24.(8分)如图,在矩形ABCD中,E是边BC上一点,将△ABE沿AE折叠后,点B的对应点为F,延长AF交BC于点G,交DC的延长线于点H。
(1)若$BE=CH$,求证:$CG=FG$。
(2)当$AB=5,BC=6$时,
①连结BD交AG于点O,若$EF// BD$,求CE的长;
②当$∠ECF=∠EAF$时,连结EH,求△ECH的面积。

24.(1)证明:因为四边形ABCD是矩形,所以$∠ B=∠ BCD=∠ BAD=90°$,所以$∠ GCH=90°$,由折叠得$BE=EF$,$∠ AFE=∠ B=90°=∠ EFG$,因为$BE=CH$,所以$EF=CH$,$△ EFG$和$△ HCG$中,$\begin{cases}∠ EFG=∠ HCG,\\∠ EGF=∠ CGH,\\EF=CH,\end{cases}$所以$△ EFG≌△ HCG(\mathrm{AAS})$,所以$CG=FG$。
(2)①如图1所示,连结DG,因为$BD// EF$,所以$∠ AOB=∠ AFE=90°$,在$\mathrm{Rt}△ ABD$中,$AB=5$,$AD=BC=6$,所以$BD=\sqrt{5^2+6^2}=\sqrt{61}$,因为$S_{△ ABD}=\frac{1}{2} AB· AD=\frac{1}{2} BD· AO$,所以$\frac{1}{2}×5×6=\frac{1}{2}×\sqrt{61}× AO$,所以 $AO = \frac{30\sqrt{61}}{61}$ , 所以 $OD = \sqrt{AD^2-AO^2} = \sqrt{6^2-(\frac{30\sqrt{61}}{61})^2}=\frac{36\sqrt{61}}{61}$,因为 $S_{△ AGD} = \frac{1}{2}×6×5=\frac{1}{2}×\frac{36\sqrt{61}}{61} × AG$,所以 $AG=\frac{5\sqrt{61}}{6}$ ,则 $OG=\frac{125\sqrt{61}}{61×6}$ ,因为 $S_{△ BGD} = \frac{1}{2} BG · DC = \frac{1}{2} BD · OG$,所以 $\frac{1}{2} × BG × 5 = \frac{1}{2} ×\sqrt{61}×\frac{125\sqrt{61}}{61×6}$ ,所以 $BG=\frac{25}{6}$ ,因为$\frac{S_{△ ABE}}{S_{△ AEG}} = \frac{\frac{1}{2} BE · AB}{\frac{1}{2} AG · EF} = \frac{\frac{1}{2} BE · AB}{\frac{1}{2} EG · AB} = \frac{AB}{AG} = \frac{BE}{EG}$ ,即 $\frac{5}{\frac{5\sqrt{61}}{6}} = \frac{BE}{\frac{25}{6} - BE}$ ,所以 $BE=\sqrt{61}-6$,所以$CE=BC-BE=6-(\sqrt{61}-6)=12-\sqrt{61}$;
②如图2所示,过点F作$MN⊥ AD$于点M,交BC于点N,连结BF,交AE于点P,因为$∠ BAE=∠ EAF$,$∠ EAF=∠ ECF$,所以$∠ BAE=∠ ECF$,由折叠得$AB=AF=5$,$BE=EF$,所以AE垂直平分BF,所以$∠ BPE=90°$,所以$∠ PBE+∠ BEP=90°$,因为$∠ ABE=∠ BAE+∠ BEP=90°$,所以$∠ PBE=∠ BAE=∠ ECF$,所以$BF=CF$,因为$AD// BC$,$MN⊥ AD$,所以$MN⊥ BC$,所以$BN=CN=\frac{1}{2}×6=3$,所以$AM=BN=3$,所以$FM=4$,所以$FN=5-4=1$,设$BE=b$,则$EF=b$,$EN=3-b$,在$\mathrm{Rt}△ EFN$中,$EF^2=FN^2+EN^2$,所以$b^2=(3-b)^2+1^2$,所以$b=\frac{5}{3}$,所以$CE=6-BE=6-\frac{5}{3}=\frac{13}{3}$,因为$AM=DM=3$,$FM// DH$,所以$AF=FH=5$,所以$AH=10$,在$\mathrm{Rt}△ ADH$中,由勾股定理得$DH=\sqrt{10^2-6^2}=8$,所以$CH=8-5=3$,所以$S_{△ ECH}=\frac{1}{2} CE · CH=\frac{1}{2}×\frac{13}{3}×3=\frac{13}{2}$。