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7.如图，将$□ ABCD$沿对角线AC折叠，使点B落在点$B'$处.若$∠ 1=∠ 2=44°$,则$∠ B$为（
A.$66°$
B.$104°$
C.$114°$
D.$124°$
C
）A.$66°$
B.$104°$
C.$114°$
D.$124°$
答案
7.C
解析
【分析】
解题时先结合平行四边形对边平行的性质，得到内错角∠BAC=∠ACD；再根据折叠前后对应角相等，推出∠B'AC=∠BAC，因此∠B'AC=∠ACD；结合三角形外角的性质，∠1等于∠B'AC与∠ACD的和，即可求出∠BAC的度数；最后在△ABC中利用三角形内角和为180°，就能算出∠B的度数。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD，
∴∠BAC = ∠ACD（两直线平行，内错角相等）。
由折叠的性质可得：∠B'AC = ∠BAC，
∴∠B'AC = ∠ACD。
∵∠1是三角形的外角，
∴∠1 = ∠B'AC + ∠ACD = 2∠BAC，
已知∠1=44°，代入得∠BAC = 44°÷2 = 22°。
在△ABC中，根据三角形内角和为180°，
∴∠B = 180° - ∠BAC - ∠2 = 180° - 22° - 44° = 114°。
【答案】
C
【知识点】
平行四边形的性质，折叠的性质，三角形内角和定理
【点评】
本题是几何基础综合题，需要熟练掌握平行四边形、折叠变换的性质，以及三角形内角和、外角的相关结论，解题的突破口是通过平行和折叠的性质推导出∠BAC的度数。
【难度系数】
0.7
解题时先结合平行四边形对边平行的性质，得到内错角∠BAC=∠ACD；再根据折叠前后对应角相等，推出∠B'AC=∠BAC，因此∠B'AC=∠ACD；结合三角形外角的性质，∠1等于∠B'AC与∠ACD的和，即可求出∠BAC的度数；最后在△ABC中利用三角形内角和为180°，就能算出∠B的度数。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD，
∴∠BAC = ∠ACD（两直线平行，内错角相等）。
由折叠的性质可得：∠B'AC = ∠BAC，
∴∠B'AC = ∠ACD。
∵∠1是三角形的外角，
∴∠1 = ∠B'AC + ∠ACD = 2∠BAC，
已知∠1=44°，代入得∠BAC = 44°÷2 = 22°。
在△ABC中，根据三角形内角和为180°，
∴∠B = 180° - ∠BAC - ∠2 = 180° - 22° - 44° = 114°。
【答案】
C
【知识点】
平行四边形的性质，折叠的性质，三角形内角和定理
【点评】
本题是几何基础综合题，需要熟练掌握平行四边形、折叠变换的性质，以及三角形内角和、外角的相关结论，解题的突破口是通过平行和折叠的性质推导出∠BAC的度数。
【难度系数】
0.7
8.已知菱形的周长为8,两邻角的度数比为1:2,则菱形的面积为 （
A.$8\sqrt{3}$
B.8
C.$4\sqrt{3}$
D.$2\sqrt{3}$
D
）A.$8\sqrt{3}$
B.8
C.$4\sqrt{3}$
D.$2\sqrt{3}$
答案
8.D
解析
【分析】
解题时可按以下思路推导：首先，根据菱形四条边相等的性质，结合给出的周长可先算出菱形的边长；其次，菱形的邻角互补，结合两邻角的度数比就能求出较小内角的度数；最后求菱形面积，选择“底×高”的公式计算，底为已求出的边长，通过作高构造含特殊角的直角三角形，利用勾股定理求出高，代入公式即可得到面积。
【解析】
解：
∵ 菱形的四条边长度相等，周长为8
∴ 菱形的边长 = 8÷4 = 2
∵ 菱形的邻角之和为180°，两邻角度数比为1:2
∴ 较小的内角度数 = $180°×\frac{1}{1+2}=60°$
过菱形的一个顶点向对边作高，得到一个直角三角形：
该直角三角形的斜边为菱形的边长2，其中一个锐角为60°，则另一个锐角为30°
根据“直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半”，可得30°角对的直角边长为$2÷2=1$
由勾股定理可求出高$h=\sqrt{2^2 - 1^2}=\sqrt{3}$
