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9. 为了得到抛物线 $ y=-6x^2 $，可以由抛物线 $ y=-6x^2+5 $ （
A.向上平移5个单位长度
B.向下平移5个单位长度
C.向左平移5个单位长度
D.向右平移5个单位长度
B
）A.向上平移5个单位长度
B.向下平移5个单位长度
C.向左平移5个单位长度
D.向右平移5个单位长度
答案
9.B
解析
【分析】
这道题考查二次函数图象的平移规律，首先观察两个抛物线的二次项系数，二者均为-6，说明两条抛物线的形状、开口方向完全相同，只需判断平移的方向和距离即可。二次函数上下平移时遵循“上加下减常数项”的规律，平移只改变常数项的数值，我们通过对比两个函数的常数项就能确定平移方式。
【解析】
对于二次函数$y=ax^2+k$，图象上下平移时遵循“上加下减”的规则：向上平移$m$个单位，常数项$k$加$m$；向下平移$m$个单位，常数项$k$减$m$。
已知原抛物线为$y=-6x^2+5$，目标抛物线$y=-6x^2$可变形为$y=(-6x^2+5)-5$，即原抛物线的常数项减去了5，对应平移方式为向下平移5个单位长度，因此选B。
【答案】
B
【知识点】
二次函数图象平移规律；二次函数$y=ax^2+k$的性质
【点评】
本题是基础题型，核心考查二次函数的上下平移规律，熟练掌握“上加下减常数项，左加右减自变量”的平移口诀即可快速得出答案。
【难度系数】
0.8
这道题考查二次函数图象的平移规律，首先观察两个抛物线的二次项系数，二者均为-6，说明两条抛物线的形状、开口方向完全相同，只需判断平移的方向和距离即可。二次函数上下平移时遵循“上加下减常数项”的规律，平移只改变常数项的数值，我们通过对比两个函数的常数项就能确定平移方式。
【解析】
对于二次函数$y=ax^2+k$，图象上下平移时遵循“上加下减”的规则：向上平移$m$个单位，常数项$k$加$m$；向下平移$m$个单位，常数项$k$减$m$。
已知原抛物线为$y=-6x^2+5$，目标抛物线$y=-6x^2$可变形为$y=(-6x^2+5)-5$，即原抛物线的常数项减去了5，对应平移方式为向下平移5个单位长度，因此选B。
【答案】
B
【知识点】
二次函数图象平移规律；二次函数$y=ax^2+k$的性质
【点评】
本题是基础题型，核心考查二次函数的上下平移规律，熟练掌握“上加下减常数项，左加右减自变量”的平移口诀即可快速得出答案。
【难度系数】
0.8
10. (上海中考)抛物线 $ y=3x^2 $ 向下平移两个单位长度所得的抛物线解析式为
$y=3x^2-2$
.答案
10.$y=3x^2-2$
解析
【分析】
解题思路：首先明确本题考查二次函数图像的上下平移规律，我们先回忆平移规则：二次函数上下平移时，仅改变函数的常数项，遵循“上加下减”的原则，即向上平移n个单位，就在原解析式末尾加n；向下平移n个单位，就在原解析式末尾减n。本题是向下平移2个单位，所以直接在原抛物线解析式的基础上减去2即可得到新的抛物线解析式。
【解析】
解：二次函数图像上下平移遵循“上加下减”的规律，该规律本质是上下平移时，相同自变量对应的函数值会随平移发生变化：向上平移则函数值增加，向下平移则函数值减少。
已知原抛物线解析式为$y=3x^2$，现将其向下平移2个单位长度，即新的函数值比原函数值小2，因此平移后的抛物线解析式为：
$y=3x^2 - 2$
【答案】
$y=3x^2-2$
【知识点】
二次函数图象平移规律、二次函数解析式确定
【点评】
本题是二次函数平移类的基础题型，核心考查“上加下减、左加右减”的平移规则，熟练记忆平移规律即可快速得出答案，属于中考常见的基础送分题。
【难度系数】
0.9
解题思路：首先明确本题考查二次函数图像的上下平移规律，我们先回忆平移规则：二次函数上下平移时，仅改变函数的常数项，遵循“上加下减”的原则，即向上平移n个单位，就在原解析式末尾加n；向下平移n个单位，就在原解析式末尾减n。本题是向下平移2个单位，所以直接在原抛物线解析式的基础上减去2即可得到新的抛物线解析式。
