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活动背景
在学习数学的过程中,我们常常会接触到不同的进位制.最常用的是十进制,而计算机内部使用的则是二进制.进位制的不同,既影响数的表示方式,也影响数的计算方法.通过对进位制的探讨,我们可以更深入地理解数的构成及其运算特点.
材料一:进位制是一种记数方式,可以用有限的数字符号代表所有的数值.可使用数字符号的数目称为基数,基数为$ n $,即可称$ n $进位制,简称$ n $进制.对于任意一个用$ n $进位制表示的数,通常使用$ n $个阿拉伯数字$ 0 ∼ (n-1) $进行记数,特点是逢$ n $进一.现在我们通常用的是十进制数(十进制数不用标角标,其他要标角标);如:十进制数$ 234 = 2 × 10^2 + 3 × 10^1 + 4 × 10^0 $,记作:$ 234 $;七进制数$ (123)_7 = 1 × 7^2 + 2 × 7^1 + 3 × 7^0 $,记作:$ (123)_7 $.
材料二:各进制之间可以进行转化,如:七进制转化成十进制,只要将七进制数的每个数字,依次乘7的正整数次幂,然后求和,就可得到与它相等的十进制数(规定当$ a ≠ 0 $时,$ a^0 = 1 $),如:$ (123)_7 = 1 × 7^2 + 2 × 7^1 + 3 × 7^0 = 66 $,即$ (123)_7 = 66 $.将十进制数化为与其相等的七进制数,可用7去除,把每一位数字的余数从低位到高位排序即可.如:
所以$ 66 = (123)_7 $ 所以$ 5 = (101)_2 $
任务一:
(1)将七进制数$ (243)_7 $转化成十进制的数为________.
(2)将十进制数22转化成二进制的数为________.
(3)将二进制数“$ (01001001)_2 $”转化成十进制的数为________.
任务二:
(4)在我国古书《易经》中有“上古结绳而治”的记载,它指“结绳记事”或“结绳记数”.如图,一远古牧人在从右到左依次排列的绳子上打结,满6进1,用来记录他所放牧的羊的只数,则他所放牧的羊有________只.
任务三:
(5)运用进制数的加法运算法则,计算$ (10010)_2 + (102)_8 $(结果用十进制数表示),并说明计算的思想方法.
在学习数学的过程中,我们常常会接触到不同的进位制.最常用的是十进制,而计算机内部使用的则是二进制.进位制的不同,既影响数的表示方式,也影响数的计算方法.通过对进位制的探讨,我们可以更深入地理解数的构成及其运算特点.
材料一:进位制是一种记数方式,可以用有限的数字符号代表所有的数值.可使用数字符号的数目称为基数,基数为$ n $,即可称$ n $进位制,简称$ n $进制.对于任意一个用$ n $进位制表示的数,通常使用$ n $个阿拉伯数字$ 0 ∼ (n-1) $进行记数,特点是逢$ n $进一.现在我们通常用的是十进制数(十进制数不用标角标,其他要标角标);如:十进制数$ 234 = 2 × 10^2 + 3 × 10^1 + 4 × 10^0 $,记作:$ 234 $;七进制数$ (123)_7 = 1 × 7^2 + 2 × 7^1 + 3 × 7^0 $,记作:$ (123)_7 $.
材料二:各进制之间可以进行转化,如:七进制转化成十进制,只要将七进制数的每个数字,依次乘7的正整数次幂,然后求和,就可得到与它相等的十进制数(规定当$ a ≠ 0 $时,$ a^0 = 1 $),如:$ (123)_7 = 1 × 7^2 + 2 × 7^1 + 3 × 7^0 = 66 $,即$ (123)_7 = 66 $.将十进制数化为与其相等的七进制数,可用7去除,把每一位数字的余数从低位到高位排序即可.如:
所以$ 66 = (123)_7 $ 所以$ 5 = (101)_2 $
任务一:
(1)将七进制数$ (243)_7 $转化成十进制的数为________.
