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1.「2026河北唐山期中」与$-\dfrac{1}{3}$相等的是（
A.$-(-3)$
B.$3^{-1}$
C.$(-3)^0$
D.$-3^{-1}$
D
）A.$-(-3)$
B.$3^{-1}$
C.$(-3)^0$
D.$-3^{-1}$
答案
$\because -(-3)=3,3^{-1}=\dfrac{1}{3},(-3)^{0}=1,-3^{-1}=-\dfrac{1}{3},$
$\therefore$ D 选项符合题意.故选 D.
$\therefore$ D 选项符合题意.故选 D.
2.「2026 广东广州月考」若$a=-2^2$，$b=(-\dfrac{1}{2})^{-2}$，$c=(-\dfrac{1}{2})^0$，则$a,b,c$的大小关系为（
A.$a＜b＜c$
B.$a＜c＜b$
C.$b＜c＜a$
D.$c＜a＜b$
B
）A.$a＜b＜c$
B.$a＜c＜b$
C.$b＜c＜a$
D.$c＜a＜b$
答案
$a=-2^{2}=-4,b=(-\dfrac{1}{2})^{-2}=\dfrac{1}{(-\dfrac{1}{2})^{2}}=1÷ \dfrac{1}{4}=4,$
$c=(-\dfrac{1}{2})^{0}=1,\because -4＜1＜4,\therefore a＜c＜b.$故选 B.
$c=(-\dfrac{1}{2})^{0}=1,\because -4＜1＜4,\therefore a＜c＜b.$故选 B.
3. 学科$\frac{特色}{教材变式}$若$(x-3)^0 - 2(x-2)^{-1}$有意义，则x的取值范围是
x≠3 且 x≠2
。答案
答案 $x≠3$ 且 $x≠2$
解析 $\because (x-3)^0 -2(x-2)^{-1}$有意义,$\therefore x-3≠0$ 且 $x-2≠0,$解得 $x≠3$ 且 $x≠2.$
解析 $\because (x-3)^0 -2(x-2)^{-1}$有意义,$\therefore x-3≠0$ 且 $x-2≠0,$解得 $x≠3$ 且 $x≠2.$
4.计算:
(1)$-1^{2026}-2^{-3}×8+(π-3.14)^0 - |-1|$.
(2)
$-(-3)^2 + |-3|$.
(1)$-1^{2026}-2^{-3}×8+(π-3.14)^0 - |-1|$.
(2)
$-(-3)^2 + |-3|$.答案
(1)$-1^{2026}-2^{-3}×8+(π-3.14)^0 - |-1|$
$=-1-\dfrac{1}{8}×8+1-1=-1-1+1-1=-2.$
(2)$(\dfrac{1}{10})^{-3}+(\dfrac{1}{30})^{-2}-(-3)^{2}+|-3|$
$=\dfrac{1}{(\dfrac{1}{10})^{3}}+\dfrac{1}{(\dfrac{1}{30})^{2}}-9+3$
$=1\ 000+900-9+3$
$=1\ 894.$
$=-1-\dfrac{1}{8}×8+1-1=-1-1+1-1=-2.$
(2)$(\dfrac{1}{10})^{-3}+(\dfrac{1}{30})^{-2}-(-3)^{2}+|-3|$
$=\dfrac{1}{(\dfrac{1}{10})^{3}}+\dfrac{1}{(\dfrac{1}{30})^{2}}-9+3$
$=1\ 000+900-9+3$
$=1\ 894.$
5.计算$a^{-2}b^{2}· (a^{2}b^{-2})^{-2}$正确的结果是（
A.$\dfrac{a^{6}}{b^{6}}$
B.$\dfrac{b^{6}}{a^{6}}$
C.$a^{6}b^{6}$
D.$\dfrac{1}{a^{6}b^{6}}$
B
）A.$\dfrac{a^{6}}{b^{6}}$
B.$\dfrac{b^{6}}{a^{6}}$
C.$a^{6}b^{6}$
D.$\dfrac{1}{a^{6}b^{6}}$
答案
$a^{-2}b^{2}· (a^{2}b^{-2})^{-2}=a^{-2}b^{2}· a^{-4}b^{4}=a^{-6}b^{6}=\dfrac{b^{6}}{a^{6}}.$
6.化简下列各式,使结果只含有正整数指数幂.
