一条边上的高在三角形内部。作图完成后要在垂足处标注直角符号，保证高是线段，不要画成直线或射线。
【解析】
第一步，明确高的作图规则：三角形的高是顶点到对边所在直线的垂线段，垂足处需标注直角符号。
1. 锐角三角形作图：
过点A作BC边的垂线，垂足落在BC线段上，连接A与垂足，得到BC边上的高；
过点B作AC边的垂线，垂足落在AC线段上，连接B与垂足，得到AC边上的高；
过点C作AB边的垂线，垂足落在AB线段上，连接C与垂足，得到AB边上的高。
2. 直角三角形作图：
直角边AB垂直于BC，因此AB就是BC边上的高，BC就是AB边上的高；
过点B作AC边的垂线，垂足落在AC线段上，连接B与垂足，得到斜边AC边上的高。
3. 钝角三角形作图：
过点A作BC边的垂线，需要反向延长CB线段，垂足落在CB的延长线上，连接A与垂足，得到BC边上的高；
过点C作AB边的垂线，需要延长AB线段，垂足落在AB的延长线上，连接C与垂足，得到AB边上的高；
过点B作AC边的垂线，垂足落在AC线段上，连接B与垂足，得到AC边上的高。
最终作图结果如参考答案所示。
【答案】
【知识点】
三角形高的定义，三角形高的画法，三类三角形高的特征
【点评】
本题核心考查对三角形高的概念的理解与动手作图能力，易错点是作钝角三角形的高时容易忘记延长对应边，或是误将高画成直线/射线，作图后要注意检查直角符号是否标注正确。
【难度系数】
0.7
7.(新考向)如图，AD是$△ ABC$的中线，点E是AD的中点，连接BE，CE，记$△ ABC$的面积为$S_1$，阴影部分的面积为$S_2$，则$S_1$和$S_2$满足 （
A.$S_1=2S_2$
B.$S_1=3S_2$
C.$S_1=4S_2$
D.$S_1=S_2$
A
）A.$S_1=2S_2$
B.$S_1=3S_2$
C.$S_1=4S_2$
D.$S_1=S_2$
答案
7.A
解析
【分析】
解题时我们利用三角形中线的核心性质：三角形的中线会将原三角形分成两个等底同高、面积相等的小三角形。首先由AD是△ABC的中线，可先得出△ABD和△ACD的面积均为$S_1$的一半；再结合E是AD中点，可知BE、CE分别是△ABD、△ACD的中线，可进一步将两个三角形再各分为两个面积相等的小三角形，最后将阴影部分的两个三角形面积求和，即可推导$S_1$和$S_2$的关系。
【解析】
解：
∵AD是△ABC的中线，
∴BD=CD，△ABD和△ACD等底同高，
∴$S_{△ ABD}=S_{△ ACD}=\frac{1}{2}S_1$。
又
∵E是AD的中点，
∴BE是△ABD的中线，CE是△ACD的中线，
∴$S_{△ ABE}=S_{△ BDE}=\frac{1}{2}S_{△ ABD}=\frac{1}{4}S_1$，
同理$S_{△ CDE}=S_{△ ACE}=\frac{1}{2}S_{△ ACD}=\frac{1}{4}S_1$。
阴影部分面积$S_2=S_{△ ABE}+S_{△ CDE}=\frac{1}{4}S_1+\frac{1}{4}S_1=\frac{1}{2}S_1$，
即$S_1=2S_2$。
故选A。
【答案】
A
【知识点】
三角形中线的性质；等底同高三角形面积计算
【点评】
本题是三角形面积相关的典型基础题，核心是灵活运用三角形中线平分三角形面积的性质，通过两次运用该性质即可快速得到面积关系，难度不高，需要熟练掌握该性质来解决同类面积比问题。
【难度系数】
0.7
解题时我们利用三角形中线的核心性质：三角形的中线会将原三角形分成两个等底同高、面积相等的小三角形。首先由AD是△ABC的中线，可先得出△ABD和△ACD的面积均为$S_1$的一半；再结合E是AD中点，可知BE、CE分别是△ABD、△ACD的中线，可进一步将两个三角形再各分为两个面积相等的小三角形，最后将阴影部分的两个三角形面积求和，即可推导$S_1$和$S_2$的关系。
【解析】
解：
∵AD是△ABC的中线，
∴BD=CD，△ABD和△ACD等底同高，
∴$S_{△ ABD}=S_{△ ACD}=\frac{1}{2}S_1$。
又
∵E是AD的中点，
∴BE是△ABD的中线，CE是△ACD的中线，
∴$S_{△ ABE}=S_{△ BDE}=\frac{1}{2}S_{△ ABD}=\frac{1}{4}S_1$，
同理$S_{△ CDE}=S_{△ ACE}=\frac{1}{2}S_{△ ACD}=\frac{1}{4}S_1$。
阴影部分面积$S_2=S_{△ ABE}+S_{△ CDE}=\frac{1}{4}S_1+\frac{1}{4}S_1=\frac{1}{2}S_1$，
即$S_1=2S_2$。
故选A。
【答案】
A
【知识点】
三角形中线的性质；等底同高三角形面积计算
【点评】
本题是三角形面积相关的典型基础题，核心是灵活运用三角形中线平分三角形面积的性质，通过两次运用该性质即可快速得到面积关系，难度不高，需要熟练掌握该性质来解决同类面积比问题。
【难度系数】
0.7
