1[2026 黑龙江齐齐哈尔期末]下列各式中，一定是二次根式的是 （）

A.$\sqrt{n}$
B.$\sqrt[3]{5}$
C.$\sqrt{1-m}$
D.$\sqrt{6}$

D 【解析】$\sqrt{n}$的根指数为 2,但被开方数 $n$ 的符号不确定. 当 $n＜0$ 时,$\sqrt{n}$ 无意义,因此$\sqrt{n}$ 不一定是二次根式,A 不符合题意.$\sqrt[3]{5}$ 是立方根,不符合二次根式根指数为 2 的要求,B 不符合题意. $\sqrt{1-m}$ 的根指数为 2,但被开方数$1-m$ 的符号取决于 $m$ 的取值. 当 $m＞1$ 时,$1-$$m＜0$,此时$\sqrt{1-m}$无意义,因此$\sqrt{1-m}$不一定是二次根式,C 不符合题意.$\sqrt{6}$ 的根指数为 2,被开方数 6 恒为正数,无论何种情况都满足二次根式的条件,因此$\sqrt{6}$一定是二次根式,D 符合题意. 故选 D.

【分析】
要判定一个式子是否为二次根式，需先明确二次根式的两个必备判定条件：一是根指数为2（根号默认省略根指数2），二是被开方数必须是非负数（即被开方数≥0），只有同时满足这两个条件的式子才是二次根式。我们可以对照这两个条件逐一排查选项，排除不符合要求的选项即可得到正确答案。
【解析】
我们对四个选项逐一分析：
A选项：$\sqrt{n}$根指数为2，但被开方数$n$的符号不确定，当$n＜0$时，$\sqrt{n}$无意义，因此$\sqrt{n}$不一定是二次根式，不符合题意；
B选项：$\sqrt[3]{5}$的根指数为3，属于立方根，不满足二次根式根指数为2的要求，不符合题意；
C选项：$\sqrt{1-m}$根指数为2，但被开方数$1-m$的符号由$m$的取值决定，当$m＞1$时，$1-m＜0$，此时$\sqrt{1-m}$无意义，因此$\sqrt{1-m}$不一定是二次根式，不符合题意；
D选项：$\sqrt{6}$根指数为2，被开方数6是正数，恒满足被开方数非负的要求，因此一定是二次根式，符合题意。
综上，答案选D。
【答案】
D
【知识点】
二次根式的定义，立方根的定义
【点评】
本题是二次根式判定的基础题型，解题核心是牢记二次根式的两个判定标准，注意区分不同根指数的根式，同时带字母的被开方数需要保证恒为非负数，才能确定对应的式子一定是二次根式。
【难度系数】
0.8

2 新考向 开放性试题 [2025河南安阳质检]请写出一个含x的二次根式，且x取任意实数二次根式都有意义：。

$\sqrt{x^2+1}$(答案不唯一) 【解析】符合条件的二次根式可以为$\sqrt{x^2+1}$. 故答案为$\sqrt{x^2+1}$(答案不唯一).

【分析】
解题时首先回忆二次根式有意义的条件：被开方数必须大于等于0；其次题目要求x取任意实数时二次根式都有意义，说明含x的被开方数要恒为非负数；最后结合学过的平方的非负性可知，任意实数的平方都大于等于0，只要在含x的平方项的基础上加一个正数，就能保证被开方数恒大于0，由此即可构造出符合要求的二次根式。
【解析】
要使含x的二次根式对任意实数x都有意义，需保证被开方数恒为非负数。
因为对任意实数x，都有$x^2≥0$，因此$x^2+1≥1＞0$，恒满足被开方数非负的要求，所以$\sqrt{x^2+1}$符合条件。除此之外，形如$\sqrt{x^2+a}$（a为正数）的二次根式均满足要求，答案不唯一。
【答案】
$\sqrt{x^2+1}$(答案不唯一)
【知识点】
1. 二次根式有意义的条件 2. 平方的非负性
【点评】
本题是开放性试题，核心考查对二次根式有意义条件的理解与灵活运用，需要结合代数式的恒非负性构造符合要求的式子，侧重对基础知识的灵活应用。
【难度系数】
0.8

