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8 如图,在$△ ABC$中,D是BC的中点,点E,F分别在线段AD及其延长线上,且$DE=DF$.添加下列条件能使四边形BECF为菱形的是 (
A.$BE⊥ CE$
B.$BF// CE$
C.$BE=CF$
D.$AB=AC$
D
)A.$BE⊥ CE$
B.$BF// CE$
C.$BE=CF$
D.$AB=AC$
答案
8. D
解析
【分析】
首先从已知条件出发：D是BC中点可得BD=CD，结合DE=DF，根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”，可先判定四边形BECF是平行四边形。要使平行四边形变为菱形，需满足“邻边相等”或“对角线互相垂直”的判定条件，再逐一分析每个选项是否能推出上述菱形判定条件即可。
【解析】
第一步：判定四边形BECF的基础形状
∵ D是BC的中点，
∴ BD=CD
又
∵ DE=DF，即四边形BECF的对角线互相平分，因此四边形BECF是平行四边形。
第二步：逐一分析选项：
选项A：若BE⊥CE，则平行四边形BECF有一个内角为直角，此时BECF是矩形，无法判定为菱形，不符合要求；
选项B：平行四边形的对边本身就满足BF//CE，该条件是平行四边形的固有性质，添加后无法判定为菱形，不符合要求；
选项C：平行四边形的对边本身就满足BE=CF，该条件是平行四边形的固有性质，添加后无法判定为菱形，不符合要求；
选项D：若AB=AC，则△ABC是等腰三角形，
∵ D是BC中点，根据等腰三角形三线合一的性质，可得AD⊥BC，即EF⊥BC。平行四边形BECF的对角线互相垂直，因此BECF是菱形，符合要求。
【答案】
D
【知识点】
平行四边形的判定，菱形的判定，等腰三角形的性质
【点评】
本题考查特殊四边形的判定，解题关键是先由已知条件确定四边形BECF是平行四边形，再结合菱形的判定条件逐一筛选选项，需要熟练掌握各类特殊四边形的判定定理。
【难度系数】
0.7
首先从已知条件出发：D是BC中点可得BD=CD，结合DE=DF，根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”，可先判定四边形BECF是平行四边形。要使平行四边形变为菱形，需满足“邻边相等”或“对角线互相垂直”的判定条件，再逐一分析每个选项是否能推出上述菱形判定条件即可。
【解析】
第一步：判定四边形BECF的基础形状
∵ D是BC的中点，
∴ BD=CD
又
∵ DE=DF，即四边形BECF的对角线互相平分，因此四边形BECF是平行四边形。
第二步：逐一分析选项：
选项A：若BE⊥CE，则平行四边形BECF有一个内角为直角，此时BECF是矩形，无法判定为菱形，不符合要求；
选项B：平行四边形的对边本身就满足BF//CE，该条件是平行四边形的固有性质，添加后无法判定为菱形，不符合要求；
选项C：平行四边形的对边本身就满足BE=CF，该条件是平行四边形的固有性质，添加后无法判定为菱形，不符合要求；
选项D：若AB=AC，则△ABC是等腰三角形，
∵ D是BC中点，根据等腰三角形三线合一的性质，可得AD⊥BC，即EF⊥BC。平行四边形BECF的对角线互相垂直，因此BECF是菱形，符合要求。
【答案】
D
【知识点】
平行四边形的判定，菱形的判定，等腰三角形的性质
【点评】
本题考查特殊四边形的判定，解题关键是先由已知条件确定四边形BECF是平行四边形，再结合菱形的判定条件逐一筛选选项，需要熟练掌握各类特殊四边形的判定定理。
【难度系数】
0.7
9 如图,在$□ ABCD$中,AC与BD交于点O,E是边AB上的中点,连接$OE$,$OE=2.5$,$AC=8$,$BD=6$.有下列结论:① $△ ABD$是等边三角形;② $□ ABCD$的周长是20;③ $□ ABCD$的边BC上的高是4.8;④ $□ ABCD$是菱形;⑤ $□ ABCD$的面积是48.其中,正确的是
②③④
(填序号).答案
9. ②③④
【解析】
∵ 四边形 ABCD 是平行四边形,
∴ OA=OC=$\frac{1}{2}$AC=4,OB=OD=$\frac{1}{2}$BD=3,BC=AD.
