1. 若$|a-1|$与$|b-2|$互为相反数，则$a+b$的值为（）

A.3
B.-3
C.0
D.3或-3

(1)( $\boldsymbol{2}$ )个完全一样的梯形拼成一个( $\boldsymbol{平行四边形}$ )，则梯形的面积=拼成的平行四边形的面积÷( $\boldsymbol{2}$ )。
(2) 观察所拼图形，原来梯形上底与下底的和=平行四边形的( $\boldsymbol{底}$ )，所以梯形的面积=( $\boldsymbol{上底与下底的和}$ )×( $\boldsymbol{高}$ )÷2。用S、a、b、h分别表示梯形的面积、上底、下底和高，梯形的面积公式可以写成( $\boldsymbol{S=(a+b)× h÷2}$ )。

【分析】
解题时先回忆两个核心知识点：一是互为相反数的两个数的和为0，二是任意数的绝对值都具有非负性（即绝对值≥0）。第一步先根据相反数的性质列出等式，第二步结合绝对值的非负性推导得两个绝对值分别为0，进而求出a、b的值，最后代入计算a+b即可。
【解析】
解：
∵ $|a-1|$与$|b-2|$互为相反数
∴ $|a-1| + |b-2| = 0$
又
∵ 绝对值具有非负性，可得$|a-1|≥0$，$|b-2|≥0$
两个非负数的和为0，则每个非负数都为0
∴ $a-1=0$，$b-2=0$
解得$a=1$，$b=2$
∴ $a+b=1+2=3$
故选：A
【答案】
A
【知识点】
相反数的性质；绝对值的非负性
【点评】
本题是绝对值非负性的典型应用考题，解题的突破口是掌握“若干个非负数的和为0，则每个非负数均为0”的规律，掌握该规律后解题非常简便。
【难度系数】
0.8

2. (1)当$x=$时，$|3-x|+5$有最小值，最小值为.
(2)当$x=$时，$9-\left|x+\dfrac{1}{2}\right|$有最大值，最大值为.
(3)已知$x,y$均为有理数，且满足$|2x+y|+4m=12$，则$m$的最大值应为.

(1)3 5 解析:当$3-x=0$,即$x=3$时,$|3-x|+5$有最小值,最小值为$0+5=5$.
(2)$-\dfrac{1}{2}$ 9 解析:当$x+\dfrac{1}{2}=0$,即$x=-\dfrac{1}{2}$时,$9-\left|x+\dfrac{1}{2}\right|$有最大值,最大值为$9-0=9$.
(3)3 解析:因为$|2x+y|+4m=12$,所以当$|2x+y|$最小时,$4m$最大,而$|2x+y|$的最小值为0,此时$4m=12$,解得$m=3$.

【分析】
解决这类问题的核心是利用绝对值的非负性：任意有理数的绝对值都大于等于0，即$\vert a\vert≥0$。
(1) 求$\vert3-x\vert+5$的最小值时，因为常数项5固定，所以只要让$\vert3-x\vert$取最小值0即可，令绝对值内的式子为0就能算出对应x的值，代入即得最小值。
(2) 求$9-\left|x+\dfrac{1}{2}\right|$的最大值时，被减数9固定，所以只要让减去的$\left|x+\dfrac{1}{2}\right|$取最小值0即可，令绝对值内的式子为0算出x，代入即得最大值。
(3) 先把原式变形为$4m=12-\vert2x+y\vert$，要让m最大，就要让$4m$最大，也就是减去的$\vert2x+y\vert$取最小值0，代入即可算出m的最大值。
【解析】
(1) 由绝对值的非负性得$\vert3-x\vert≥0$，当$\vert3-x\vert=0$时，$\vert3-x\vert+5$有最小值。
令$3-x=0$，解得$x=3$，此时最小值为$0+5=5$。
(2) 由绝对值的非负性得$\left|x+\dfrac{1}{2}\right|≥0$，当$\left|x+\dfrac{1}{2}\right|=0$时，$9-\left|x+\dfrac{1}{2}\right|$有最大值。
令$x+\dfrac{1}{2}=0$，解得$x=-\dfrac{1}{2}$，此时最大值为$9-0=9$。
(3) 对原式变形得$4m=12-\vert2x+y\vert$，由绝对值的非负性得$\vert2x+y\vert≥0$，当$\vert2x+y\vert=0$时，$4m$的值最大，即m最大。
将$\vert2x+y\vert=0$代入得$4m=12$，解得$m=3$。
【答案】
(1)3，5；(2)$-\dfrac{1}{2}$，9；(3)3
【知识点】
1. 绝对值的非负性 2. 代数式最值计算
【点评】
本题主要考查绝对值性质在代数式最值问题中的应用，解题关键是牢记绝对值的最小值为0，再结合式子的运算结构判断取最值的条件，掌握绝对值性质即可快速求解。
【难度系数】
0.8

3. 若a表示一个有理数，且有$|-3 - a| = 3 + |a|$，则a应该是（）

A.任意一个有理数
B.任意一个正数
C.任意一个负数
D.任意一个非负数

D 解析:因为$|-3-a|=3+|a|$,所以$|3+a|=3+|a|$,所以$a≥0$,故$a$为非负数.

