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13.「2026 内蒙古赤峰期中，★☆」已知$-5x^m y^3 + 10^4 x^m - 4xy^2$是关于$x,y$的六次多项式，求$m$的值，并写出该多项式.下面是一位同学给出的解法:
解:由原多项式可知最高次项为$10^4 x^m$,(1)
所以$4+m=6$,(2)
所以$m=2$,(3)
所以原多项式为$-5x^2 y^3 + 10^4 x^2 -4xy^2$.(4)
该同学的解法对吗？如果不对，错在哪一步？
请你给出正确的解答.
解:由原多项式可知最高次项为$10^4 x^m$,(1)
所以$4+m=6$,(2)
所以$m=2$,(3)
所以原多项式为$-5x^2 y^3 + 10^4 x^2 -4xy^2$.(4)
该同学的解法对吗？如果不对，错在哪一步？
请你给出正确的解答.
答案
解析 该同学的解法不对，第(1)步错误.
因为该多项式的最高次项为$-5x^my^3$，
所以$m+3=6$，所以$m=3$，
所以原多项式为$-5x^3y^3+10^4x^3-4xy^2$.
因为该多项式的最高次项为$-5x^my^3$，
所以$m+3=6$，所以$m=3$，
所以原多项式为$-5x^3y^3+10^4x^3-4xy^2$.
解析
【分析】
要解决这道题，首先要明确两个核心概念：一是单项式的次数是指单项式中所有字母的指数和，数字系数的指数不算入次数；二是多项式的次数是指多项式中次数最高的项的次数。首先判断该同学的错误：他误将系数$10^4$的指数4算入了第二项的次数，还错把第二项当成了最高次项。正确思路是先分别计算多项式三项的次数，找到最高次项，令最高次项的次数等于6，即可求出m的值，最后写出原多项式。
【解析】
该同学的解法不对，错在第(1)步。
首先分析多项式各项的次数：
① 第一项$-5x^m y^3$：仅含字母x和y，次数为$m+3$；
② 第二项$10^4 x^m$：$10^4$是数字系数，仅含字母x，次数为$m$；
③ 第三项$-4xy^2$：仅含字母x和y，次数为$1+2=3$。
因为该多项式是关于x、y的六次多项式，所以最高次项的次数为6，对比三项次数可知最高次项为$-5x^m y^3$，因此列方程：
$m+3=6$
解得$m=3$
将$m=3$代入原式，即可得到原多项式。
【答案】
该同学解法不对，错在第(1)步；$m$的值为3，原多项式为$\boldsymbol{-5x^3 y^3 + 10^4 x^3 - 4xy^2}$
【知识点】
多项式的次数，单项式的次数
【点评】
本题是整式概念的基础易错题，解题的关键是明确单项式次数仅统计字母的指数和，不要将数字系数的指数计入次数，同时要正确对比各项次数找到多项式的最高次项。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，首先要明确两个核心概念：一是单项式的次数是指单项式中所有字母的指数和，数字系数的指数不算入次数；二是多项式的次数是指多项式中次数最高的项的次数。首先判断该同学的错误：他误将系数$10^4$的指数4算入了第二项的次数，还错把第二项当成了最高次项。正确思路是先分别计算多项式三项的次数，找到最高次项，令最高次项的次数等于6，即可求出m的值，最后写出原多项式。
【解析】
该同学的解法不对，错在第(1)步。
首先分析多项式各项的次数：
① 第一项$-5x^m y^3$：仅含字母x和y，次数为$m+3$；
② 第二项$10^4 x^m$：$10^4$是数字系数，仅含字母x，次数为$m$；
③ 第三项$-4xy^2$：仅含字母x和y，次数为$1+2=3$。
因为该多项式是关于x、y的六次多项式，所以最高次项的次数为6，对比三项次数可知最高次项为$-5x^m y^3$，因此列方程：
$m+3=6$
解得$m=3$
将$m=3$代入原式，即可得到原多项式。
【答案】
该同学解法不对，错在第(1)步；$m$的值为3，原多项式为$\boldsymbol{-5x^3 y^3 + 10^4 x^3 - 4xy^2}$
【知识点】
多项式的次数，单项式的次数
【点评】
本题是整式概念的基础易错题，解题的关键是明确单项式次数仅统计字母的指数和，不要将数字系数的指数计入次数，同时要正确对比各项次数找到多项式的最高次项。
【难度系数】
0.7
14.聚焦中考过程性学习「2025安徽安庆太湖期末，★☆」观察下列单项式：$-x,3x^2,-5x^3,7x^4,\dots\dots,-37x^{19},39x^{20},\dots\dots$,以此类推.