(1)$(-3m^{2}n^{-3})^{-2} · (-2m^{-1}n^{2})^{-3}$.
(2)$(2m^{2}n^{-3})^{2} ÷ (-mn^{-2})^{-2}$.
(1)$(-3m^{2}n^{-3})^{-2} · (-2m^{-1}n^{2})^{-3}$.
(2)$(2m^{2}n^{-3})^{2} ÷ (-mn^{-2})^{-2}$.
答案
(1)原式$=(-3)^{-2}m^{-4}n^{6}· (-2)^{-3}m^{3}n^{-6}=\dfrac{1}{9}×(-\dfrac{1}{8})m^{-1}=-\dfrac{1}{72m}.$
(2)原式$=4m^{4}n^{-6}÷ (m^{-2}n^{4})=4m^{6}n^{-10}=\dfrac{4m^{6}}{n^{10}}.$
(2)原式$=4m^{4}n^{-6}÷ (m^{-2}n^{4})=4m^{6}n^{-10}=\dfrac{4m^{6}}{n^{10}}.$
7.计算下列各题：
答案
(1)原式$=\dfrac{-3a^{-5}b^{5}}{6a^{-4}b^{-5}}=-\dfrac{1}{2}a^{-1}b^{10}=-\dfrac{b^{10}}{2a}.$
(2)原式$=\dfrac{4x^{4}y^{4}· (-3x^{-1}y^{3})}{6x^{-2}y^{-3}· 3x^{2}y^{3}}=-\dfrac{2x^{3}y^{7}}{3}.$
(2)原式$=\dfrac{4x^{4}y^{4}· (-3x^{-1}y^{3})}{6x^{-2}y^{-3}· 3x^{2}y^{3}}=-\dfrac{2x^{3}y^{7}}{3}.$
8.「2026湖南郴州月考，★☆」下列运算错误的是（
A.$a^{-2} · a^{-1} = \frac{1}{a^3}$
B.$(a^{-2})^{-3} = a^6$
C.$(-2a^{-2}b)^5 = -32a^{10}b^5$
D.$(\frac{3x}{2y})^{-2} = \frac{4y^2}{9x^2}$
C
）A.$a^{-2} · a^{-1} = \frac{1}{a^3}$
B.$(a^{-2})^{-3} = a^6$
C.$(-2a^{-2}b)^5 = -32a^{10}b^5$
D.$(\frac{3x}{2y})^{-2} = \frac{4y^2}{9x^2}$
答案
$\because a^{-2}· a^{-1}=a^{-3}=\dfrac{1}{a^{3}},(a^{-2})^{-3}=a^{6},(-2a^{-2}b)^{5}=-32a^{-10}b^{5},(\dfrac{3x}{2y})^{-2}=\dfrac{(3x)^{-2}}{(2y)^{-2}}=\dfrac{(2y)^{2}}{(3x)^{2}}=\dfrac{4y^{2}}{9x^{2}},\therefore$ C 选项运算错误.故选 C.
9.「★☆」如果$a^{-p}=\frac{1}{36}$，且$a,p$为整数，则满足条件的$a,p$的值分别是
36,1(答案不唯一)
.(写出一组即可)答案
答案 36,1(答案不唯一)
解析 $\because a^{-p}=\dfrac{1}{36},$
$\therefore \dfrac{1}{a^{p}}=\dfrac{1}{36}=\dfrac{1}{6^{2}}=\dfrac{1}{(-6)^{2}},$
$\therefore a,p$的值可以是 36,1 或 6,2 或-6,2.
解析 $\because a^{-p}=\dfrac{1}{36},$
$\therefore \dfrac{1}{a^{p}}=\dfrac{1}{36}=\dfrac{1}{6^{2}}=\dfrac{1}{(-6)^{2}},$
$\therefore a,p$的值可以是 36,1 或 6,2 或-6,2.