∴ 菱形的面积 = 底×高 = $2×\sqrt{3}=2\sqrt{3}$
故选D。
【答案】
D
【知识点】
菱形的性质；菱形面积计算；勾股定理的应用
【点评】
本题属于基础几何计算题，核心考察菱形基本性质的应用，解题关键是利用周长求边长、结合邻角关系得到特殊内角度数，再通过构造直角三角形求出高，进而计算面积，只要熟练掌握相关基础知识点就能顺利求解。
【难度系数】
0.7
解题时可按以下思路推导：首先，根据菱形四条边相等的性质，结合给出的周长可先算出菱形的边长；其次，菱形的邻角互补，结合两邻角的度数比就能求出较小内角的度数；最后求菱形面积，选择“底×高”的公式计算，底为已求出的边长，通过作高构造含特殊角的直角三角形，利用勾股定理求出高，代入公式即可得到面积。
【解析】
解：
∵ 菱形的四条边长度相等，周长为8
∴ 菱形的边长 = 8÷4 = 2
∵ 菱形的邻角之和为180°，两邻角度数比为1:2
∴ 较小的内角度数 = $180°×\frac{1}{1+2}=60°$
过菱形的一个顶点向对边作高，得到一个直角三角形：
该直角三角形的斜边为菱形的边长2，其中一个锐角为60°，则另一个锐角为30°
根据“直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半”，可得30°角对的直角边长为$2÷2=1$
由勾股定理可求出高$h=\sqrt{2^2 - 1^2}=\sqrt{3}$
∴ 菱形的面积 = 底×高 = $2×\sqrt{3}=2\sqrt{3}$
故选D。
【答案】
D
【知识点】
菱形的性质；菱形面积计算；勾股定理的应用
【点评】
本题属于基础几何计算题，核心考察菱形基本性质的应用，解题关键是利用周长求边长、结合邻角关系得到特殊内角度数，再通过构造直角三角形求出高，进而计算面积，只要熟练掌握相关基础知识点就能顺利求解。
【难度系数】
0.7
9.如图,在平面直角坐标系中,直线$y=-3x+3$与坐标轴分别交于A,B两点,以线段AB为边,在第一象限内作正方形ABCD,将正方形ABCD沿x轴负方向平移a个单位长度,使点D恰好落在直线$y=3x-2$上,则a的值为 (
A.1
B.2
C.-1
D.-1.5
(第9题图)
(第10题图)
(第11题图)
A
)A.1
B.2
C.-1
D.-1.5
(第9题图)
(第10题图)
(第11题图)
答案
9.A
解析
【分析】
解题思路如下：第一步先求出直线$y=-3x+3$与坐标轴的交点A、B的坐标；第二步通过构造全等三角形，结合正方形的性质求出顶点D的坐标；第三步根据平移规律得到平移后点D的坐标，最后将平移后的坐标代入直线$y=3x-2$列方程，即可求出a的值。
【解析】
1. 求A、B两点坐标：
对于直线$y=-3x+3$，
当$x=0$时，$y=3$，即$A(0,3)$；
当$y=0$时，$-3x+3=0$，解得$x=1$，即$B(1,0)$。
2. 求点D的坐标：
过点D作$DE⊥ y$轴于点E，
∵四边形ABCD是正方形，
∴$AD=AB$，$∠ DAB=90°$，
∴$∠ DAE+∠ OAB=90°$，
又
∵$∠ OAB+∠ OBA=90°$，
∴$∠ DAE=∠ OBA$。
在$△ ADE$和$△ BAO$中：
$\begin{cases}∠ DEA=∠ AOB=90°\\∠ DAE=∠ OBA\\AD=BA\end{cases}$
∴$△ ADE≌△ BAO(\mathrm{AAS})$，
∴$DE=AO=3$，$AE=BO=1$，
∴$OE=OA+AE=3+1=4$，即点D坐标为$(3,4)$。
3. 求a的值：
正方形沿x轴负方向平移a个单位后，点D的对应点坐标为$(3-a,4)$，
∵该点落在直线$y=3x-2$上，代入得：
$4=3(3-a)-2$，
解得：$4=9-3a-2$，$3a=3$，$a=1$。
【答案】
A
【知识点】
一次函数的应用，正方形的性质，全等三角形的判定与性质
【点评】
本题属于一次函数与几何图形的综合题，解题核心是准确求出正方形顶点D的坐标，再结合平移性质列方程求解，是中高频考点题型。
【难度系数】
0.65
解题思路如下：第一步先求出直线$y=-3x+3$与坐标轴的交点A、B的坐标；第二步通过构造全等三角形，结合正方形的性质求出顶点D的坐标；第三步根据平移规律得到平移后点D的坐标，最后将平移后的坐标代入直线$y=3x-2$列方程，即可求出a的值。
