23.(9分)如图1所示,在正方形ABCD中,点E在AB的延长线上,连结CE,过点A作$AF⊥CE$于点F,分别交对角线BD和边BC于点G,H。
(1)求证:$BE=BH$。
(2)如图2所示,连结CG,EG,已知$BD=2$,设$BH=x$,$AE=y$。
①求$y$关于$x$的函数表达式；
②当$x=2-\sqrt{2}$时,求四边形BECG的面积。

浙江新期末·八年级数学（下册）·浙教版 19—6

23.(1)证明:在正方形 ABCD 中,$AB=BC$,$∠ ABC=90°$,所以 $∠ CBE=∠ ABC=90°$,所以 $∠ BCE+∠ BEC=90°$。因为 $AF⊥ CE$,所以 $∠ BAH+∠ BEC=90°$,所以 $∠ BAH=∠ BCE$,所以 $△ BAH≌△ BCE(\mathrm{ASA})$,所以 $BE=BH$。(2)①因为四边形 ABCD 是正方形,所以 $AD=AB$,$∠ DAB=90°$,$∠ CBD=45°$。因为 $BD=2$,所以 $AD=AB=\sqrt{2}$。因为 $AE=AB+BE$,所以 $y=\sqrt{2}+x$;②如图,连结 AC 交 BD 于点 O,因为四边形 ABCD 是正方形,所以 $AC=BD=2$。$AC⊥ BD$,$OC=\frac{1}{2}AC=1$,当 $x=2-\sqrt{2}$ 时,$y=\sqrt{2}+2-\sqrt{2}=2$,所以 $AE=AC=2$。因为 $AF⊥ CE$,所以 $∠ CAF=∠ EAF=\frac{1}{2}∠ BAC=22.5°$,所以 $∠ BGH=45°+22.5°=67.5°$,$∠ BHG=90°-22.5°=67.5°$,所以 $∠ BGH=∠ BHG$,所以 $BG=BH=2-\sqrt{2}$,所以四边形 BECG 的面积 $=S_{△ BCG}+S_{△ CBE}=\frac{1}{2}· BG· OC+\frac{1}{2}BE· CB=\frac{1}{2}(2-\sqrt{2})×1+\frac{1}{2}×\sqrt{2}×(2-\sqrt{2})=\frac{\sqrt{2}}{2}$。