12.如图,在矩形ABCD中,AB=8,AD=4,点E是DC边上的任一点(不包括端点D,C),过点A作AF⊥AE,交CB的延长线于点F.
(1)求证:△ADE∽△ABF;
(2)连接BD,若BD=AF,求DE的长.

12.(1)证明: $\because$ 四边形 $ABCD$ 为矩形, $\therefore ∠ ADE = ∠ ABF = ∠ BAD = 90°, \therefore ∠ DAE + ∠ EAB = 90°. \because AF ⊥ AE, \therefore ∠ EAB + ∠ BAF = 90°, \therefore ∠ DAE = ∠ BAF. \therefore △ ADE ∽ △ ABF.$
(2)解: 在 $\mathrm{Rt} △ ABD$ 中, 根据勾股定理得, $BD = \sqrt{AD^2 + AB^2} = \sqrt{4^2 + 8^2} = 4\sqrt{5}, \therefore AF = BD = 4\sqrt{5}.$ 在 $\mathrm{Rt} △ ABF$ 中, 根据勾股定理得, $BF = \sqrt{AF^2 - AB^2} = 4$, 由(1)知 $△ ADE ∽ △ ABF, \therefore \frac{AD}{AB} = \frac{DE}{BF}$, 即 $\frac{4}{8} = \frac{DE}{4}, \therefore DE = 2.$

13.如图△ABC与△DEF是位似图形，位似中心为O，OA：AD=1：2，下列结论不正确的有（）


A.△ABC与△DEF的相似比为$\frac{1}{3}$
B.$\frac{△OBC的周长}{△OEF的周长}=\frac{1}{3}$
C.$\frac{S_{△ABC}}{S_{△DEF}}=\frac{1}{9}$
D.$\frac{AC}{DF}=\frac{1}{2}$

13.D

14. 如图,在平面直角坐标系中,$△ ABC$与$△ DEF$是以原点$O$为位似中心的位似图形,$DF=3AC$,点$E$坐标为$(-\dfrac{3}{2},3)$,则点$B$的坐标为 ()


A.$(\dfrac{3}{2},-3)$
B.$(\dfrac{1}{2},-1)$
C.$(-\dfrac{1}{2},1)$
D.$(-1,\dfrac{1}{2})$

14.B

15.如图,正方形网格中,每个小正方形的边长都是一个单位长度,在平面直角坐标系内,△ABC的三个顶点坐标分别为A(-3,1),B(-1,1),C(0,3).
(1)在第四象限画出△ABC以点O为位似中心的位似图形△A₁B₁C₁,△ABC与△A₁B₁C₁的位似比为1:2;
(2)在(1)的条件下,P(a,b)为△ABC内部任意一点,则变换后P的对应点P'的坐标为(,);
(3)求四边形A₁B₁AB的面积.

15.解:(1)如图,$△ A_1 B_1 C_1$即为所求.

(2)$(-2a,-2b)$
(3)四边形 $A_1 B_1 AB$ 的面积 $=\frac{1}{2} × (2+4) × 3 = 9.$