【解析】
解：二次函数图像上下平移遵循“上加下减”的规律，该规律本质是上下平移时，相同自变量对应的函数值会随平移发生变化：向上平移则函数值增加，向下平移则函数值减少。
已知原抛物线解析式为$y=3x^2$，现将其向下平移2个单位长度，即新的函数值比原函数值小2，因此平移后的抛物线解析式为：
$y=3x^2 - 2$
【答案】
$y=3x^2-2$
【知识点】
二次函数图象平移规律、二次函数解析式确定
【点评】
本题是二次函数平移类的基础题型，核心考查“上加下减、左加右减”的平移规则，熟练记忆平移规律即可快速得出答案，属于中考常见的基础送分题。
【难度系数】
0.9
11.将二次函数$y=x^2 -8$的图象向上平移5个单位长度得到对应的函数解析式是
$y=x^2-3$
。答案
11.$y=x^2-3$
解析
【分析】
本题考查二次函数图象的上下平移变换，解题核心是掌握二次函数平移的规律“上加下减，左加右减”：其中上下平移是对函数整体的值进行操作，向上平移n个单位，就在原函数解析式的基础上整体加n；向下平移n个单位，就在原函数解析式的基础上整体减n。本题是向上平移5个单位，只需将原函数整体加5，化简即可得到新的函数解析式。
【解析】
已知原二次函数解析式为$y=x^2 -8$，根据二次函数上下平移的“上加下减”规则，将图象向上平移5个单位长度，需给原函数整体加5，可得新解析式：
$\begin{aligned}y&=x^2 -8 +5\\&=x^2 -3\end{aligned}$
【答案】
$y=x^2-3$
【知识点】
1. 二次函数平移规律
2. 函数图象变换
【点评】
本题属于基础常规题，核心考查二次函数上下平移的运算规则，只要熟练记住“上加下减”的平移规律，就能快速得出正确结果。
【难度系数】
0.9
本题考查二次函数图象的上下平移变换，解题核心是掌握二次函数平移的规律“上加下减，左加右减”：其中上下平移是对函数整体的值进行操作，向上平移n个单位，就在原函数解析式的基础上整体加n；向下平移n个单位，就在原函数解析式的基础上整体减n。本题是向上平移5个单位，只需将原函数整体加5，化简即可得到新的函数解析式。
【解析】
已知原二次函数解析式为$y=x^2 -8$，根据二次函数上下平移的“上加下减”规则，将图象向上平移5个单位长度，需给原函数整体加5，可得新解析式：
$\begin{aligned}y&=x^2 -8 +5\\&=x^2 -3\end{aligned}$
【答案】
$y=x^2-3$
【知识点】
1. 二次函数平移规律
2. 函数图象变换
【点评】
本题属于基础常规题，核心考查二次函数上下平移的运算规则，只要熟练记住“上加下减”的平移规律，就能快速得出正确结果。
【难度系数】
0.9
12. 关于函数$y=2x^2 - 3$，$y=-\frac{1}{2}x^2$的图象及性质，下列说法不正确的是（
A.它们的对称轴都是y轴
B.对于函数$y=-\frac{1}{2}x^2$，当$x＞0$时，y随x的增大而减小
C.抛物线$y=2x^2 -3$不能由抛物线$y=-\frac{1}{2}x^2$平移得到
D.抛物线$y=2x^2 -3$的开口比$y=-\frac{1}{2}x^2$的开口大
D
）A.它们的对称轴都是y轴
B.对于函数$y=-\frac{1}{2}x^2$，当$x＞0$时，y随x的增大而减小
C.抛物线$y=2x^2 -3$不能由抛物线$y=-\frac{1}{2}x^2$平移得到
D.抛物线$y=2x^2 -3$的开口比$y=-\frac{1}{2}x^2$的开口大
答案
12.D
解析
【分析】
本题考查二次函数$y=ax^2$和$y=ax^2+k$的图象与性质，解题时可先回忆二次函数的对称轴、增减性、平移规律、开口大小判断等核心知识点，再逐一验证每个选项的正误，最终选出说法不正确的选项。
【解析】
我们逐个分析选项：