3 [2026 四川凉山州调研]若$\sqrt{10}$与$\sqrt{m}$的积是一个有理数，则$m$的值可以是（）

A.$2$
B.$4$
C.$9$
D.$10$

D 【解析】$\sqrt{10}×\sqrt{2}=\sqrt{20}$,积不是有理数,A不符合题意; $\sqrt{10}×\sqrt{4}=\sqrt{40}$,积不是有理数,B 不符合题意; $\sqrt{10}×\sqrt{9}=\sqrt{90}$,积不是有理数,C 不符合题意; $\sqrt{10}×\sqrt{10}=\sqrt{100}=10$,积是有理数,D 符合题意. 故选 D.

【分析】
解题时先明确二次根式的乘法法则：$\sqrt{a}·\sqrt{b}=\sqrt{ab}$（$a≥0$，$b≥0$）。若两个二次根式的乘积是有理数，说明乘积化简后不含根号，即两个二次根式相乘后的被开方数是完全平方数。我们可以直接将四个选项的数值依次代入计算乘积，判断结果是否为有理数，即可选出正确答案。
【解析】
根据二次根式乘法法则逐一计算各选项：
A. 当$m=2$时，$\sqrt{10}×\sqrt{2}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$，结果是无理数，不符合题意；
B. 当$m=4$时，$\sqrt{10}×\sqrt{4}=\sqrt{40}=2\sqrt{10}$，结果是无理数，不符合题意；
C. 当$m=9$时，$\sqrt{10}×\sqrt{9}=\sqrt{90}=3\sqrt{10}$，结果是无理数，不符合题意；
D. 当$m=10$时，$\sqrt{10}×\sqrt{10}=\sqrt{100}=10$，10是有理数，符合题意。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
二次根式乘法运算；有理数的概念；完全平方数的特征
【点评】
本题属于二次根式乘法的基础应用题，既可以通过代入法逐一验证选项求解，也可以先推导得出“10m为完全平方数”的结论再筛选选项，解题核心是熟练掌握二次根式的运算规则和有理数的判定方法。
【难度系数】
0.8

4[2025重庆开州区期中]估计$\sqrt{\frac{1}{3}} × (\sqrt{6} + \sqrt{3})$的值在（）

A.2和3之间
B.3和4之间
C.4和5之间
D.5和6之间

A 【解析】$\sqrt{\frac{1}{3}}×(\sqrt{6}+\sqrt{3})=\sqrt{2}+1$. 因为$\sqrt{1}＜$$\sqrt{2}＜\sqrt{4}$,所以 $1＜\sqrt{2}＜2$,所以 $2＜\sqrt{2}+1＜3$,故选 A.

【分析】
遇到这类二次根式运算结合取值范围判断的题目，分两步思考：第一步先化简原式，利用乘法分配律将$\sqrt{\frac{1}{3}}$分别乘括号内的两个二次根式，按照二次根式乘法法则计算每一项后合并，得到最简结果；第二步对最简结果中的无理数部分进行估值，再结合常数项推出整个式子的取值范围，对应选项即可。
【解析】
先利用乘法分配律展开并化简原式：
$\sqrt{\frac{1}{3}} × (\sqrt{6} + \sqrt{3}) = \sqrt{\frac{1}{3}}×\sqrt{6} + \sqrt{\frac{1}{3}}×\sqrt{3}$
根据二次根式乘法法则$\sqrt{a}×\sqrt{b}=\sqrt{ab}$（$a≥0,b≥0$）计算：
$\sqrt{\frac{1}{3}×6} + \sqrt{\frac{1}{3}×3} = \sqrt{2} + \sqrt{1} = \sqrt{2} + 1$
接下来估算$\sqrt{2}$的范围：
因为$1^2=1$，$2^2=4$，且$1＜2＜4$，所以$\sqrt{1}＜\sqrt{2}＜\sqrt{4}$，即$1＜\sqrt{2}＜2$
不等式三边同时加1得：$1+1 ＜ \sqrt{2}+1 ＜ 2+1$，即$2＜\sqrt{2}+1＜3$
因此原式的值在2和3之间。
【答案】
A
【知识点】
二次根式乘法运算、无理数估值、乘法分配律
【点评】
本题是基础运算类题型，核心是先化简再估值，避免直接计算未化简的式子导致出错，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键，考查学生的基本运算能力和估算能力。
【难度系数】
0.8