(1)第$n$个单项式的系数的符号是________(用含$n$的代数式表示),系数的绝对值是________.(用含$n$的代数式表示)
(2)第$n$个单项式的次数是________.(用含$n$的代数式表示)
(3)根据上面的归纳,可以猜想出第$n$个单项式是________.
(4)请你根据猜想,分别写出第2008个、第2009个单项式.
(1)第$n$个单项式的系数的符号是________(用含$n$的代数式表示),系数的绝对值是________.(用含$n$的代数式表示)
(2)第$n$个单项式的次数是________.(用含$n$的代数式表示)
(3)根据上面的归纳,可以猜想出第$n$个单项式是________.
(4)请你根据猜想,分别写出第2008个、第2009个单项式.
答案
解析 (1)$(-1)^n;2n-1$.
(2)$n$.
(3)$(-1)^n(2n-1)x^n$.
(4)因为$(-1)^{2008}=1,2×2008-1=4015$，
所以第2008个单项式是$4015x^{2008}$.
因为$(-1)^{2009}=-1,2×2009-1=4017$，
所以第2009个单项式是$-4017x^{2009}$.
(2)$n$.
(3)$(-1)^n(2n-1)x^n$.
(4)因为$(-1)^{2008}=1,2×2008-1=4015$，
所以第2008个单项式是$4015x^{2008}$.
因为$(-1)^{2009}=-1,2×2009-1=4017$，
所以第2009个单项式是$-4017x^{2009}$.
解析
【分析】我们可以将单项式拆分为符号、系数绝对值、x的次数三部分分别找规律：①符号：第1个为负、第2个为正、第3个为负，奇偶项交替变化，奇数项为负、偶数项为正，符合$(-1)^n$的符号特征；②系数绝对值：依次为1、3、5、7，是连续的奇数，对应$2n-1$的规律；③x的次数：第1个是1次、第2个是2次、第3个是3次，和项数n完全相等。整合三部分规律即可得到第n个单项式的表达式，再代入n的具体数值就能求出指定项。
【解析】
(1) 观察符号规律：n为奇数时符号为负，n为偶数时符号为正，因此系数的符号为$(-1)^n$；系数绝对值为1、3、5、7……，是首项为1的连续奇数，因此系数的绝对值为$2n-1$。
(2) 观察x的次数，第n个单项式中x的次数和项数n相等，因此次数为$n$。
(3) 结合符号、系数绝对值、次数的规律，可得第n个单项式为$(-1)^n(2n-1)x^n$。
(4) 当$n=2008$时，$(-1)^{2008}=1$，$2×2008-1=4015$，次数为2008，因此第2008个单项式为$4015x^{2008}$；
当$n=2009$时，$(-1)^{2009}=-1$，$2×2009-1=4017$，次数为2009，因此第2009个单项式为$-4017x^{2009}$。
【答案】
(1) $(-1)^n$；$2n-1$
(2) $n$
(3) $(-1)^n(2n-1)x^n$
(4) 第2008个单项式是$4015x^{2008}$，第2009个单项式是$-4017x^{2009}$
【知识点】
单项式的概念；代数式规律探究
【点评】本题属于整式类的规律探究基础题，拆分单项式的各部分分别找规律可以大幅降低解题难度，代入求值时注意负数的偶次幂为正、奇次幂为负，避免符号出错。
【难度系数】
0.7
【解析】
(1) 观察符号规律：n为奇数时符号为负，n为偶数时符号为正，因此系数的符号为$(-1)^n$；系数绝对值为1、3、5、7……，是首项为1的连续奇数，因此系数的绝对值为$2n-1$。
(2) 观察x的次数，第n个单项式中x的次数和项数n相等，因此次数为$n$。
(3) 结合符号、系数绝对值、次数的规律，可得第n个单项式为$(-1)^n(2n-1)x^n$。
(4) 当$n=2008$时，$(-1)^{2008}=1$，$2×2008-1=4015$，次数为2008，因此第2008个单项式为$4015x^{2008}$；
当$n=2009$时，$(-1)^{2009}=-1$，$2×2009-1=4017$，次数为2009，因此第2009个单项式为$-4017x^{2009}$。
【答案】
(1) $(-1)^n$；$2n-1$
(2) $n$
(3) $(-1)^n(2n-1)x^n$
(4) 第2008个单项式是$4015x^{2008}$，第2009个单项式是$-4017x^{2009}$
【知识点】
单项式的概念；代数式规律探究
【点评】本题属于整式类的规律探究基础题，拆分单项式的各部分分别找规律可以大幅降低解题难度，代入求值时注意负数的偶次幂为正、奇次幂为负，避免符号出错。
【难度系数】
0.7
15. 核心素养 推理能力 定义:$f(x,y)$是关于$x,y$的多项式,如果$f(x,y)=f(y,x)$,那么$f(x,y)$叫作“对称多项式”.例如:$f(x,y)=x^2+x+y+y^2$,则$f(y,x)=y^2+y+x+x^2$,显然$f(x,y)=f(y,x)$,所以$f(x,y)=x^2+x+y+y^2$是“对称多项式”.