(2)将十进制数22转化成二进制的数为________.
(3)将二进制数“$ (01001001)_2 $”转化成十进制的数为________.
任务二:
(4)在我国古书《易经》中有“上古结绳而治”的记载,它指“结绳记事”或“结绳记数”.如图,一远古牧人在从右到左依次排列的绳子上打结,满6进1,用来记录他所放牧的羊的只数,则他所放牧的羊有________只.
任务三:
(5)运用进制数的加法运算法则,计算$ (10010)_2 + (102)_8 $(结果用十进制数表示),并说明计算的思想方法.
答案
(1)129 解析:根据题意,得$(243)_7 = 2×7^2 + 4×7^1 + 3×7^0 = 98+28+3 = 129$.
(2)$(10110)_2$ 解析:根据题意,得$22=(10110)_2$.
(3)73 解析:由二进制和十进制的互换规则,得$(01001001)_2 = 0×2^7 + 1×2^6 + 0×2^5 + 0×2^4 + 1×2^3 + 0×2^2 + 0×2^1 + 1×2^0 = 73$.
(4)310 解析:根据题意,得$1×6^3 + 2×6^2 + 3×6^1 + 4×6^0 = 310$(只).
(5)因为$(10010)_2 = 1×2^4 + 0×2^3 + 0×2^2 + 1×2^1 + 0×2^0 = 16+0+0+2+0 = 18$,$(102)_8 = 1×8^2 + 0×8^1 + 2×8^0 = 64+0+2 = 66$,所以$(10010)_2 + (102)_8 = 18+66 = 84$.
方法:运用转化与化归的思想方法,将不同进制数统一成十进制数之后,按十进制数的计算方法解决问题.
解析
【分析】
解决进位制相关问题，核心是掌握两类转换规则：①其他进制转十进制：将每一位数字乘对应基数的幂次（从右往左，最低位对应基数的0次幂，越往左幂次越高），再求和即可；②十进制转其他进制：用十进制数反复除以目标进制的基数，记录每次的余数，直到商为0，将余数倒序排列就是目标进制数。不同进制的运算问题，先统一转换为十进制再计算即可。
(1)七进制转十进制，按规则逐位乘7的对应幂次求和；
(2)十进制转二进制，用除2取余倒序法计算；
(3)二进制转十进制，按规则逐位乘2的对应幂次求和；
(4)满6进1即六进制，按六进制转十进制的规则计算；
(5)先将二进制、八进制数都转为十进制，再按十进制加法计算，用到转化化归思想。
【解析】
(1)根据七进制转十进制的规则：
$\begin{split}(243)_7 &= 2×7^2 + 4×7^1 + 3×7^0 \\&= 2×49 + 4×7 + 3×1 \\&= 98 + 28 + 3 = 129\end{split}$
(2)将十进制22转二进制，用除2取余倒序法：
将余数从高位到低位倒序排列，可得$22=(10110)_2$
(3)根据二进制转十进制的规则：
$\begin{split}(01001001)_2 &= 0×2^7 + 1×2^6 + 0×2^5 + 0×2^4 + 1×2^3 + 0×2^2 + 0×2^1 + 1×2^0 \\&= 0 + 64 + 0 + 0 + 8 + 0 + 0 +1 =73\end{split}$
(4)由题意“满6进1”可知是六进制计数，从右到左依次对应$6^0$、$6^1$、$6^2$、$6^3$位，对应数字分别为4、3、2、1：
$\begin{split}\mathrm{总羊数} &= 1×6^3 + 2×6^2 +3×6^1 +4×6^0 \\&= 1×216 +2×36 +3×6 +4×1 \\&=216+72+18+4=310\end{split}$
(5)先分别将两个不同进制的数转换为十进制数：
$\begin{split}(10010)_2 &= 1×2^4 + 0×2^3 + 0×2^2 +1×2^1 +0×2^0 \\&=16+0+0+2+0=18\end{split}$