【分析】
遇到含绝对值的等式问题，首先可利用绝对值的性质化简等式中的绝对值表达式。本题先将左边的$|-3-a|$变形为$|a+3|$，等式转化为$|a+3|=|a|+3$。接下来可以用两种思路推导：一是回忆绝对值的运算性质，两个数和的绝对值等于两个数绝对值的和时，说明这两个数同号或至少有一个为0，本题中与a相加的3是正数，因此a需为非负数；二是通过分$a＞0$、$a=0$、$a＜0$三种情况逐一验证，排除不符合的情况，最终确定a的取值范围。
【解析】
1. 化简左侧绝对值：根据绝对值的性质$|-x|=|x|$，可得$|-3-a|=|-(3+a)|=|3+a|$，因此原等式转化为$|a+3|=3+|a|$。
2. 分情况验证等式是否成立：
当$a＞0$时：左边$|a+3|=a+3$，右边$3+|a|=3+a$，左边=右边，等式成立；
当$a=0$时：左边$|0+3|=3$，右边$3+|0|=3$，左边=右边，等式成立；
当$a＜0$时：举例如$a=-1$，左边$|-1+3|=2$，右边$3+|-1|=4$，$2≠4$，等式不成立。
综上，只有$a≥0$（即a为非负数）时等式成立，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
绝对值的性质；绝对值化简；分类讨论思想
【点评】
本题是绝对值章节的典型题型，既可以通过绝对值和的等号成立条件快速推导，也可以通过分类讨论逐一验证，能够有效考查学生对绝对值化简规则的掌握程度。
【难度系数】
0.7

4. 已知$m,n,p$都是整数，且$|m-n|+|p-m|=1$，则$p-n=$.

48×2÷(12+4)
=96÷16
=6(米)
答：这条灌溉渠深6米。

5. 不相等的有理数$a,b,c$在数轴上的对应点分别是$A,B,C$,若$|a - b| + |b - c| = |a - c|$,则点$B$ ()

A.在点$A,C$的左边
B.在点$A,C$的右边
C.在点$A,C$之间
D.可能在任何位置

9×2÷3=6（米）
(5+8)×6÷2=39（平方米）
答：原来这个梯形花圃的面积是39平方米。

6. 改编题 我们知道$|x|$的几何意义是:数轴上表示$x$的点到原点的距离,即$|x|=|x-0|$.这个结论可以推广为$|a-b|$表示$a,b$两数在数轴上所对应的两点之间的距离.
根据以上结论探究:
(1)$|5-2|$表示5与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离,所以$|5-2|=$;
$|5-(-2)|$表示5与-2两数在数轴上所对应的两点之间的距离,所以$|5-(-2)|=$.
(2)数轴上表示数$x$的点在1与5之间移动时,$|x-1|+|x-5|$的值是一个固定的值,为.
(3)$|x-(-1)|$可理解为$x$与两数在数轴上所对应的两点之间的距离.若$|x-3|+|x-(-2)|=7$,则$x=$.
(4)当式子$|x-(-1)|+|x-2|+|x-3|$取最小值时,求出$x$的值.
(5)$|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|+|x-5|$的最小值是多少?
(6)$|x-1|+|x-2|+|x-3|+\dots+|x-100|$的最小值为,此时$x$的取值范围是.

(1)3 7 解析:表示5与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离为3,所以$|5-2|=3$;表示5与-2两数在数轴上所对应的两点之间的距离为$5+2=7$,所以$|5-(-2)|=7$.
(2)4 解析:$|x-1|$表示$x$与1两数在数轴上所对应的两点之间的距离,$|x-5|$表示$x$与5两数在数轴上所对应的两点之间的距离,所以数轴上表示数$x$的点在1与5之间移动时,$|x-1|+|x-5|$表示1与5两数在数轴上所对应的两点之间的距离,为4.
(3)-1 -3或4 解析:$|x-(-1)|$可理解为$x$与-1两数在数轴上所对应的两点之间的距离;$|x-3|+|x-(-2)|=7$可理解为数轴上$x$到3和-2两点的距离之和等于7,画出数轴即可求解.
(4)根据$|x-(-1)|+|x-2|+|x-3|$的几何意义,可得$|x-(-1)|+|x-2|+|x-3|$表示$x$到数轴上$-1,2,3$三个数的距离之和,当$x=2$时,$|x-(-1)|+|x-2|+|x-3|$有最小值.
(5)$|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|+|x-5|=(|x-1|+|x-5|)+|x-3|+(|x-4|+|x-2|)$,上式的最小值即为$x$对应的点到1与5对应的点,到2与4对应的点和到3对应的点这三部分距离之和的最小值,如图所示.
借助数轴分析可得,当$x=3$时,这三部分距离之和最小,其最小值为6.
(6)2500 $50≤x≤51$ 解析:求该式的最小值,可转化为在数轴上找一个点到$1,2,3,\dots,100$对应的点的距离之和最小,故当$50≤x≤51$时,距离之和最小,可取$x=50$,则此时距离和为$49+48+\dots+0+1+2+\dots+48+49+50=2×(1+2+3+\dots+49)+50=2500$.