A. 形如$y=ax^2+k$的二次函数，对称轴均为$x=0$（即y轴），两个函数都符合该形式，因此对称轴都是y轴，A选项说法正确，不符合题意；
B. 函数$y=-\frac{1}{2}x^2$中$a=-\frac{1}{2}＜0$，抛物线开口向下，对称轴为y轴，因此当$x＞0$时，y随x的增大而减小，B选项说法正确，不符合题意；
C. 抛物线平移的本质是顶点位置变化，二次项系数$a$保持不变，两个函数的$a$分别为2和$-\frac{1}{2}$，不相等，因此无法通过平移得到，C选项说法正确，不符合题意；
D. 二次函数的开口大小由$|a|$决定，$|a|$越大开口越小。$|2|=2$，$|-\frac{1}{2}|=\frac{1}{2}$，$2＞\frac{1}{2}$，因此$y=2x^2-3$的开口比$y=-\frac{1}{2}x^2$的开口小，D选项说法错误，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
二次函数图象与性质；二次函数平移规律；二次函数开口判断
【点评】
本题侧重考查二次函数的基础核心性质，属于常考基础题型，解题时要注意：开口大小仅和二次项系数的绝对值有关，和系数的正负无关，平移变换不会改变二次项系数的大小。
【难度系数】
0.8
本题考查二次函数$y=ax^2$和$y=ax^2+k$的图象与性质，解题时可先回忆二次函数的对称轴、增减性、平移规律、开口大小判断等核心知识点，再逐一验证每个选项的正误，最终选出说法不正确的选项。
【解析】
我们逐个分析选项：
A. 形如$y=ax^2+k$的二次函数，对称轴均为$x=0$（即y轴），两个函数都符合该形式，因此对称轴都是y轴，A选项说法正确，不符合题意；
B. 函数$y=-\frac{1}{2}x^2$中$a=-\frac{1}{2}＜0$，抛物线开口向下，对称轴为y轴，因此当$x＞0$时，y随x的增大而减小，B选项说法正确，不符合题意；
C. 抛物线平移的本质是顶点位置变化，二次项系数$a$保持不变，两个函数的$a$分别为2和$-\frac{1}{2}$，不相等，因此无法通过平移得到，C选项说法正确，不符合题意；
D. 二次函数的开口大小由$|a|$决定，$|a|$越大开口越小。$|2|=2$，$|-\frac{1}{2}|=\frac{1}{2}$，$2＞\frac{1}{2}$，因此$y=2x^2-3$的开口比$y=-\frac{1}{2}x^2$的开口小，D选项说法错误，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
二次函数图象与性质；二次函数平移规律；二次函数开口判断
【点评】
本题侧重考查二次函数的基础核心性质，属于常考基础题型，解题时要注意：开口大小仅和二次项系数的绝对值有关，和系数的正负无关，平移变换不会改变二次项系数的大小。
【难度系数】
0.8
13. 在同一直角坐标系中，一次函数 $ y=ax+1 $ 与二次函数 $ y=x^2+a $ 的图象可能是（
A
B
C D
C
）A
B
C D
答案
13.C
解析
【分析】
解决这类一次函数与二次函数图象共存的问题，核心是抓住两个函数中同一个参数$a$的取值要一致，结合函数的固定性质逐一排除错误选项：首先先根据二次函数的二次项系数确定开口方向，排除不符合的选项；再根据一次函数的常数项确定它与$y$轴的交点位置，再次排除错误选项；最后分情况讨论参数$a$的正负，验证两个函数的图象特征是否和$a$的取值匹配即可。
【解析】
步骤1：判断二次函数开口方向
二次函数$y=x^2+a$的二次项系数为$1＞0$，因此抛物线开口向上，选项B中抛物线开口向下，直接排除B。
步骤2：判断一次函数与$y$轴的交点
一次函数$y=ax+1$中，常数项为1，因此它与$y$轴的交点为$(0,1)$，位于$y$轴正半轴。选项D中一次函数与$y$轴交于负半轴，不符合性质，排除D。
步骤3：根据参数$a$的正负验证剩余选项
① 若$a＞0$：一次函数$y=ax+1$的斜率为正，图象从左下向右上上升；此时二次函数$y=x^2+a$的顶点为$(0,a)$，位于$y$轴正半轴。选项A中二次函数顶点在$y$轴负半轴，不符合，排除A。