5 [2025天津滨海新区质检]计算$(\sqrt{5}-\sqrt{3})^2$的结果等于.

$8-2\sqrt{15}$ 【解析】$(\sqrt{5}-\sqrt{3})^2=5-2\sqrt{15}+3=$$8-2\sqrt{15}$. 故答案为 $8-2\sqrt{15}$.

【分析】
本题考查二次根式的混合运算，观察算式是两个二次根式的差的平方形式，首先联想到完全平方差公式$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$，确定公式中对应的$a=\sqrt{5}$，$b=\sqrt{3}$，接下来分别计算$a^2$、$2ab$、$b^2$三项的值，最后合并同类项即可得到结果，计算时要注意二次根式乘法和乘方的运算规则。
【解析】
根据完全平方差公式展开计算：
$\begin{aligned}(\sqrt{5}-\sqrt{3})^2&=(\sqrt{5})^2 - 2×\sqrt{5}×\sqrt{3} + (\sqrt{3})^2\\&=5 - 2\sqrt{15} + 3\\&=8-2\sqrt{15}\end{aligned}$
【答案】
$8-2\sqrt{15}$
【知识点】
完全平方公式、二次根式的乘方、二次根式的乘法
【点评】
本题属于二次根式运算的基础题型，核心是熟练掌握整式乘法公式在二次根式运算中的应用，计算时需注意牢记完全平方公式的结构，避免漏写中间交叉项或出现符号错误。
【难度系数】
0.8

6[2025山东烟台调研]计算：$\sqrt{5} × \sqrt{\dfrac{4}{5}} - (-1)^0 =$

$1$ 【解析】原式=$\sqrt{5×\dfrac{4}{5}}-1=2-1=1$. 故答案为 1.

【分析】
本题考查二次根式与零指数幂的混合运算，解题思路如下：第一步先计算二次根式的乘法，根据二次根式乘法法则$\sqrt{a} · \sqrt{b}=\sqrt{ab}\ (a≥0,b≥0)$，将两个二次根式的被开方数相乘后再开方；第二步计算零指数幂，根据非零数的零次幂等于1，可得$(-1)^0=1$；最后将两部分结果做减法运算即可得到答案。
【解析】
解：原式$=\sqrt{5× \dfrac{4}{5}} - 1$
$=\sqrt{4} - 1$
$=2 - 1$
$=1$
【答案】
$1$
【知识点】
二次根式的乘法运算，零指数幂的性质
【点评】
本题是基础运算类题目，核心考查二次根式乘法的运算规则和零指数幂的性质，计算时需注意零指数幂的结果为1，二次根式运算后要化为最简形式，只要认真审题细心计算即可拿到分数。
【难度系数】
0.9

7[2025浙江宁波调研]设$a=\sqrt{7}+\sqrt{6},b=\sqrt{7}-\sqrt{6}$，则$a^{2023}· b^{2024}$的值是。

$\sqrt{7}-\sqrt{6}$ 【解析】因为 $a=\sqrt{7}+\sqrt{6},b=\sqrt{7}-\sqrt{6}$,所以 $ab=(\sqrt{7}+\sqrt{6})(\sqrt{7}-\sqrt{6})=7-6=1$,则$a^{2023}·b^{2024}=(ab)^{2023}b=1×(\sqrt{7}-\sqrt{6})=\sqrt{7}-$$\sqrt{6}$. 故答案为$\sqrt{7}-\sqrt{6}$.

