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9.「2026山东淄博联考，★☆」如图，在三角形ABC中，AC=BC.把△ABC沿着AC翻折，点B落在点D处，连接BD，若∠BAC=36°，则∠CBD的度数为（
A.9°
B.18°
C.20°
D.30°
B
）A.9°
B.18°
C.20°
D.30°
答案
9.B
∵ AC=BC,∠BAC=36°,
∴ ∠ABC=∠BAC=36°,
由折叠的性质可得∠CAD=∠BAC=36°,AB=AD,
∴ ∠BAD=∠CAD+∠BAC=72°,
∴ ∠ABD=$\frac{1}{2}×(180°-72°)=54°$,
∴ ∠CBD=∠ABD-∠ABC=18°.故选 B.
∵ AC=BC,∠BAC=36°,
∴ ∠ABC=∠BAC=36°,
由折叠的性质可得∠CAD=∠BAC=36°,AB=AD,
∴ ∠BAD=∠CAD+∠BAC=72°,
∴ ∠ABD=$\frac{1}{2}×(180°-72°)=54°$,
∴ ∠CBD=∠ABD-∠ABC=18°.故选 B.
10. 情境 数学文化 发展史 「2025 浙江台州期末，★☆」“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的。借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角。这个三等分角仪由两根有槽的棒 $ OA, OB $ 组成，两根棒在 $ O $ 处相连并可绕 $ O $ 转动，$ C $ 固定，$ OC = CD = DE $，$ D, E $ 可在槽中滑动，若 $ ∠ BDE = 69° $，则 $ ∠ CDE $ 的度数是 (
A.$ 60° $
B.$ 69° $
C.$ 76° $
D.$ 88° $
D
)A.$ 60° $
B.$ 69° $
C.$ 76° $
D.$ 88° $
答案
10.D
∵ OC = CD = DE,
∴ ∠O = ∠ODC,∠DCE = ∠DEC,
∴ ∠DCE = ∠O+∠ODC = 2∠ODC,
∵ ∠O+∠OED = 3∠ODC = ∠BDE = 69°,
∴ ∠ODC = 23°,
∵ ∠CDE+∠ODC = 180°-∠BDE = 111°,
∴ ∠CDE = 111°-∠ODC = 88°.故选 D.
∵ OC = CD = DE,
∴ ∠O = ∠ODC,∠DCE = ∠DEC,
∴ ∠DCE = ∠O+∠ODC = 2∠ODC,
∵ ∠O+∠OED = 3∠ODC = ∠BDE = 69°,
∴ ∠ODC = 23°,
∵ ∠CDE+∠ODC = 180°-∠BDE = 111°,
∴ ∠CDE = 111°-∠ODC = 88°.故选 D.
11.「2026天津北辰期中改编，★☆」如图，在$△ ABC$中，$AB=AC$，$AD ⊥ BC$于点$D$，$DE ⊥ AB$于点$E$，$BF ⊥ AC$于点$F$，$BF=10$，则$DE$的长是
5
。答案
11.答案 5
解析 由题意得 AD 是△ABC 的中线,
∴ $S_{△ABC}=2S_{△ABD}=2×\frac{1}{2}AB·DE=AB·DE$,
∵ $S_{△ABC}=\frac{1}{2}AC·BF$,
∴ $\frac{1}{2}AC·BF=AB·DE$,
∵ AB=AC,
∴ $\frac{1}{2}BF=DE$,
∵ BF=10,
∴ DE=5.
解析 由题意得 AD 是△ABC 的中线,
∴ $S_{△ABC}=2S_{△ABD}=2×\frac{1}{2}AB·DE=AB·DE$,
∵ $S_{△ABC}=\frac{1}{2}AC·BF$,
∴ $\frac{1}{2}AC·BF=AB·DE$,
∵ AB=AC,
∴ $\frac{1}{2}BF=DE$,
∵ BF=10,
∴ DE=5.
12. 学科特色易错题「2026 江苏徐州月考，★☆」如图，已知$∠ AOB=30°$,点$D$是边$OA$上一点,在射线$OB$上取一点$C$,当$△ OCD$是等腰三角形时,$∠ OCD$的度数为________.
答案
12.答案 30°或75°或120°
解析 ①当 OD=OC 时,
∠OCD = ∠ODC = $\frac{180°-∠AOB}{2}=75°$;
②当 OD=CD 时,∠OCD = ∠COD = 30°;
③当 OC=CD 时,∠ODC = ∠COD = 30°,
∴ ∠OCD = 180°-∠ODC-∠COD = 120°.
综上所述,∠OCD 的度数为 30°或75°或120°.