② 若$a＜0$：一次函数$y=ax+1$的斜率为负，图象从左上向右下下降；此时二次函数$y=x^2+a$的顶点为$(0,a)$，位于$y$轴负半轴，和选项C的图象特征完全一致。
综上，符合要求的是选项C。
【答案】
C
【知识点】
1. 一次函数图象性质
2. 二次函数$y=ax^2+k$图象性质
3. 含参函数图象判断
【点评】
本题是函数图象判断的典型题型，解题时优先利用函数的固定性质（如开口方向、与坐标轴的交点）排除明显错误选项，再结合参数的取值验证剩余选项，能有效提升解题效率，很好地考察了对两类函数图象性质的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
解决这类一次函数与二次函数图象共存的问题，核心是抓住两个函数中同一个参数$a$的取值要一致，结合函数的固定性质逐一排除错误选项：首先先根据二次函数的二次项系数确定开口方向，排除不符合的选项；再根据一次函数的常数项确定它与$y$轴的交点位置，再次排除错误选项；最后分情况讨论参数$a$的正负，验证两个函数的图象特征是否和$a$的取值匹配即可。
【解析】
步骤1：判断二次函数开口方向
二次函数$y=x^2+a$的二次项系数为$1＞0$，因此抛物线开口向上，选项B中抛物线开口向下，直接排除B。
步骤2：判断一次函数与$y$轴的交点
一次函数$y=ax+1$中，常数项为1，因此它与$y$轴的交点为$(0,1)$，位于$y$轴正半轴。选项D中一次函数与$y$轴交于负半轴，不符合性质，排除D。
步骤3：根据参数$a$的正负验证剩余选项
① 若$a＞0$：一次函数$y=ax+1$的斜率为正，图象从左下向右上上升；此时二次函数$y=x^2+a$的顶点为$(0,a)$，位于$y$轴正半轴。选项A中二次函数顶点在$y$轴负半轴，不符合，排除A。
② 若$a＜0$：一次函数$y=ax+1$的斜率为负，图象从左上向右下下降；此时二次函数$y=x^2+a$的顶点为$(0,a)$，位于$y$轴负半轴，和选项C的图象特征完全一致。
综上，符合要求的是选项C。
【答案】
C
【知识点】
1. 一次函数图象性质
2. 二次函数$y=ax^2+k$图象性质
3. 含参函数图象判断
【点评】
本题是函数图象判断的典型题型，解题时优先利用函数的固定性质（如开口方向、与坐标轴的交点）排除明显错误选项，再结合参数的取值验证剩余选项，能有效提升解题效率，很好地考察了对两类函数图象性质的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
14.已知抛物线$y=x^2+3$上有两点$A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$，若$y_1＜y_2$，则下列结论正确的是（
A.$0≤ x_1＜x_2$
B.$x_2＜x_1≤0$
C.$x_2＜x_1≤0$或$0≤ x_1＜x_2$
D.$|x_1|＜|x_2|$
D
）A.$0≤ x_1＜x_2$
B.$x_2＜x_1≤0$
C.$x_2＜x_1≤0$或$0≤ x_1＜x_2$
D.$|x_1|＜|x_2|$
答案
14.D
解析
【分析】
首先回忆二次函数$y=x^2+3$的基本性质：它开口向上，对称轴为y轴（直线$x=0$），开口向上的抛物线上的点，离对称轴越远，对应的函数值越大。已知$y_1＜y_2$，说明点A到对称轴的距离小于点B到对称轴的距离，转化为绝对值关系就是$|x_1|＜|x_2|$。同时可以通过举反例的方式，找到自变量在对称轴两侧仍满足$y_1＜y_2$的情况，排除仅考虑同侧情况的错误选项。
【解析】
抛物线$y=x^2+3$的开口向上，对称轴为直线$x=0$（y轴），对于该抛物线上的任意点，到对称轴的距离越远，对应的函数值越大。
已知$y_1＜y_2$，因此点$A(x_1,y_1)$到对称轴$x=0$的距离小于点$B(x_2,y_2)$到对称轴的距离，即$|x_1|＜|x_2|$，故D选项正确。