∵ E 是AB 的中点,
∴ OE 是△ABC 的中位线.
∴ BC=AD=2OE=5.
∵ OA²+OD²=4²+3²=5²=AD²,
∴ △AOD 是直角三角形,且∠AOD = 90°.
∴ AC⊥BD.
∴ ▱ABCD 是菱形,④正确.
∴ AB=AD≠BD.
∴ ①错误.
∴ ▱ABCD 的周长是4AD=4×5=20,②正确.
∴ ▱ABCD 的面积=$\frac{1}{2}AC·BD=\frac{1}{2}×8×6=$24,⑤错误.
∴ ▱ABCD 的面积=BC×边 BC 上的高=24.
∴ 边 BC 上的高=$\frac{24}{5}$=4.8,③正确.综上所述,②③④正确.
【解析】
∵ 四边形 ABCD 是平行四边形,
∴ OA=OC=$\frac{1}{2}$AC=4,OB=OD=$\frac{1}{2}$BD=3,BC=AD.
∵ E 是AB 的中点,
∴ OE 是△ABC 的中位线.
∴ BC=AD=2OE=5.
∵ OA²+OD²=4²+3²=5²=AD²,
∴ △AOD 是直角三角形,且∠AOD = 90°.
∴ AC⊥BD.
∴ ▱ABCD 是菱形,④正确.
∴ AB=AD≠BD.
∴ ①错误.
∴ ▱ABCD 的周长是4AD=4×5=20,②正确.
∴ ▱ABCD 的面积=$\frac{1}{2}AC·BD=\frac{1}{2}×8×6=$24,⑤错误.
∴ ▱ABCD 的面积=BC×边 BC 上的高=24.
∴ 边 BC 上的高=$\frac{24}{5}$=4.8,③正确.综上所述,②③④正确.
解析
【分析】
解题时先从平行四边形的基本性质入手，先利用平行四边形对角线互相平分求出OA、OD的长度；再结合E是AB中点，判断OE是△ABC的中位线，求出AD、BC的边长；接着用勾股定理逆定理判断对角线是否垂直，确定平行四边形是否为菱形，最后依次验证5个结论的正误即可。
【解析】
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ OA=OC=$\frac{1}{2}$AC=4，OB=OD=$\frac{1}{2}$BD=3，BC=AD。
∵ E是AB的中点，
∴ OE是△ABC的中位线，
∴ BC=AD=2OE=5。
∵ OA²+OD²=4²+3²=25=5²=AD²，
∴ △AOD是直角三角形，且∠AOD=90°，
∴ AC⊥BD，
∴ ▱ABCD是菱形，故④正确。
∴ AB=AD=5≠BD=6，因此△ABD不是等边三角形，故①错误。
∴ ▱ABCD的周长是4AD=4×5=20，故②正确。
菱形ABCD的面积=$\frac{1}{2}$AC·BD=$\frac{1}{2}$×8×6=24，故⑤错误。
设BC边上的高为h，由菱形面积公式得BC·h=24，
∴ h=$\frac{24}{5}$=4.8，故③正确。
综上，正确的结论是②③④。
【答案】
②③④
【知识点】
平行四边形的性质，三角形中位线定理，菱形的判定与性质
【点评】
本题综合考查了特殊四边形的性质与判定，需要结合勾股定理逆定理、三角形中位线定理逐步推导，解题时要逐一验证每个结论，避免遗漏或者误判。
【难度系数】
0.6