【解析】
1. 求A、B两点坐标：
对于直线$y=-3x+3$，
当$x=0$时，$y=3$，即$A(0,3)$；
当$y=0$时，$-3x+3=0$，解得$x=1$，即$B(1,0)$。
2. 求点D的坐标：
过点D作$DE⊥ y$轴于点E，
∵四边形ABCD是正方形，
∴$AD=AB$，$∠ DAB=90°$，
∴$∠ DAE+∠ OAB=90°$，
又
∵$∠ OAB+∠ OBA=90°$，
∴$∠ DAE=∠ OBA$。
在$△ ADE$和$△ BAO$中：
$\begin{cases}∠ DEA=∠ AOB=90°\\∠ DAE=∠ OBA\\AD=BA\end{cases}$
∴$△ ADE≌△ BAO(\mathrm{AAS})$，
∴$DE=AO=3$，$AE=BO=1$，
∴$OE=OA+AE=3+1=4$，即点D坐标为$(3,4)$。
3. 求a的值：
正方形沿x轴负方向平移a个单位后，点D的对应点坐标为$(3-a,4)$，
∵该点落在直线$y=3x-2$上，代入得：
$4=3(3-a)-2$，
解得：$4=9-3a-2$，$3a=3$，$a=1$。
【答案】
A
【知识点】
一次函数的应用，正方形的性质，全等三角形的判定与性质
【点评】
本题属于一次函数与几何图形的综合题，解题核心是准确求出正方形顶点D的坐标，再结合平移性质列方程求解，是中高频考点题型。
【难度系数】
0.65
10.如图，P是面积为S的$□ ABCD$内任意一点，$△ PAD$的面积为$S_1$，$△ PBC$的面积为$S_2$，则 （
A.$S_1+S_2＞\dfrac{S}{2}$
B.$S_1+S_2＜\dfrac{S}{2}$
C.$S_1+S_2=\dfrac{S}{2}$
D.$S_1+S_2$的大小与P点位置有关
C
）A.$S_1+S_2＞\dfrac{S}{2}$
B.$S_1+S_2＜\dfrac{S}{2}$
C.$S_1+S_2=\dfrac{S}{2}$
D.$S_1+S_2$的大小与P点位置有关
答案
10.C
解析
【分析】
解题时可结合平行四边形对边相等、对边平行的性质，以及三角形面积公式推导：首先△PAD的底AD和△PBC的底BC是平行四边形的一组对边，长度相等；过点P作AD和BC的垂线，得到两个三角形对应底边上的高，两个高的和恰好等于平行四边形AD边上的高，将两个三角形的面积相加，即可和整个平行四边形的面积建立等量关系。
【解析】
过点P作EF⊥AD，垂足为E，延长EP交BC于点F。
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AD//BC，
∴EF⊥BC，即PE是△PAD的高，PF是△PBC的高，平行四边形AD边上的高为$EF=PE+PF$。
设$PE=h_1$，$PF=h_2$，
则平行四边形面积$S = AD · EF = AD(h_1+h_2)$，
$△ PAD$的面积$S_1 = \frac{1}{2}AD · h_1$，
$△ PBC$的面积$S_2 = \frac{1}{2}BC · h_2 = \frac{1}{2}AD · h_2$（$BC=AD$），
∴$S_1 + S_2 = \frac{1}{2}AD · h_1 + \frac{1}{2}AD · h_2 = \frac{1}{2}AD(h_1+h_2) = \frac{S}{2}$，
该结果与P点位置无关。
【答案】
C
【知识点】
平行四边形的性质，三角形面积计算
【点评】
本题是平行四边形中面积关系的典型题型，核心是通过作辅助线找到两个三角形的高之和与平行四边形高的等量关系，无需确定P点的具体位置即可推导得到固定的面积关系，解题时注意利用平行四边形对边平行且相等的性质简化计算。
【难度系数】
0.7
解题时可结合平行四边形对边相等、对边平行的性质，以及三角形面积公式推导：首先△PAD的底AD和△PBC的底BC是平行四边形的一组对边，长度相等；过点P作AD和BC的垂线，得到两个三角形对应底边上的高，两个高的和恰好等于平行四边形AD边上的高，将两个三角形的面积相加，即可和整个平行四边形的面积建立等量关系。
【解析】
过点P作EF⊥AD，垂足为E，延长EP交BC于点F。