举反例排除其他选项：取$x_1=-1$，$x_2=2$，此时$y_1=(-1)^2+3=4$，$y_2=2^2+3=7$，满足$y_1＜y_2$，但$x_1＜0＜x_2$，不符合A、B、C的描述，因此A、B、C错误。
【答案】
D
【知识点】
1. 二次函数$y=ax^2+k$的性质
2. 函数值大小比较
【点评】
本题核心考查开口向上的二次函数的函数值变化规律，解题的关键是理解抛物线上点的函数值大小和点到对称轴距离的对应关系，解题时要注意全面考虑自变量在对称轴同侧、异侧的所有情况，避免因考虑不全面错选。
【难度系数】
0.7
首先回忆二次函数$y=x^2+3$的基本性质：它开口向上，对称轴为y轴（直线$x=0$），开口向上的抛物线上的点，离对称轴越远，对应的函数值越大。已知$y_1＜y_2$，说明点A到对称轴的距离小于点B到对称轴的距离，转化为绝对值关系就是$|x_1|＜|x_2|$。同时可以通过举反例的方式，找到自变量在对称轴两侧仍满足$y_1＜y_2$的情况，排除仅考虑同侧情况的错误选项。
【解析】
抛物线$y=x^2+3$的开口向上，对称轴为直线$x=0$（y轴），对于该抛物线上的任意点，到对称轴的距离越远，对应的函数值越大。
已知$y_1＜y_2$，因此点$A(x_1,y_1)$到对称轴$x=0$的距离小于点$B(x_2,y_2)$到对称轴的距离，即$|x_1|＜|x_2|$，故D选项正确。
举反例排除其他选项：取$x_1=-1$，$x_2=2$，此时$y_1=(-1)^2+3=4$，$y_2=2^2+3=7$，满足$y_1＜y_2$，但$x_1＜0＜x_2$，不符合A、B、C的描述，因此A、B、C错误。
【答案】
D
【知识点】
1. 二次函数$y=ax^2+k$的性质
2. 函数值大小比较
【点评】
本题核心考查开口向上的二次函数的函数值变化规律，解题的关键是理解抛物线上点的函数值大小和点到对称轴距离的对应关系，解题时要注意全面考虑自变量在对称轴同侧、异侧的所有情况，避免因考虑不全面错选。
【难度系数】
0.7
15.若抛物线$y=ax^2 +k(a≠0)$与$y=-2x^2 +4$关于$x$轴对称，则$a=$
2
，$k=$-4
。答案
15.2 -4
解析
【分析】
解题思路：要确定关于x轴对称的抛物线的系数，首先明确关于x轴对称的点的坐标规律：横坐标不变，纵坐标互为相反数。将原抛物线解析式中的y替换为-y、x保持不变，整理后得到对称后的抛物线解析式，再和y=ax²+k对比对应项的系数，就能求出a和k的值。也可通过顶点对称的思路验证：原抛物线顶点为(0,4)，关于x轴对称的顶点为(0,-4)，且开口方向相反，可直接推导系数。
【解析】
∵ 抛物线$y=ax^2 +k$与$y=-2x^2 +4$关于$x$轴对称
∴ 对任意相同的$x$，两个函数的函数值互为相反数，即$-y = -2x^2 + 4$
对等式变形可得：$y=2x^2 -4$
将$y=2x^2 -4$与$y=ax^2 +k$对比，对应项系数相等
∴ $a=2$，$k=-4$
【答案】
2；-4
【知识点】
二次函数对称变换，x轴对称的坐标性质，二次函数系数对应
【点评】
本题是二次函数图象对称变换的基础题型，核心是掌握坐标轴对称的坐标变换规律，除代入法外，也可通过顶点坐标的对称、开口方向的变化快速求解，是二次函数性质部分的常考基础题。
【难度系数】
0.8
解题思路：要确定关于x轴对称的抛物线的系数，首先明确关于x轴对称的点的坐标规律：横坐标不变，纵坐标互为相反数。将原抛物线解析式中的y替换为-y、x保持不变，整理后得到对称后的抛物线解析式，再和y=ax²+k对比对应项的系数，就能求出a和k的值。也可通过顶点对称的思路验证：原抛物线顶点为(0,4)，关于x轴对称的顶点为(0,-4)，且开口方向相反，可直接推导系数。
【解析】
∵ 抛物线$y=ax^2 +k$与$y=-2x^2 +4$关于$x$轴对称
∴ 对任意相同的$x$，两个函数的函数值互为相反数，即$-y = -2x^2 + 4$