$\begin{split}(102)_8 &= 1×8^2 +0×8^1 +2×8^0 \\&=64+0+2=66\end{split}$
再按十进制加法计算：$18+66=84$
思想方法：运用转化与化归的思想，将不同进制的数统一转换为十进制数后，再按十进制的计算规则求解。
【答案】
(1)129
(2)$(10110)_2$
(3)73
(4)310
(5)84，运用转化与化归的思想方法，将不同进制数统一成十进制数之后，按十进制数的计算方法解决问题。
【知识点】
进制转换、乘方运算、化归思想
【点评】
本题结合数学新概念、传统文化素材出题，既考查对新定义的理解应用能力，也考查有理数运算能力，同时渗透了转化化归的数学思想，题目设置由浅入深，兼具趣味性和实用性。
【难度系数】
0.7
解决进位制相关问题，核心是掌握两类转换规则：①其他进制转十进制：将每一位数字乘对应基数的幂次（从右往左，最低位对应基数的0次幂，越往左幂次越高），再求和即可；②十进制转其他进制：用十进制数反复除以目标进制的基数，记录每次的余数，直到商为0，将余数倒序排列就是目标进制数。不同进制的运算问题，先统一转换为十进制再计算即可。
(1)七进制转十进制，按规则逐位乘7的对应幂次求和；
(2)十进制转二进制，用除2取余倒序法计算；
(3)二进制转十进制，按规则逐位乘2的对应幂次求和；
(4)满6进1即六进制，按六进制转十进制的规则计算；
(5)先将二进制、八进制数都转为十进制，再按十进制加法计算，用到转化化归思想。
【解析】
(1)根据七进制转十进制的规则：
$\begin{split}(243)_7 &= 2×7^2 + 4×7^1 + 3×7^0 \\&= 2×49 + 4×7 + 3×1 \\&= 98 + 28 + 3 = 129\end{split}$
(2)将十进制22转二进制，用除2取余倒序法：
将余数从高位到低位倒序排列，可得$22=(10110)_2$
(3)根据二进制转十进制的规则：
$\begin{split}(01001001)_2 &= 0×2^7 + 1×2^6 + 0×2^5 + 0×2^4 + 1×2^3 + 0×2^2 + 0×2^1 + 1×2^0 \\&= 0 + 64 + 0 + 0 + 8 + 0 + 0 +1 =73\end{split}$
(4)由题意“满6进1”可知是六进制计数，从右到左依次对应$6^0$、$6^1$、$6^2$、$6^3$位，对应数字分别为4、3、2、1：
$\begin{split}\mathrm{总羊数} &= 1×6^3 + 2×6^2 +3×6^1 +4×6^0 \\&= 1×216 +2×36 +3×6 +4×1 \\&=216+72+18+4=310\end{split}$
(5)先分别将两个不同进制的数转换为十进制数：
$\begin{split}(10010)_2 &= 1×2^4 + 0×2^3 + 0×2^2 +1×2^1 +0×2^0 \\&=16+0+0+2+0=18\end{split}$
$\begin{split}(102)_8 &= 1×8^2 +0×8^1 +2×8^0 \\&=64+0+2=66\end{split}$
再按十进制加法计算：$18+66=84$
思想方法：运用转化与化归的思想，将不同进制的数统一转换为十进制数后，再按十进制的计算规则求解。
【答案】
(1)129
(2)$(10110)_2$
(3)73
(4)310
(5)84，运用转化与化归的思想方法，将不同进制数统一成十进制数之后，按十进制数的计算方法解决问题。
【知识点】
进制转换、乘方运算、化归思想
【点评】
本题结合数学新概念、传统文化素材出题，既考查对新定义的理解应用能力，也考查有理数运算能力，同时渗透了转化化归的数学思想，题目设置由浅入深，兼具趣味性和实用性。
【难度系数】
0.7