解题时先从平行四边形的基本性质入手，先利用平行四边形对角线互相平分求出OA、OD的长度；再结合E是AB中点，判断OE是△ABC的中位线，求出AD、BC的边长；接着用勾股定理逆定理判断对角线是否垂直，确定平行四边形是否为菱形，最后依次验证5个结论的正误即可。
【解析】
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ OA=OC=$\frac{1}{2}$AC=4，OB=OD=$\frac{1}{2}$BD=3，BC=AD。
∵ E是AB的中点，
∴ OE是△ABC的中位线，
∴ BC=AD=2OE=5。
∵ OA²+OD²=4²+3²=25=5²=AD²，
∴ △AOD是直角三角形，且∠AOD=90°，
∴ AC⊥BD，
∴ ▱ABCD是菱形，故④正确。
∴ AB=AD=5≠BD=6，因此△ABD不是等边三角形，故①错误。
∴ ▱ABCD的周长是4AD=4×5=20，故②正确。
菱形ABCD的面积=$\frac{1}{2}$AC·BD=$\frac{1}{2}$×8×6=24，故⑤错误。
设BC边上的高为h，由菱形面积公式得BC·h=24，
∴ h=$\frac{24}{5}$=4.8，故③正确。
综上，正确的结论是②③④。
【答案】
②③④
【知识点】
平行四边形的性质，三角形中位线定理，菱形的判定与性质
【点评】
本题综合考查了特殊四边形的性质与判定，需要结合勾股定理逆定理、三角形中位线定理逐步推导，解题时要逐一验证每个结论，避免遗漏或者误判。
【难度系数】
0.6
10 如图，在$□ ABCD$和$□ BFDE$中，$∠ A = ∠ F$，AD与BE交于点M，BC与DF交于点N.
（1）求证：四边形BNDM是平行四边形.
（2）当AB与BF满足什么数量关系时，四边形BNDM是菱形？请说明理由.
（1）求证：四边形BNDM是平行四边形.
（2）当AB与BF满足什么数量关系时，四边形BNDM是菱形？请说明理由.
答案
10. (1)
∵ 四边形 ABCD 和四边形 BFDE 都是平行四边形,
∴ BC//AD,BE//DF.
∴ 四边形 BNDM 是平行四边形
(2) 当AB=BF 时,四边形 BNDM 是菱形 理由:
∵ 易得∠A + ∠ABC = 180°,∠EBF + ∠F = 180°,∠A = ∠F,
∴ ∠ABC=∠EBF.
∴ ∠ABC-∠EBC=∠EBF-∠EBC,即∠ABM=∠FBN. 在△ABM 和△FBN 中,∠ABM=∠FBN,AB=FB,∠A=∠F,
∴ △ABM≌△FBN.
∴ BM=BN.又
∵ 四边形 BNDM 是平行四边形,
∴ 四边形 BNDM 是菱形.
∵ 四边形 ABCD 和四边形 BFDE 都是平行四边形,
∴ BC//AD,BE//DF.
∴ 四边形 BNDM 是平行四边形
(2) 当AB=BF 时,四边形 BNDM 是菱形 理由:
∵ 易得∠A + ∠ABC = 180°,∠EBF + ∠F = 180°,∠A = ∠F,
∴ ∠ABC=∠EBF.
∴ ∠ABC-∠EBC=∠EBF-∠EBC,即∠ABM=∠FBN. 在△ABM 和△FBN 中,∠ABM=∠FBN,AB=FB,∠A=∠F,
∴ △ABM≌△FBN.
∴ BM=BN.又
∵ 四边形 BNDM 是平行四边形,
∴ 四边形 BNDM 是菱形.
