5.「2026 湖北宜昌期中」观察下列图形与等式的关系：
第1个图 → $2^2 -1^2=2+1=3$
第2个图 → $3^2 -2^2=3+2=5$
第3个图 → $4^2 -3^2=4+3=7$
第4个图 → $5^2 -4^2=5+4=9$
……
根据图形及等式的关系，解决下列问题：
(1)第5个图中空白部分小正方形的个数是，第6个图中空白部分小正方形的个数满足的算式是。
(2)写出第$n$($n$为正整数)个图中空白部分小正方形的个数满足的算式。
(3)运用上述规律计算：$(2024^2 -2023^2 +2022^2 -2021^2 +2020^2 -2019^2 +\dots +2^2 -1^2)×\frac{1}{1012}$

(1)$11$;$7^2-6^2=7+6=13$.
(2)由题图及等式的规律可得,第$n$($n$为正整数)个图中空白部分小正方形的个数满足的算式为$(n+1)^2-n^2=n+1+n=2n+1$.
(3)由(2)可知,原式$=(2024+2023+2022+2021+2020+2019+…+2+1)×\frac{1}{1012}$
$=\frac{2024×(2024+1)}{2}×\frac{1}{1012}=2025$.

【分析】
首先观察给出的前4个等式，总结核心规律：第k个等式对应相邻两个正整数的平方差，其中较大的数比序号k大1，平方差的结果等于这两个数的和，也等于序号的2倍加1。(1)问直接将序号5、6代入规律计算即可；(2)问将序号替换为通用字母n，推导得到通用表达式；(3)问先利用规律将每一组平方差转化为两数之和，再用高斯求和公式计算从1到2024的总和，最后化简计算得到结果。
【解析】
(1) 观察已知等式的规律：
第1个图空白个数：$2^2-1^2=2+1=3=2×1+1$
第2个图空白个数：$3^2-2^2=3+2=5=2×2+1$
第3个图空白个数：$4^2-3^2=4+3=7=2×3+1$
……
第m个图空白个数为$2m+1$
当$m=5$时，空白个数为$2×5+1=11$；
第6个图对应的算式为$7^2-6^2=7+6=13$。
(2) 由上述规律可得，第n个图中，较大底数为$n+1$，较小底数为$n$，因此满足的算式为：
$(n+1)^2 - n^2 = (n+1)+n = 2n+1$（n为正整数）
(3) 利用(2)的规律，将原式中每一组平方差转化为两数之和：
原式$=(2024+2023+2022+2021+…+2+1)×\frac{1}{1012}$
根据高斯求和公式，1到2024的和为$\frac{项数×(首项+末项)}{2}$，代入得：
$=\frac{2024×(2024+1)}{2}×\frac{1}{1012}$
$=1012×2025×\frac{1}{1012}$
$=2025$
【答案】
(1) $11$；$7^2-6^2=7+6=13$
(2) $(n+1)^2-n^2=n+1+n=2n+1$
(3) $2025$
【知识点】
整式规律探究，平方差规律，高斯求和
【点评】
本题侧重考查归纳总结能力与知识迁移能力，解题核心是先从给出的示例中提炼出通用规律，再利用规律简化复杂计算，是规律探究类题型的典型考法。
【难度系数】
0.65

6. 情境 数学文化 发展史 「2026福建泉州南安期中」材料一:一定数量的石子可以摆成等边三角形(如图1)和正方形(如图2).古希腊著名科学家毕达哥拉斯把数1,3,6,10,15,21,…称为“三角形数”;把1,4,9,16,25,…称为“正方形数”.

材料二:某数学兴趣小组在开展探究活动时发现,“三角形数”与“正方形数”之间有一定的联系,如图3.
根据上述材料,回答下列问题:
(1)根据材料一,观察下列等式,并将等式④补充完整.
①$1=1$,②$1+2=\frac{(1+2)×2}{2}=3$,
③$1+2+3=\frac{(1+3)×3}{2}=6$,
④.
(2)根据材料二可以发现,图3中自左往右从第2个图形开始,对应的等式为$4=1+3,9=3+6,16=6+10,……$,请补全图3中的第5个图形,并写出该图形对应的等式.
(3)结合你发现的规律,写出图3中自左往右第$n(n≥2)$个图形对应的等式.

(1)$1+2+3+4=\frac{(1+4)×4}{2}=10$.
(2)如图,
该图形对应的等式为$25=10+15$.
(3)因为$4=1+3$,$9=3+6$,$16=6+10$,……,所以$2^2=1+(1+2)$,$3^2=(1+2)+(1+2+3)$,$4^2=(1+2+3)+(1+2+3+4)$,……,所以题图3中自左往右第$n(n≥2)$个图形对应的等式为$n^2=(1+2+3+…+n-1)+(1+2+3+…+n)$,即$n^2=\frac{n(n-1)}{2}+\frac{n(n+1)}{2}$.

【分析】
(1) 观察给出的前3个等式可发现规律：第k个等式是从1到k的连续正整数相加，求和方法为(首项+末项)×项数÷2，计算结果对应第k个三角形数。第④个是第4个等式，按照此规律书写即可。
(2) 观察已给等式可知：第m个图形对应的数是m²，等于相邻两个三角形数的和。第5个图形对应5²=25，两个加数分别是第4个三角形数10和第5个三角形数15，由此可写出等式，补画的图形为5行5列的点阵，用斜线分隔为点数10和15的两部分即可。
(3) 归纳前几个等式的特征：第n(n≥2)个图形对应的正方形数是n²，等号右侧第一个数是第(n-1)个三角形数，即前(n-1)个正整数的和，第二个数是第n个三角形数，即前n个正整数的和，将两个和用代数式表示即可得到通用等式。
【解析】
(1) 根据前3个等式的规律，第4个等式为1到4的连续正整数求和：
$1+2+3+4=\frac{(1+4)×4}{2}=10$
(2) 已知第2个图形对应$2^2=4=1+3$，第3个对应$3^2=9=3+6$，第4个对应$4^2=16=6+10$，可推第5个图形对应$5^2=25$，两个加数分别为第4个三角形数10和第5个三角形数15，因此等式为$25=10+15$，补画图形为5×5点阵，斜线分隔后两部分点数分别为10、15。
(3) 整理已给等式可得：
n=2时，$2^2=\frac{2×1}{2}+\frac{2×3}{2}$；
n=3时，$3^2=\frac{3×2}{2}+\frac{3×4}{2}$；
n=4时，$4^2=\frac{4×3}{2}+\frac{4×5}{2}$；
以此类推，第n(n≥2)个图形对应的等式为$n^2=\frac{n(n-1)}{2}+\frac{n(n+1)}{2}$。
【答案】
(1)$1+2+3+4=\frac{(1+4)×4}{2}=10$.
(2)如图,
该图形对应的等式为$25=10+15$.
(3)因为$4=1+3$,$9=3+6$,$16=6+10$,……,所以$2^2=1+(1+2)$,$3^2=(1+2)+(1+2+3)$,$4^2=(1+2+3)+(1+2+3+4)$,……,所以题图3中自左往右第$n(n≥2)$个图形对应的等式为$n^2=(1+2+3+…+n-1)+(1+2+3+…+n)$,即$n^2=\frac{n(n-1)}{2}+\frac{n(n+1)}{2}$.
【知识点】
数字规律探究，列代数式，整式运算
【点评】
本题结合古希腊数学文化中的三角形数、正方形数设置问题，考查学生的观察归纳能力和用代数式表示规律的能力，需要从已知等式和图形特征中提炼共性规律，是规律探究类的典型习题，注重对逻辑推理素养的考查。
【难度系数】
0.7