易错警示 本题的易错之处是忽略分类讨论,当△OCD是等腰三角形时,没有指明哪两条边相等,所以分三种情况讨论:①OD=OC,②OD=CD,③OC=DC.
解析 ①当 OD=OC 时,
∠OCD = ∠ODC = $\frac{180°-∠AOB}{2}=75°$;
②当 OD=CD 时,∠OCD = ∠COD = 30°;
③当 OC=CD 时,∠ODC = ∠COD = 30°,
∴ ∠OCD = 180°-∠ODC-∠COD = 120°.
综上所述,∠OCD 的度数为 30°或75°或120°.
易错警示 本题的易错之处是忽略分类讨论,当△OCD是等腰三角形时,没有指明哪两条边相等,所以分三种情况讨论:①OD=OC,②OD=CD,③OC=DC.
13.「2026湖北黄石期中，★☆」如图，在$△ ABC$中，$AB=AC=5$，$BC=6$，$AD$是$∠ BAC$的平分线，$AD=4$。若$P$，$Q$分别是$AD$和$AC$上的动点，则$PC+PQ$的最小值是
$\frac{24}{5}$
。答案
13.答案 $\frac{24}{5}$
解析 如图,连接 BP,BQ,
∵ AB=AC,AD 是∠BAC 的平分线,
∴ AD 垂直平分 BC,
∴ PB=PC,
∴ PC+PQ = PB+PQ,
根据“两点之间,线段最短”及“垂线段最短”可知,当 BQ⊥AC,且点 P 在 BQ 上时,PB+PQ 的值最小,设这个最小值为 h,
∵ $S_{△ABC}=\frac{1}{2}BC·AD=\frac{1}{2}AC·h$,
∴ $h=\frac{BC·AD}{AC}=\frac{6×4}{5}=\frac{24}{5}$,
∴ PC+PQ 的最小值是$\frac{24}{5}$.
14. 核心素养推理能力 聚焦中考过程性学习「2026 河北廊坊期中」在△ABC中，AB=AC.
(1)AD是BC边上的高，AD=AE.
①如图1，若∠BAD = 30°，则∠EDC =
②如图2，若∠BAD = 40°，则∠EDC =
(2)思考：通过(1)题，你发现∠BAD与∠EDC之间有什么关系？请用式子表示：
(3)如图3，如果AD不是BC边上的高，AD=AE，(2)中关系是否仍成立？请说明理由.
(1)AD是BC边上的高，AD=AE.
①如图1，若∠BAD = 30°，则∠EDC =
15
°.②如图2，若∠BAD = 40°，则∠EDC =
20
°.(2)思考：通过(1)题，你发现∠BAD与∠EDC之间有什么关系？请用式子表示：
$∠EDC=\frac{1}{2}∠BAD$
.(3)如图3，如果AD不是BC边上的高，AD=AE，(2)中关系是否仍成立？请说明理由.
答案
14.解析 (1)①15.
详解:
∵ AB=AC,AD 是 BC 边上的高,
∴ ∠CAD = ∠BAD = 30°,∠ADC = 90°,
∵ AD=AE,
∴ ∠ADE = ∠AED = $\frac{180°-30°}{2}=75°$,
∴ ∠EDC = 90°-75°=15°.
②20.
(2) $∠EDC=\frac{1}{2}∠BAD$.
(3)仍成立.理由:
∵ AD=AE,
∴ ∠ADE=∠AED,
根据外角的性质可得∠ADC=∠BAD+∠B,
∵ ∠ADC=∠ADE+∠EDC,
∴ ∠BAD+∠B=∠ADE+∠EDC=∠AED+∠EDC
= (∠EDC+∠C)+∠EDC=2∠EDC+∠C,
∵ AB=AC,
∴ ∠B=∠C,
∴ ∠BAD=2∠EDC.
详解:
∵ AB=AC,AD 是 BC 边上的高,
∴ ∠CAD = ∠BAD = 30°,∠ADC = 90°,
∵ AD=AE,
∴ ∠ADE = ∠AED = $\frac{180°-30°}{2}=75°$,
∴ ∠EDC = 90°-75°=15°.
②20.
(2) $∠EDC=\frac{1}{2}∠BAD$.
(3)仍成立.理由:
∵ AD=AE,
∴ ∠ADE=∠AED,
根据外角的性质可得∠ADC=∠BAD+∠B,
∵ ∠ADC=∠ADE+∠EDC,
∴ ∠BAD+∠B=∠ADE+∠EDC=∠AED+∠EDC
= (∠EDC+∠C)+∠EDC=2∠EDC+∠C,
∵ AB=AC,
∴ ∠B=∠C,
∴ ∠BAD=2∠EDC.