解析
【分析】
（1）要证明四边形BNDM是平行四边形，可利用“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”这一判定定理推导。已知两个大图形均为平行四边形，根据平行四边形对边平行的性质，可直接得到BNDM的两组对边分别平行，即可完成证明。
（2）要使平行四边形BNDM为菱形，根据菱形的判定，只需证明该平行四边形有一组邻边相等即可。结合已知∠A=∠F的条件，若AB=BF，可通过证明△ABM和△FBN全等得到邻边BM=BN，进而证明平行四边形BNDM是菱形。
【解析】
（1）证明：
∵ 四边形ABCD和四边形BFDE都是平行四边形，
∴ BC//AD，BE//DF，即BN//DM，BM//DN，
∴ 四边形BNDM是平行四边形。
（2）当AB=BF时，四边形BNDM是菱形，理由如下：
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ ∠A + ∠ABC = 180°，
∵ 四边形BFDE是平行四边形，
∴ ∠EBF + ∠F = 180°，
又
∵ ∠A = ∠F，
∴ ∠ABC=∠EBF，
∴ ∠ABC-∠EBC=∠EBF-∠EBC，即∠ABM=∠FBN。
在△ABM 和△FBN 中，
$\{\begin{array}{l}∠ABM=∠FBN \\AB=FB \\∠A=∠F\end{array} $
∴ △ABM≌△FBN（ASA），
∴ BM=BN，
又
∵ 四边形BNDM是平行四边形，
∴ 四边形BNDM是菱形。
【答案】
（1）四边形BNDM是平行四边形，证明见上述解析；
（2）当AB=BF时，四边形BNDM是菱形，理由见上述解析。
【知识点】
平行四边形的判定与性质；菱形的判定；全等三角形的判定与性质
【点评】
本题考查特殊四边形的判定与性质的综合应用，第一问难度较低，直接利用平行四边形的性质即可推导；第二问需要结合全等三角形证明邻边相等，解题时要熟练掌握特殊四边形的判定定理，学会根据结论反推需要的等量条件。
【难度系数】
0.7
（1）要证明四边形BNDM是平行四边形，可利用“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”这一判定定理推导。已知两个大图形均为平行四边形，根据平行四边形对边平行的性质，可直接得到BNDM的两组对边分别平行，即可完成证明。
（2）要使平行四边形BNDM为菱形，根据菱形的判定，只需证明该平行四边形有一组邻边相等即可。结合已知∠A=∠F的条件，若AB=BF，可通过证明△ABM和△FBN全等得到邻边BM=BN，进而证明平行四边形BNDM是菱形。
【解析】
（1）证明：
∵ 四边形ABCD和四边形BFDE都是平行四边形，
∴ BC//AD，BE//DF，即BN//DM，BM//DN，
∴ 四边形BNDM是平行四边形。
（2）当AB=BF时，四边形BNDM是菱形，理由如下：
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ ∠A + ∠ABC = 180°，
∵ 四边形BFDE是平行四边形，
∴ ∠EBF + ∠F = 180°，
又
∵ ∠A = ∠F，
∴ ∠ABC=∠EBF，
∴ ∠ABC-∠EBC=∠EBF-∠EBC，即∠ABM=∠FBN。
在△ABM 和△FBN 中，
$\{\begin{array}{l}∠ABM=∠FBN \\AB=FB \\∠A=∠F\end{array} $
∴ △ABM≌△FBN（ASA），
∴ BM=BN，
又
∵ 四边形BNDM是平行四边形，
∴ 四边形BNDM是菱形。
【答案】
（1）四边形BNDM是平行四边形，证明见上述解析；
（2）当AB=BF时，四边形BNDM是菱形，理由见上述解析。
【知识点】
平行四边形的判定与性质；菱形的判定；全等三角形的判定与性质
【点评】
本题考查特殊四边形的判定与性质的综合应用，第一问难度较低，直接利用平行四边形的性质即可推导；第二问需要结合全等三角形证明邻边相等，解题时要熟练掌握特殊四边形的判定定理，学会根据结论反推需要的等量条件。
【难度系数】
0.7
11 [2025大庆]如图，在四边形ABCD中，AB//CD，对角线AC与BD相交于点O，点B，D关于对角线AC所在直线对称.
（1）求证：四边形ABCD是菱形.
（2）过点D作BC的垂线，交BC的延长线于点E.若CE＝3，AD＝5，求线段OC的长.
（1）求证：四边形ABCD是菱形.
（2）过点D作BC的垂线，交BC的延长线于点E.若CE＝3，AD＝5，求线段OC的长.
答案
11. (1)
∵ 点 B,D 关于对角线 AC 所在直线对称,
∴ BD⊥AC,BO=DO.