【分析】
本题围绕绝对值的几何意义设计，解题核心是理解$\vert a-b\vert$表示数轴上数$a$、$b$对应两点的距离，将抽象的绝对值运算转化为直观的数轴距离问题求解：
1. 第(1)问直接根据两点距离的定义，计算数轴上两个已知点的距离即可；
2. 第(2)问当$x$在1和5之间时，$x$到1的距离与到5的距离之和，恰好等于1到5的固定距离，直接计算即可；
3. 第(3)问先明确$\vert x-(-1)\vert$的含义是$x$到-1的距离；求解$\vert x-3\vert+\vert x+2\vert=7$时，先判断3和-2的距离为5，小于7，说明$x$不在-2和3之间，分$x＜-2$和$x＞3$两种情况计算即可；
4. 第(4)问求到三个点的距离和最小值，规律是当$x$取三个数的中间值时，距离和最小；
5. 第(5)问是奇数个点的距离和最值，当$x$取最中间的点时，距离和最小，分组计算即可；
6. 第(6)问是偶数个点的距离和最值，当$x$取中间两个点之间的范围时，距离和最小，再按照等差数列求和计算总距离即可。
【解析】
(1) 数轴上5和2的距离是$5-2=3$，所以$\vert5-2\vert=3$；数轴上5和-2的距离是$5-(-2)=7$，所以$\vert5-(-2)\vert=7$。
(2) $\vert x-1\vert$是$x$到1的距离，$\vert x-5\vert$是$x$到5的距离，当$x$在1和5之间时，两个距离之和就是1到5的距离：$5-1=4$，所以固定值为4。
(3) 根据定义，$\vert x-(-1)\vert$是$x$和-1的距离；
求解$\vert x-3\vert+\vert x+2\vert=7$：数轴上3和-2的距离为$3-(-2)=5＜7$，说明$x$在-2左侧或3右侧：
① 若$x＜-2$，则$\vert x-3\vert=3-x$，$\vert x+2\vert=-x-2$，代入得$3-x-x-2=7$，解得$x=-3$；
② 若$x＞3$，则$\vert x-3\vert=x-3$，$\vert x+2\vert=x+2$，代入得$x-3+x+2=7$，解得$x=4$；
所以$x=-3$或4。
(4) $\vert x+1\vert+\vert x-2\vert+\vert x-3\vert$表示$x$到-1、2、3三个点的距离之和，当$x$取三个数的中间值2时，距离和最小，所以$x=2$。
(5) 把式子分组：$\vert x-1\vert+\vert x-2\vert+\vert x-3\vert+\vert x-4\vert+\vert x-5\vert=(\vert x-1\vert+\vert x-5\vert)+(\vert x-2\vert+\vert x-4\vert)+\vert x-3\vert$，当$x=3$时：
$\vert x-1\vert+\vert x-5\vert=5-1=4$，$\vert x-2\vert+\vert x-4\vert=4-2=2$，$\vert x-3\vert=0$，总和为$4+2+0=6$，所以最小值是6。
(6) 1到100共100个点，为偶数个，当$x$在第50个点50和第51个点51之间（即$50≤x≤51$）时，距离和最小；
取$x=50$计算：距离和为$49+48+\dots+0+1+2+\dots+50=2×(1+2+\dots+49)+50=2×\frac{49×50}{2}+50=2450+50=2500$，所以最小值为2500，$x$的取值范围是$50≤x≤51$。
【答案】
(1) $\boxed{3}$；$\boxed{7}$
(2) $\boxed{4}$
(3) $\boxed{-1}$；$\boxed{-3或4}$
(4) $\boxed{x=2}$
(5) 最小值是$\boxed{6}$
(6) $\boxed{2500}$；$\boxed{50≤x≤51}$
【知识点】
1. 绝对值的几何意义
2. 数轴两点距离计算
3. 绝对值最值求解
【点评】
本题结合数轴考查绝对值的应用，渗透数形结合思想，从基础的两点距离计算逐步递进至多绝对值求和的最值问题，需要学生掌握从特殊到一般的规律总结方法，利用几何意义求解比代数计算更简便。
【难度系数】
0.5