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AD//BC，
∴EF⊥BC，即PE是△PAD的高，PF是△PBC的高，平行四边形AD边上的高为$EF=PE+PF$。
设$PE=h_1$，$PF=h_2$，
则平行四边形面积$S = AD · EF = AD(h_1+h_2)$，
$△ PAD$的面积$S_1 = \frac{1}{2}AD · h_1$，
$△ PBC$的面积$S_2 = \frac{1}{2}BC · h_2 = \frac{1}{2}AD · h_2$（$BC=AD$），
∴$S_1 + S_2 = \frac{1}{2}AD · h_1 + \frac{1}{2}AD · h_2 = \frac{1}{2}AD(h_1+h_2) = \frac{S}{2}$，
该结果与P点位置无关。
【答案】
C
【知识点】
平行四边形的性质，三角形面积计算
【点评】
本题是平行四边形中面积关系的典型题型，核心是通过作辅助线找到两个三角形的高之和与平行四边形高的等量关系，无需确定P点的具体位置即可推导得到固定的面积关系，解题时注意利用平行四边形对边平行且相等的性质简化计算。
【难度系数】
0.7
11.如图，O是菱形ABCD的对角线AC，BD的交点，E，F分别是OA，OC的中点.有下列结论：①$S_{△ ADE}=S_{△ EOD}$；②四边形BFDE是菱形；③四边形ABCD的面积为$EF× BD$；④$∠ ADE=∠ EDO$；⑤$△ DEF$是轴对称图形.其中正确的结论有（
A.5个
B.4个
C.3个
D.2个
B
）A.5个
B.4个
C.3个
D.2个
答案
11.B
解析
【分析】
解题时先回忆菱形的基本性质：对角线互相垂直且平分，菱形面积等于对角线乘积的一半，再结合中点的条件，逐个验证5个结论是否成立：①利用同高三角形面积和底的关系判断；②用对角线互相垂直平分的四边形是菱形判定；③结合EF和AC的长度关系，代入菱形面积公式判断；④结合角平分线的判定，判断DE是否为∠ADO的角平分线；⑤根据等腰三角形的轴对称性判断。
【解析】
已知四边形ABCD是菱形，因此AC⊥BD，OA=OC，OB=OD，菱形面积$S_{ABCD}=\frac{1}{2}AC· BD$。
∵E、F分别是OA、OC的中点，
∴$AE=OE=\frac{1}{2}OA$，$OF=FC=\frac{1}{2}OC$，即$AE=OE=OF=FC$。
1. 判断①：△ADE和△EOD的底AE=OE，两个三角形的高均为点D到AC的垂线段长度，同高的三角形面积比等于底的比，因此$S_{△ADE}=S_{△EOD}$，①正确。
2. 判断②：
∵OB=OD，OE=OF，且AC⊥BD，即四边形BFDE的对角线互相垂直平分，
∴四边形BFDE是菱形，②正确。
3. 判断③：$EF=OE+OF=\frac{1}{2}OA+\frac{1}{2}OC=\frac{1}{2}AC$，即$AC=2EF$，代入菱形面积公式得$S_{ABCD}=\frac{1}{2}×2EF× BD=EF× BD$，③正确。
4. 判断④：在△ADO中，DE是AO边上的中线，只有当AD=OD时DE才是∠ADO的角平分线，而菱形中AD为边长、OD是对角线BD的一半，二者不一定相等，因此∠ADE和∠EDO不一定相等，④错误。
5. 判断⑤：
∵AC⊥BD，OE=OF，
∴BD垂直平分EF，可得DE=DF，△DEF是等腰三角形，等腰三角形是轴对称图形，因此⑤正确。
综上，正确的结论有①②③⑤，共4个。
【答案】
B
【知识点】
菱形的性质与判定，三角形面积计算，轴对称图形
【点评】
本题综合考查了菱形相关性质、判定，三角形面积规律以及轴对称图形的识别，需要逐一分析每个结论，尤其注意只有特殊性质才成立的结论不能直接当作普遍结论使用，对基础知识的熟练度要求较高。
【难度系数】
0.6
解题时先回忆菱形的基本性质：对角线互相垂直且平分，菱形面积等于对角线乘积的一半，再结合中点的条件，逐个验证5个结论是否成立：①利用同高三角形面积和底的关系判断；②用对角线互相垂直平分的四边形是菱形判定；③结合EF和AC的长度关系，代入菱形面积公式判断；④结合角平分线的判定，判断DE是否为∠ADO的角平分线；⑤根据等腰三角形的轴对称性判断。