∵ AB//CD,
∴ ∠ABO=∠CDO. 在△ABO 和△CDO 中,$\begin{cases} ∠ABO=∠CDO, \\ BO=DO, \\ ∠AOB=∠COD, \end{cases}$
∴ △ABO≌△CDO.
∴ AB=CD.又
∵ AB//CD,
∴ 四边形 ABCD 是平行四边形. 又
∵ BD⊥AC,
∴ 四边形 ABCD 是菱形
(2) 由(1)得,四边形 ABCD 是菱形,
∴ OC=OA=$\frac{1}{2}$AC,AD=BC=CD=5.
∴ BE=BC+CE=5+3=8.
∵ DE⊥BC,
∴ ∠DEB=90°. 在 Rt△CED 中,由勾股定理,得 DE=$\sqrt{CD^2-CE^2}=\sqrt{5^2-3^2}=4$;在 Rt△BED 中,由勾股定理,得 BD=$\sqrt{BE^2+DE^2}=\sqrt{8^2+4^2}=4\sqrt{5}$.
∵ $S_{菱形ABCD}=DE·BC$,$S_{菱形ABCD}=\frac{1}{2}AC·BD=OC·BD$,
∴ DE·BC=OC·BD.
∴ OC=$\frac{DE·BC}{BD}=\frac{4×5}{4\sqrt{5}}=\sqrt{5}$
∵ 点 B,D 关于对角线 AC 所在直线对称,
∴ BD⊥AC,BO=DO.
∵ AB//CD,
∴ ∠ABO=∠CDO. 在△ABO 和△CDO 中,$\begin{cases} ∠ABO=∠CDO, \\ BO=DO, \\ ∠AOB=∠COD, \end{cases}$
∴ △ABO≌△CDO.
∴ AB=CD.又
∵ AB//CD,
∴ 四边形 ABCD 是平行四边形. 又
∵ BD⊥AC,
∴ 四边形 ABCD 是菱形
(2) 由(1)得,四边形 ABCD 是菱形,
∴ OC=OA=$\frac{1}{2}$AC,AD=BC=CD=5.
∴ BE=BC+CE=5+3=8.
∵ DE⊥BC,
∴ ∠DEB=90°. 在 Rt△CED 中,由勾股定理,得 DE=$\sqrt{CD^2-CE^2}=\sqrt{5^2-3^2}=4$;在 Rt△BED 中,由勾股定理,得 BD=$\sqrt{BE^2+DE^2}=\sqrt{8^2+4^2}=4\sqrt{5}$.
∵ $S_{菱形ABCD}=DE·BC$,$S_{菱形ABCD}=\frac{1}{2}AC·BD=OC·BD$,
∴ DE·BC=OC·BD.
∴ OC=$\frac{DE·BC}{BD}=\frac{4×5}{4\sqrt{5}}=\sqrt{5}$
解析
【分析】
（1）要证明四边形ABCD是菱形，可先证它是平行四边形，再结合对角线垂直的性质判定为菱形：首先根据点B、D关于AC对称，得到AC垂直平分BD，即BD⊥AC、BO=DO；再结合AB//CD的条件证明△ABO≌△CDO，得到AB=CD，即可推出四边形ABCD是平行四边形，最后结合BD⊥AC的条件判定其为菱形。
（2）求OC的长时，先根据菱形性质得到各边长，再通过两次勾股定理分别求出DE、BD的长度，最后利用菱形面积的两种计算方式（底乘高、对角线乘积的一半）建立等式，即可求出OC的长度。
【解析】
（1）证明：
∵ 点B，D关于对角线AC所在直线对称，
∴ BD⊥AC，BO=DO。
∵ AB//CD，
∴ ∠ABO=∠CDO。
在△ABO和△CDO中，
$\begin{cases} ∠ABO=∠CDO \\ BO=DO \\ ∠AOB=∠COD \end{cases}$
∴ △ABO≌△CDO（ASA），
∴ AB=CD。
又
∵ AB//CD，
∴ 四边形ABCD是平行四边形。
又
∵ BD⊥AC，
∴ 平行四边形ABCD是菱形。
（2）解：
由（1）得四边形ABCD是菱形，
∴ OC=OA=$\frac{1}{2}$AC，AD=BC=CD=5，
∴ BE=BC+CE=5+3=8。
∵ DE⊥BC，