【分析】
遇到高次幂的乘积运算，当两个底数的乘积为特殊值时，可优先考虑逆用积的乘方运算公式简化计算。第一步先观察所求式子$a^{2023}·b^{2024}$，两个指数仅相差1，可将$b^{2024}$拆分为$b^{2023}·b$，将式子变形为同指数幂相乘的形式；第二步计算$ab$的值，利用平方差公式计算二次根式的乘积，可得$ab=1$；第三步将$ab=1$代入变形后的式子，1的任意正整数次幂仍为1，即可快速求出结果。
【解析】
解：已知$a=\sqrt{7}+\sqrt{6}$，$b=\sqrt{7}-\sqrt{6}$，
先计算$ab$的值：
$ab=(\sqrt{7}+\sqrt{6})(\sqrt{7}-\sqrt{6})=(\sqrt{7})^2-(\sqrt{6})^2=7-6=1$，
再对所求式子变形：
$a^{2023}·b^{2024}=a^{2023}·b^{2023}·b=(ab)^{2023}·b$，
代入$ab=1$得：
原式$=1^{2023}×(\sqrt{7}-\sqrt{6})=\sqrt{7}-\sqrt{6}$。
【答案】
$\sqrt{7}-\sqrt{6}$
【知识点】
积的乘方逆运算，平方差公式，二次根式乘法
【点评】
本题是二次根式运算与幂的运算的综合基础题，解题的核心是熟练掌握运算公式的逆用，通过拆分高次幂、先算底数乘积的方式简化复杂的高次幂计算，避免直接计算高次幂的繁琐。
【难度系数】
0.8

8[2025河南洛阳期中]计算：
(1) $\sqrt{\dfrac{1}{3}} × \sqrt{\dfrac{27}{4}}$

(2) $(\sqrt{24} - \sqrt{6}) × \sqrt{\dfrac{1}{6}}$.
(3) $(\sqrt{3} + 2)(\sqrt{3} - 2) + \sqrt{2} × \sqrt{18}$.

8.【解】(1) 原式=$\sqrt{\dfrac{1}{3}×\dfrac{27}{4}}=\sqrt{\dfrac{9}{4}}=\dfrac{3}{2}$.
(2) $(\sqrt{24}-\sqrt{6})×\sqrt{\dfrac{1}{6}}=\sqrt{24×\dfrac{1}{6}}-\sqrt{6×\dfrac{1}{6}}=$$\sqrt{4}-1=2-1=1$.
(3) 原式=$(\sqrt{3}+2)(\sqrt{3}-2)+\sqrt{2×18}=(\sqrt{3})^2-$$2^2+\sqrt{36}=3-4+6=5$.

【分析】
这三道题均为二次根式的运算题，解题思路如下：
(1) 两个二次根式相乘，可直接运用二次根式乘法法则$\sqrt{a}·\sqrt{b}=\sqrt{ab}(a≥0,b≥0)$，先将被开方数相乘，再对乘积开方化简得到结果。
(2) 带括号的二次根式混合运算，可类比整式乘法分配律，将括号内的两个二次根式分别与括号外的二次根式相乘，再分别化简后计算差值即可。
(3) 算式分为两部分：前半部分$(\sqrt{3}+2)(\sqrt{3}-2)$符合平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$的结构，用公式可简化计算；后半部分是二次根式乘法，用乘法法则计算，最后合并两部分的结果即可。
【解析】
(1) 原式=$\sqrt{\dfrac{1}{3}×\dfrac{27}{4}}=\sqrt{\dfrac{9}{4}}=\dfrac{3}{2}$。
(2) 原式=$\sqrt{24×\dfrac{1}{6}}-\sqrt{6×\dfrac{1}{6}}=\sqrt{4}-1=2-1=1$。
(3) 原式=$(\sqrt{3})^2-2^2+\sqrt{2×18}=3-4+\sqrt{36}=3-4+6=5$。
【答案】
(1) $\dfrac{3}{2}$；(2) $1$；(3) $5$
【知识点】
二次根式乘除运算，乘法分配律，平方差公式
【点评】
本题是二次根式运算的基础题型，主要考察二次根式运算法则、整式运算律和乘法公式的灵活运用，计算时优先选择简便方法可以降低出错率，最终结果要注意化为最简形式。
【难度系数】
0.8

