4. 如图，AD是$△ ABC$的角平分线，点E在AB上，且$AE=AC$，EC交AD于点O. $EF// BC$，交AC于点F. 求证：EC平分$∠ DEF$.

4. $\because AE=AC,AD$ 平分$∠ BAC,\therefore AD$ 为 EC 的垂直平分线.$\therefore DE=DC. \therefore ∠ DEC=∠ DCE$(等边对等角). 又$\because EF// BC,\therefore ∠ FEC=∠ ECD. \therefore ∠ FEC=∠ DEC.\therefore EC$ 平分$∠ DEF$.

5. 如图,在△ABC中,AB=2AC,AD平分∠BAC,AD=BD.求证:CD⊥AC.

5. 如图,过点 D 作 $DH ⊥ AB$ 于点 H. $\because AD=BD,\therefore AH=BH=\frac{1}{2}AB=AC$(三线合一). 又$\because AD$ 平分$∠ BAC,\therefore ∠ HAD=∠ CAD. \therefore △ AHD ≌ △ ACD$(SAS). $\therefore ∠ AHD=∠ ACD=90°. \therefore CD ⊥ AC$.

6. 如图，点D，E分别在BA，AC的延长线上，且AB=AC，AD=AE. 求证：DE⊥BC.

6. 如图,过点 A 作 $AM ⊥ BC$ 于点 M. $\because AD=AE$,$\therefore ∠ D=∠ E. \because AB=AC,\therefore ∠ BAC=2∠ BAM=2∠ D. \therefore ∠ BAM=∠ D. \therefore DE// AM. \therefore DE ⊥ BC$.