∴ ∠DEB=90°。
在Rt△CED中，由勾股定理得：
$DE=\sqrt{CD^2-CE^2}=\sqrt{5^2-3^2}=4$。
在Rt△BED中，由勾股定理得：
$BD=\sqrt{BE^2+DE^2}=\sqrt{8^2+4^2}=4\sqrt{5}$。
∵ 菱形ABCD的面积可表示为$S_{菱形ABCD}=DE·BC$，也可表示为$S_{菱形ABCD}=\frac{1}{2}AC·BD=OC·BD$，
∴ $DE·BC=OC·BD$，
∴ $OC=\frac{DE·BC}{BD}=\frac{4×5}{4\sqrt{5}}=\sqrt{5}$。
【答案】
（1）四边形ABCD是菱形，证明成立；（2）线段OC的长为$\sqrt{5}$。
【知识点】
菱形的判定、菱形的性质、勾股定理
【点评】
本题综合考查了轴对称的性质、全等三角形的判定与性质、菱形的相关知识以及勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌握特殊四边形的判定和性质，灵活运用面积法求解线段长度，是较为典型的四边形综合题。
【难度系数】
0.7
（1）要证明四边形ABCD是菱形，可先证它是平行四边形，再结合对角线垂直的性质判定为菱形：首先根据点B、D关于AC对称，得到AC垂直平分BD，即BD⊥AC、BO=DO；再结合AB//CD的条件证明△ABO≌△CDO，得到AB=CD，即可推出四边形ABCD是平行四边形，最后结合BD⊥AC的条件判定其为菱形。
（2）求OC的长时，先根据菱形性质得到各边长，再通过两次勾股定理分别求出DE、BD的长度，最后利用菱形面积的两种计算方式（底乘高、对角线乘积的一半）建立等式，即可求出OC的长度。
【解析】
（1）证明：
∵ 点B，D关于对角线AC所在直线对称，
∴ BD⊥AC，BO=DO。
∵ AB//CD，
∴ ∠ABO=∠CDO。
在△ABO和△CDO中，
$\begin{cases} ∠ABO=∠CDO \\ BO=DO \\ ∠AOB=∠COD \end{cases}$
∴ △ABO≌△CDO（ASA），
∴ AB=CD。
又
∵ AB//CD，
∴ 四边形ABCD是平行四边形。
又
∵ BD⊥AC，
∴ 平行四边形ABCD是菱形。
（2）解：
由（1）得四边形ABCD是菱形，
∴ OC=OA=$\frac{1}{2}$AC，AD=BC=CD=5，
∴ BE=BC+CE=5+3=8。
∵ DE⊥BC，
∴ ∠DEB=90°。
在Rt△CED中，由勾股定理得：
$DE=\sqrt{CD^2-CE^2}=\sqrt{5^2-3^2}=4$。
在Rt△BED中，由勾股定理得：
$BD=\sqrt{BE^2+DE^2}=\sqrt{8^2+4^2}=4\sqrt{5}$。
∵ 菱形ABCD的面积可表示为$S_{菱形ABCD}=DE·BC$，也可表示为$S_{菱形ABCD}=\frac{1}{2}AC·BD=OC·BD$，
∴ $DE·BC=OC·BD$，
∴ $OC=\frac{DE·BC}{BD}=\frac{4×5}{4\sqrt{5}}=\sqrt{5}$。
【答案】
（1）四边形ABCD是菱形，证明成立；（2）线段OC的长为$\sqrt{5}$。
【知识点】
菱形的判定、菱形的性质、勾股定理
【点评】
本题综合考查了轴对称的性质、全等三角形的判定与性质、菱形的相关知识以及勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌握特殊四边形的判定和性质，灵活运用面积法求解线段长度，是较为典型的四边形综合题。
【难度系数】
0.7
12 如图,在等腰三角形 ABC 中,$AB=AC,AD$是$∠BAC$的平分线,P 是 AD 上任意一点,过点 P 作$EF// AB$,分别交 BC,AC 于点 E,F,作$PM// AC$,交 AB 于点 M,连接 MF.