10.「2026上海黄浦月考，★☆」计算$(x^{-1}-y^{-1})÷(x^{-2}-y^{-2})-xy(x+y)^{-1}=$
0
答案
答案 0
解析 $(x^{-1}-y^{-1})÷ (x^{-2}-y^{-2})-xy(x+y)^{-1}$
$=(\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{y})÷ (\dfrac{1}{x^{2}}-\dfrac{1}{y^{2}})-\dfrac{xy}{x+y}$
$=\dfrac{y-x}{xy}÷ \dfrac{y^{2}-x^{2}}{x^{2}y^{2}}-\dfrac{xy}{x+y}$
$=\dfrac{y-x}{xy}· \dfrac{x^{2}y^{2}}{(y-x)(y+x)}-\dfrac{xy}{x+y}$
$=\dfrac{xy}{x+y}-\dfrac{xy}{x+y}=0.$
解析 $(x^{-1}-y^{-1})÷ (x^{-2}-y^{-2})-xy(x+y)^{-1}$
$=(\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{y})÷ (\dfrac{1}{x^{2}}-\dfrac{1}{y^{2}})-\dfrac{xy}{x+y}$
$=\dfrac{y-x}{xy}÷ \dfrac{y^{2}-x^{2}}{x^{2}y^{2}}-\dfrac{xy}{x+y}$
$=\dfrac{y-x}{xy}· \dfrac{x^{2}y^{2}}{(y-x)(y+x)}-\dfrac{xy}{x+y}$
$=\dfrac{xy}{x+y}-\dfrac{xy}{x+y}=0.$
11.「2026上海金山月考，★☆」规定一种新运算“※”：
对于任意两个不为0的数$a,b$,有$a※b=a^{-1}b^{-2}$.
当$x=2,y=4$时,$(xy^2)※(-2x^{-2}y)=$
对于任意两个不为0的数$a,b$,有$a※b=a^{-1}b^{-2}$.
当$x=2,y=4$时,$(xy^2)※(-2x^{-2}y)=$
$\dfrac{1}{128}$
.答案
答案 $\dfrac{1}{128}$
解析 由题意得 $(xy^{2})※(-2x^{-2}y)=(xy^{2})^{-1}· (-2x^{-2}y)^{-2}=x^{-1}y^{-2}· (-2)^{-2}x^{4}y^{-2}=\dfrac{1}{4}x^{3}y^{-4}=\dfrac{x^{3}}{4y^{4}},$
当 $x=2,y=4$ 时,原式$=\dfrac{2^{3}}{4×4^{4}}=\dfrac{1}{128}.$
解析 由题意得 $(xy^{2})※(-2x^{-2}y)=(xy^{2})^{-1}· (-2x^{-2}y)^{-2}=x^{-1}y^{-2}· (-2)^{-2}x^{4}y^{-2}=\dfrac{1}{4}x^{3}y^{-4}=\dfrac{x^{3}}{4y^{4}},$
当 $x=2,y=4$ 时,原式$=\dfrac{2^{3}}{4×4^{4}}=\dfrac{1}{128}.$
12.「2025江苏扬州质检，★☆」已知$a＞0,b＞0$，且$a,b$为整数，如果$a^b + a^{-b}=x$，$a^b - a^{-b}=y$。
(1)试探究$x,y$之间满足的关系。
(2)当$y=1$时，求$x^2$的值。
(1)试探究$x,y$之间满足的关系。
(2)当$y=1$时，求$x^2$的值。
答案
(1) 由 $a^{b}+a^{-b}=x,a^{b}-a^{-b}=y$ 得
$a^{2b}+2+a^{-2b}=x^{2}①,a^{2b}-2+a^{-2b}=y^{2}②,$
$②-①得\ y^{2}-x^{2}=-4.$
(2) 当 $y=1$ 时,$1-x^{2}=-4,$解得 $x^{2}=5.$
$a^{2b}+2+a^{-2b}=x^{2}①,a^{2b}-2+a^{-2b}=y^{2}②,$
$②-①得\ y^{2}-x^{2}=-4.$
(2) 当 $y=1$ 时,$1-x^{2}=-4,$解得 $x^{2}=5.$