9[2025 江苏常州调研]下列计算正确的是（）

A.$\frac{\sqrt{9}}{\sqrt{3}}=3$
B.$\frac{\sqrt{18}-\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=2$
C.$2\sqrt{5}×5\sqrt{2}=10\sqrt{7}$
D.$\sqrt{8}÷\sqrt{2}=4$

B 【解析】$\dfrac{\sqrt{9}}{\sqrt{3}}=\sqrt{\dfrac{9}{3}}=\sqrt{3}$,故 A 选项不正确,不符合题意;$\dfrac{\sqrt{18}-\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{18}}{\sqrt{2}}-\dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=\sqrt{9}-1=3-$$1=2$,故 B 选项正确,符合题意;$2\sqrt{5}×5\sqrt{2}=2×$$5×\sqrt{5×2}=10\sqrt{10}$,故 C 选项不正确,不符合题意;$\sqrt{8}÷\sqrt{2}=\sqrt{8÷2}=\sqrt{4}=2$,故 D 选项不正确,不符合题意. 故选 B.

【分析】
本题考查二次根式的四则运算，解题思路是逐一计算每个选项的结果，结合二次根式的乘除法则、化简规则判断选项是否正确，最终选出符合要求的答案。计算时要注意二次根式运算的基本规则，不要混淆根式内的运算类型。
【解析】
我们逐个验证选项：
A选项：根据二次根式除法法则$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}}(a≥0,b＞0)$，可得$\frac{\sqrt{9}}{\sqrt{3}}=\sqrt{\frac{9}{3}}=\sqrt{3}≠3$，故A错误；
B选项：先拆分分式，再用二次根式除法法则计算：$\frac{\sqrt{18}-\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{18}}{\sqrt{2}}-\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=\sqrt{9}-1=3-1=2$，故B正确；
C选项：根据二次根式乘法法则$\sqrt{a}×\sqrt{b}=\sqrt{ab}(a≥0,b≥0)$，系数相乘、根式部分相乘，可得$2\sqrt{5}×5\sqrt{2}=(2×5)×\sqrt{5×2}=10\sqrt{10}≠10\sqrt{7}$，故C错误；
D选项：根据二次根式除法法则，可得$\sqrt{8}÷\sqrt{2}=\sqrt{8÷2}=\sqrt{4}=2≠4$，故D错误。
综上，正确选项为B。
【答案】
B
【知识点】
二次根式乘除运算，二次根式化简，二次根式混合运算
【点评】
本题是二次根式运算的基础题型，核心考查二次根式四则运算的基本法则，解题时需注意区分根式内的乘除和加减运算规则，避免出现根号内直接加减、系数与根式错误合并等常见失误。
【难度系数】
0.7

10[2025河北邯郸调研]设长方形的面积为$S$,相邻的两边长分别为$a,b$,若$S=\sqrt{6},a=\sqrt{2}$,则$b=$.

$\sqrt{3}$ 【解析】因为 $S=ab$,所以 $b=\dfrac{S}{a}=\dfrac{\sqrt{6}}{\sqrt{2}}=$$\sqrt{3}$. 故答案为$\sqrt{3}$.

【分析】
解题时首先回忆长方形的面积计算公式，已知面积S和其中一条邻边a，要求另一条邻边b，可先对面积公式变形得到$b=\frac{S}{a}$；再将已知的S、a的数值代入式子，最后运用二次根式的除法法则化简计算，即可得到b的结果。
【解析】
根据长方形面积公式$S=ab$，可推导出$b=\frac{S}{a}$。
将$S=\sqrt{6}$，$a=\sqrt{2}$代入得：
$b=\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{2}}=\sqrt{\frac{6}{2}}=\sqrt{3}$
【答案】
$\sqrt{3}$
【知识点】
长方形面积公式、二次根式的除法、二次根式化简
【点评】
本题是基础运算类题目，将几何面积计算和二次根式运算结合，核心考察二次根式除法法则的应用，掌握基础公式和运算法则即可顺利解题。
【难度系数】
0.9

11 [2025广西百色期中]对于任意两个不相等的实数$a,b(a＞b)$,定义一种新运算:$a※b=\dfrac{\sqrt{a+b}}{\sqrt{a-b}}$,例如$3※2=\dfrac{\sqrt{3+2}}{\sqrt{3-2}}=\sqrt{5}$,则$12※4=$.