(1) 求证:四边形 PFAM 为菱形.
(2) 当四边形 PFAM 的面积为四边形 BEFM 面积的一半时,AP 与 AD 满足什么数量关系?请证明你的结论.
(1) 求证:四边形 PFAM 为菱形.
(2) 当四边形 PFAM 的面积为四边形 BEFM 面积的一半时,AP 与 AD 满足什么数量关系?请证明你的结论.
答案
12. (1)
∵ EF//AB,PM//AC,
∴ 四边形 PFAM 为平行四边形.
∵ AD 是∠BAC 的平分线,
∴ ∠CAD=∠BAD.
∵ EF//AB,
∴ ∠BAD=∠FPA.
∴ ∠CAD=∠FPA.
∴ FA=FP.
∴ 四边形 PFAM 为菱形
(2) $AP=\frac{2}{3}AD$ 过点 F 作 FH⊥BC 于点 H. 设 MF 与 AD 交于点 G. 由(1),知四边形 PFAM 为菱形,
∴ AD⊥MF,AP=2GP.
∵ AB=AC,AD 是∠BAC 的平分线,
∴ AD⊥BC.
∴ MF//BC. 又
∵ EF//AB,
∴ 四边形 BEFM 为平行四边形.
∴ $S_{四边形PFAM}=\frac{1}{2}MF·AP=MF·GP$,$S_{四边形BEFM}=MF·FH$. 当 $S_{四边形PFAM}=\frac{1}{2}S_{四边形BEFM}$ 时,$GP=\frac{1}{2}FH$.
∵ 易得 GD=FH,
∴ $GP=\frac{1}{2}GD$.
∴ AG=GP=PD.
∴ $AP=\frac{2}{3}AD$
∵ EF//AB,PM//AC,
∴ 四边形 PFAM 为平行四边形.
∵ AD 是∠BAC 的平分线,
∴ ∠CAD=∠BAD.
∵ EF//AB,
∴ ∠BAD=∠FPA.
∴ ∠CAD=∠FPA.
∴ FA=FP.
∴ 四边形 PFAM 为菱形
(2) $AP=\frac{2}{3}AD$ 过点 F 作 FH⊥BC 于点 H. 设 MF 与 AD 交于点 G. 由(1),知四边形 PFAM 为菱形,
∴ AD⊥MF,AP=2GP.
∵ AB=AC,AD 是∠BAC 的平分线,
∴ AD⊥BC.
∴ MF//BC. 又
∵ EF//AB,
∴ 四边形 BEFM 为平行四边形.
∴ $S_{四边形PFAM}=\frac{1}{2}MF·AP=MF·GP$,$S_{四边形BEFM}=MF·FH$. 当 $S_{四边形PFAM}=\frac{1}{2}S_{四边形BEFM}$ 时,$GP=\frac{1}{2}FH$.
∵ 易得 GD=FH,
∴ $GP=\frac{1}{2}GD$.
∴ AG=GP=PD.