(1)试说明$f(x,y)=x^2-2xy+y^2$是“对称多项式”.
(2)请写出一个“对称多项式”:$f(x,y)=$
(3)如果$f_1(x,y)$和$f_2(x,y)$均为“对称多项式”,那么$f_1(x,y)+f_2(x,y)$一定是“对称多项式”吗?如果一定是,请说明理由;如果不一定是,请举例说明.
(1)试说明$f(x,y)=x^2-2xy+y^2$是“对称多项式”.
(2)请写出一个“对称多项式”:$f(x,y)=$
$x^3+xy+y^3$（答案不唯一）
(不多于四项).(3)如果$f_1(x,y)$和$f_2(x,y)$均为“对称多项式”,那么$f_1(x,y)+f_2(x,y)$一定是“对称多项式”吗?如果一定是,请说明理由;如果不一定是,请举例说明.
答案
解析 (1)证明:因为$f(x,y)=x^2-2xy+y^2$，
所以$f(y,x)=y^2-2yx+x^2$，
所以$f(x,y)=f(y,x)$，
所以$f(x,y)=x^2-2xy+y^2$是“对称多项式”.
(2)若$f(x,y)=x^3+xy+y^3$，
则$f(y,x)=y^3+yx+x^3$，所以$f(x,y)=f(y,x)$，
所以$f(x,y)=x^3+xy+y^3$是“对称多项式”.
故答案为$x^3+xy+y^3$(答案不唯一).
(3)$f_1(x,y)+f_2(x,y)$不一定是“对称多项式”，举例如下：
若$f_1(x,y)=x+y,f_2(x,y)=-x-y$，因为x和-x互为相反数，y和-y互为相反数，所以$f_1(x,y)$和$f_2(x,y)$互为相反数，所以$f_1(x,y)+f_2(x,y)=0$，不是多项式.(举例不唯一)
所以$f(y,x)=y^2-2yx+x^2$，
所以$f(x,y)=f(y,x)$，
所以$f(x,y)=x^2-2xy+y^2$是“对称多项式”.
(2)若$f(x,y)=x^3+xy+y^3$，
则$f(y,x)=y^3+yx+x^3$，所以$f(x,y)=f(y,x)$，
所以$f(x,y)=x^3+xy+y^3$是“对称多项式”.
故答案为$x^3+xy+y^3$(答案不唯一).