$\sqrt{2}$ 【解析】$12※4=\dfrac{\sqrt{12+4}}{\sqrt{12-4}}=\dfrac{\sqrt{16}}{\sqrt{8}}=\sqrt{\dfrac{16}{8}}=$$\sqrt{2}$. 故答案为$\sqrt{2}$.

【分析】本题为新定义运算题型，解题首先要明确运算规则：对于不相等且满足$a＞b$的两个实数$a$、$b$，$a※b$的运算结果为$\sqrt{a+b}$除以$\sqrt{a-b}$。首先验证运算前提：$12＞4$，符合要求，再将$a=12$、$b=4$代入给定的运算公式，最后依据二次根式的除法运算法则化简计算即可求出结果。
【解析】根据题中定义的新运算可得：
$12※4=\dfrac{\sqrt{12+4}}{\sqrt{12-4}}=\dfrac{\sqrt{16}}{\sqrt{8}}=\sqrt{\dfrac{16}{8}}=\sqrt{2}$
【答案】
$\sqrt{2}$
【知识点】
新定义运算、二次根式的除法运算
【点评】
本题难度较低，重点考查对新定义规则的理解能力和二次根式的基础运算能力，解题时需先确认运算的前提条件是否满足，再准确代入数值计算即可。
【难度系数】
0.85

12[2025 陕西西安质检]计算：
(1)$\frac{\sqrt{32}-\sqrt{8}}{\sqrt{2}}$；
(2)$\frac{\sqrt{20}+\sqrt{125}}{\sqrt{5}}+5$。

12.【解】(1) 原式=$\sqrt{\dfrac{32}{2}}-\sqrt{\dfrac{8}{2}}=\sqrt{16}-\sqrt{4}=4-$$2=2$.
(2) 原式=$\sqrt{\dfrac{20}{5}}+\sqrt{\dfrac{125}{5}}+5=\sqrt{4}+\sqrt{25}+5=2+$$5+5=12$.

【分析】
这两道题均为二次根式的混合运算题，观察算式结构，都是几个二次根式的和/差除以同一个二次根式的形式，我们可以类比整式除法的分配律，将被除数的每一项分别除以除数，再把所得结果相加减，随后运用二次根式的除法法则$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}}$（$a≥0,b＞0$）计算每一项，最后化简做加减即可，该方法比先化简分子再计算更简便，也能减少计算错误。
【解析】
(1) 先利用除法分配律拆分算式，再结合二次根式除法法则计算：
原式$=\frac{\sqrt{32}}{\sqrt{2}}-\frac{\sqrt{8}}{\sqrt{2}}=\sqrt{\frac{32}{2}}-\sqrt{\frac{8}{2}}=\sqrt{16}-\sqrt{4}=4-2=2$
(2) 同理先拆分算式，再计算后合并：
原式$=\frac{\sqrt{20}}{\sqrt{5}}+\frac{\sqrt{125}}{\sqrt{5}}+5=\sqrt{\frac{20}{5}}+\sqrt{\frac{125}{5}}+5=\sqrt{4}+\sqrt{25}+5=2+5+5=12$
【答案】
(1) $\boxed{2}$；(2) $\boxed{12}$
【知识点】
二次根式的除法运算；二次根式的化简；二次根式的加减运算
【点评】
本题是二次根式运算的基础题型，重点考查二次根式除法法则的灵活运用，将同除数的二次根式拆分计算能简化运算过程，降低出错概率，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的核心。
【难度系数】
0.85