∴ $AP=\frac{2}{3}AD$
解析
【分析】
(1) 要证四边形PFAM是菱形，首先根据两组对边分别平行可先判定它是平行四边形，再结合角平分线和平行线的性质推导一组邻边相等，即可完成菱形的证明。
(2) 探究AP和AD的数量关系时，先利用菱形、等腰三角形的性质得到MF//BC，判定四边形BEFM是平行四边形，再结合两个四边形的面积关系推导出对应高的数量关系，进而得到线段AP和AD的比例。
【解析】
(1) 证明：
∵ EF//AB，PM//AC，
∴ 四边形PFAM为平行四边形。
∵ AD是∠BAC的平分线，
∴ ∠CAD=∠BAD。
∵ EF//AB，
∴ ∠BAD=∠FPA（两直线平行，内错角相等），
∴ ∠CAD=∠FPA，
∴ FA=FP（等角对等边），
∴ 平行四边形PFAM为菱形。
(2) $AP=\frac{2}{3}AD$，证明如下：
过点F作FH⊥BC于点H，设MF与AD交于点G。
由(1)知四边形PFAM为菱形，
∴ AD⊥MF，AP=2GP。
∵ AB=AC，AD是∠BAC的平分线，
∴ AD⊥BC（等腰三角形三线合一），
∴ MF//BC。
又
∵ EF//AB，
∴ 四边形BEFM为平行四边形。
菱形PFAM的面积：$S_{四边形PFAM}=\frac{1}{2}MF·AP = MF·GP$，
平行四边形BEFM的面积：$S_{四边形BEFM}=MF·FH$。
当$S_{四边形PFAM}=\frac{1}{2}S_{四边形BEFM}$时，代入得$MF·GP = \frac{1}{2} · MF·FH$，化简得$GP=\frac{1}{2}FH$。
易得GD=FH（平行线间距离相等），
∴ $GP=\frac{1}{2}GD$，即GD=2GP，
结合菱形性质可得AG=GP，
∴ AG=GP=PD，
∴ $AP=\frac{2}{3}AD$。
【答案】
(1) 四边形PFAM为菱形，证明成立；
(2) $AP=\frac{2}{3}AD$
【知识点】
菱形的判定与性质；平行四边形的判定与性质；等腰三角形的性质
【点评】
本题综合考查了特殊四边形和等腰三角形的相关知识，解题时需要灵活运用平行线的性质完成等角、等线段的转换，结合面积关系推导线段比例，对逻辑推理能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
(1) 要证四边形PFAM是菱形，首先根据两组对边分别平行可先判定它是平行四边形，再结合角平分线和平行线的性质推导一组邻边相等，即可完成菱形的证明。
(2) 探究AP和AD的数量关系时，先利用菱形、等腰三角形的性质得到MF//BC，判定四边形BEFM是平行四边形，再结合两个四边形的面积关系推导出对应高的数量关系，进而得到线段AP和AD的比例。
【解析】
(1) 证明：
∵ EF//AB，PM//AC，
∴ 四边形PFAM为平行四边形。
∵ AD是∠BAC的平分线，
∴ ∠CAD=∠BAD。
∵ EF//AB，
∴ ∠BAD=∠FPA（两直线平行，内错角相等），
∴ ∠CAD=∠FPA，
∴ FA=FP（等角对等边），
∴ 平行四边形PFAM为菱形。
(2) $AP=\frac{2}{3}AD$，证明如下：
过点F作FH⊥BC于点H，设MF与AD交于点G。
由(1)知四边形PFAM为菱形，
∴ AD⊥MF，AP=2GP。
∵ AB=AC，AD是∠BAC的平分线，
∴ AD⊥BC（等腰三角形三线合一），
∴ MF//BC。
又
∵ EF//AB，
∴ 四边形BEFM为平行四边形。
菱形PFAM的面积：$S_{四边形PFAM}=\frac{1}{2}MF·AP = MF·GP$，
平行四边形BEFM的面积：$S_{四边形BEFM}=MF·FH$。
当$S_{四边形PFAM}=\frac{1}{2}S_{四边形BEFM}$时，代入得$MF·GP = \frac{1}{2} · MF·FH$，化简得$GP=\frac{1}{2}FH$。
易得GD=FH（平行线间距离相等），
∴ $GP=\frac{1}{2}GD$，即GD=2GP，
结合菱形性质可得AG=GP，
∴ AG=GP=PD，
∴ $AP=\frac{2}{3}AD$。
【答案】
(1) 四边形PFAM为菱形，证明成立；
(2) $AP=\frac{2}{3}AD$
【知识点】
菱形的判定与性质；平行四边形的判定与性质；等腰三角形的性质
【点评】
本题综合考查了特殊四边形和等腰三角形的相关知识，解题时需要灵活运用平行线的性质完成等角、等线段的转换，结合面积关系推导线段比例，对逻辑推理能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