(3)$f_1(x,y)+f_2(x,y)$不一定是“对称多项式”，举例如下：
若$f_1(x,y)=x+y,f_2(x,y)=-x-y$，因为x和-x互为相反数，y和-y互为相反数，所以$f_1(x,y)$和$f_2(x,y)$互为相反数，所以$f_1(x,y)+f_2(x,y)=0$，不是多项式.(举例不唯一)
解析
【分析】
(1)判断是否为对称多项式需紧扣题目给出的定义，只需将多项式中的x和y互换位置得到f(y,x)，对比其与原式f(x,y)是否相等即可完成验证；
(2)编写对称多项式的核心是交换x、y的位置后式子保持不变，只要满足该要求且项数不超过四项即可，可从简单的同次项组合入手构造；
(3)判断两个对称多项式的和是否一定为对称多项式，首先明确对称多项式首先要是多项式，可尝试构造反例：取两个互为相反数的对称多项式，其和为0，不符合多项式要求，即可说明结论不一定成立。
【解析】
(1)证明：已知$f(x,y)=x^2-2xy+y^2$，
将x和y互换得：$f(y,x)=y^2-2yx+x^2$，
根据加法交换律可得$f(x,y)=f(y,x)$，
因此$f(x,y)=x^2-2xy+y^2$是“对称多项式”。
(2)示例：取$f(x,y)=x^3+xy+y^3$，
互换x和y得$f(y,x)=y^3+yx+x^3$，显然$f(x,y)=f(y,x)$，符合对称多项式要求。
(3)$f_1(x,y)+f_2(x,y)$不一定是“对称多项式”，举例如下：
设$f_1(x,y)=x+y$，$f_2(x,y)=-x-y$，
首先验证两者均为对称多项式：$f_1(y,x)=y+x=f_1(x,y)$，$f_2(y,x)=-y-x=f_2(x,y)$，均满足对称多项式的定义；
两式相加得$f_1(x,y)+f_2(x,y)=(x+y)+(-x-y)=0$，不是多项式，因此不是对称多项式。
【答案】
(1)见解析，可证得$f(x,y)=x^2-2xy+y^2$是“对称多项式”；
(2)$x^3+xy+y^3$（答案不唯一）；
(3)不一定是，举例如$f_1(x,y)=x+y$，$f_2(x,y)=-x-y$，两者均为对称多项式，和为0不是多项式，因此不是对称多项式（举例不唯一）。
【知识点】
新定义理解，整式的加减，多项式的概念
【点评】
本题是新定义类题型，考查学生对新规则的理解和迁移应用能力，结合了整式的基础性质，第三问需要跳出思维定势，考虑特殊反例，能有效锻炼逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7
(1)判断是否为对称多项式需紧扣题目给出的定义，只需将多项式中的x和y互换位置得到f(y,x)，对比其与原式f(x,y)是否相等即可完成验证；
(2)编写对称多项式的核心是交换x、y的位置后式子保持不变，只要满足该要求且项数不超过四项即可，可从简单的同次项组合入手构造；
(3)判断两个对称多项式的和是否一定为对称多项式，首先明确对称多项式首先要是多项式，可尝试构造反例：取两个互为相反数的对称多项式，其和为0，不符合多项式要求，即可说明结论不一定成立。
【解析】
(1)证明：已知$f(x,y)=x^2-2xy+y^2$，
将x和y互换得：$f(y,x)=y^2-2yx+x^2$，
根据加法交换律可得$f(x,y)=f(y,x)$，
因此$f(x,y)=x^2-2xy+y^2$是“对称多项式”。
(2)示例：取$f(x,y)=x^3+xy+y^3$，
互换x和y得$f(y,x)=y^3+yx+x^3$，显然$f(x,y)=f(y,x)$，符合对称多项式要求。
(3)$f_1(x,y)+f_2(x,y)$不一定是“对称多项式”，举例如下：
设$f_1(x,y)=x+y$，$f_2(x,y)=-x-y$，
首先验证两者均为对称多项式：$f_1(y,x)=y+x=f_1(x,y)$，$f_2(y,x)=-y-x=f_2(x,y)$，均满足对称多项式的定义；
两式相加得$f_1(x,y)+f_2(x,y)=(x+y)+(-x-y)=0$，不是多项式，因此不是对称多项式。
【答案】
(1)见解析，可证得$f(x,y)=x^2-2xy+y^2$是“对称多项式”；
(2)$x^3+xy+y^3$（答案不唯一）；
(3)不一定是，举例如$f_1(x,y)=x+y$，$f_2(x,y)=-x-y$，两者均为对称多项式，和为0不是多项式，因此不是对称多项式（举例不唯一）。
【知识点】
新定义理解，整式的加减，多项式的概念
【点评】
本题是新定义类题型，考查学生对新规则的理解和迁移应用能力，结合了整式的基础性质，第三问需要跳出思维定势，考虑特殊反例，能有效锻炼逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7