【解析】
已知四边形ABCD是菱形，因此AC⊥BD，OA=OC，OB=OD，菱形面积$S_{ABCD}=\frac{1}{2}AC· BD$。
∵E、F分别是OA、OC的中点，
∴$AE=OE=\frac{1}{2}OA$，$OF=FC=\frac{1}{2}OC$，即$AE=OE=OF=FC$。
1. 判断①：△ADE和△EOD的底AE=OE，两个三角形的高均为点D到AC的垂线段长度，同高的三角形面积比等于底的比，因此$S_{△ADE}=S_{△EOD}$，①正确。
2. 判断②：
∵OB=OD，OE=OF，且AC⊥BD，即四边形BFDE的对角线互相垂直平分，
∴四边形BFDE是菱形，②正确。
3. 判断③：$EF=OE+OF=\frac{1}{2}OA+\frac{1}{2}OC=\frac{1}{2}AC$，即$AC=2EF$，代入菱形面积公式得$S_{ABCD}=\frac{1}{2}×2EF× BD=EF× BD$，③正确。
4. 判断④：在△ADO中，DE是AO边上的中线，只有当AD=OD时DE才是∠ADO的角平分线，而菱形中AD为边长、OD是对角线BD的一半，二者不一定相等，因此∠ADE和∠EDO不一定相等，④错误。
5. 判断⑤：
∵AC⊥BD，OE=OF，
∴BD垂直平分EF，可得DE=DF，△DEF是等腰三角形，等腰三角形是轴对称图形，因此⑤正确。
综上，正确的结论有①②③⑤，共4个。
【答案】
B
【知识点】
菱形的性质与判定，三角形面积计算，轴对称图形
【点评】
本题综合考查了菱形相关性质、判定，三角形面积规律以及轴对称图形的识别，需要逐一分析每个结论，尤其注意只有特殊性质才成立的结论不能直接当作普遍结论使用，对基础知识的熟练度要求较高。
【难度系数】
0.6
12.一个三角形三边的长分别为15 cm,20 cm和25 cm,则这个三角形最长边上的高为（
A.15 cm
B.20 cm
C.25 cm
D.12 cm
D
）A.15 cm
B.20 cm
C.25 cm
D.12 cm
答案
12.D
解析
【分析】首先拿到三角形三边长度，先判断三角形的形状，通过计算三边的平方，看是否满足勾股定理逆定理，判断是否为直角三角形。确定是直角三角形后，最长边就是斜边，要求斜边上的高，可利用等面积法：直角三角形的面积既可以用两条直角边乘积的一半计算，也可以用斜边乘以斜边上的高的一半计算，两个面积表达式相等，即可求出高的长度。
【解析】
1. 判断三角形形状：
计算各边平方：$15^2 = 225$，$20^2 = 400$，$25^2 = 625$
因为$225 + 400 = 625$，即$15^2 + 20^2 = 25^2$，根据勾股定理的逆定理，该三角形是直角三角形，两条直角边长为15cm、20cm，最长边（斜边）长为25cm。
2. 用等面积法求最长边上的高：
设最长边上的高为$h$ cm，根据三角形面积公式可得：
$\frac{1}{2} × 15 × 20 = \frac{1}{2} × 25 × h$
化简得：$300 = 25h$，解得$h = 12$。
【答案】D
【知识点】勾股定理逆定理；三角形面积计算；等面积法应用
【点评】本题属于基础常考题型，解题核心是先通过勾股定理逆定理判断三角形的形状，再利用等面积法建立等式求解高，需要熟练掌握勾股定理逆定理的用法和面积法的灵活运用。
【难度系数】0.7
【解析】
1. 判断三角形形状：
计算各边平方：$15^2 = 225$，$20^2 = 400$，$25^2 = 625$
因为$225 + 400 = 625$，即$15^2 + 20^2 = 25^2$，根据勾股定理的逆定理，该三角形是直角三角形，两条直角边长为15cm、20cm，最长边（斜边）长为25cm。
2. 用等面积法求最长边上的高：
设最长边上的高为$h$ cm，根据三角形面积公式可得：
$\frac{1}{2} × 15 × 20 = \frac{1}{2} × 25 × h$
化简得：$300 = 25h$，解得$h = 12$。
【答案】D
【知识点】勾股定理逆定理；三角形面积计算；等面积法应用
【点评】本题属于基础常考题型，解题核心是先通过勾股定理逆定理判断三角形的形状，再利用等面积法建立等式求解高，需要熟练掌握勾股定理逆定理的用法和面积法的灵活运用。
【难度系数】0.7