对等式变形可得：$y=2x^2 -4$
将$y=2x^2 -4$与$y=ax^2 +k$对比，对应项系数相等
∴ $a=2$，$k=-4$
【答案】
2；-4
【知识点】
二次函数对称变换，x轴对称的坐标性质，二次函数系数对应
【点评】
本题是二次函数图象对称变换的基础题型，核心是掌握坐标轴对称的坐标变换规律，除代入法外，也可通过顶点坐标的对称、开口方向的变化快速求解，是二次函数性质部分的常考基础题。
【难度系数】
0.8
16.已知二次函数$y=3x^2+2027$，当$x$分别取$x_1,x_2(x_1≠x_2)$时，函数值相等，则当$x$取$3x_1+3x_2$时，函数值为
2027
。答案
16.2027
解析
【分析】
首先回忆二次函数$y=ax^2+k$的性质：该类函数的图象对称轴为y轴（直线$x=0$），若两个不同的自变量对应的函数值相等，说明这两个自变量对应的点关于y轴对称，即两个自变量互为相反数，和为0。接下来将所求的$3x_1+3x_2$变形为$3(x_1+x_2)$，代入$x_1+x_2=0$得到自变量的值，最后代入函数解析式计算函数值即可。
【解析】
∵ 二次函数$y=3x^2+2027$的对称轴为直线$x=0$，且当$x$分别取$x_1,x_2(x_1≠x_2)$时函数值相等，
∴ $x_1$与$x_2$互为相反数，即$x_1 + x_2 = 0$，
∴ $3x_1 + 3x_2 = 3(x_1+x_2) = 3×0 = 0$，
将$x=0$代入$y=3x^2+2027$，得$y=3×0^2 + 2027 = 2027$。
【答案】
2027
【知识点】
1. 二次函数$y=ax^2+k$的性质；2. 二次函数的对称性
【点评】
本题是二次函数性质的基础应用，解题核心是利用二次函数的对称性得到$x_1+x_2=0$，熟练掌握$y=ax^2+k$的图象特征即可快速解答。
【难度系数】
0.8
首先回忆二次函数$y=ax^2+k$的性质：该类函数的图象对称轴为y轴（直线$x=0$），若两个不同的自变量对应的函数值相等，说明这两个自变量对应的点关于y轴对称，即两个自变量互为相反数，和为0。接下来将所求的$3x_1+3x_2$变形为$3(x_1+x_2)$，代入$x_1+x_2=0$得到自变量的值，最后代入函数解析式计算函数值即可。
【解析】
∵ 二次函数$y=3x^2+2027$的对称轴为直线$x=0$，且当$x$分别取$x_1,x_2(x_1≠x_2)$时函数值相等，
∴ $x_1$与$x_2$互为相反数，即$x_1 + x_2 = 0$，
∴ $3x_1 + 3x_2 = 3(x_1+x_2) = 3×0 = 0$，
将$x=0$代入$y=3x^2+2027$，得$y=3×0^2 + 2027 = 2027$。
【答案】
2027
【知识点】
1. 二次函数$y=ax^2+k$的性质；2. 二次函数的对称性
【点评】
本题是二次函数性质的基础应用，解题核心是利用二次函数的对称性得到$x_1+x_2=0$，熟练掌握$y=ax^2+k$的图象特征即可快速解答。
【难度系数】
0.8
17.如图，抛物线$y=-x^2+4$与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，四边形ABCD为平行四边形.
(1)求A，B，C三点的坐标；
(2)若抛物线向上平移后恰好经过点D，求平移后抛物线的解析式.
(1)求A，B，C三点的坐标；
(2)若抛物线向上平移后恰好经过点D，求平移后抛物线的解析式.
答案
17.解:(1)在$y=-x^2+4$中,令$x=0$,则$y=4$;令$y=0$,则$-x^2+4=0$,解得$x_1=2,x_2=-2$. $\therefore A(-2,0),B(2,0),C(0,4)$.
(2)$\because$四边形$ABCD$是平行四边形,$AB=4$,$C(0,4)$,$\therefore CD=AB=4$,$CD// AB$. $\therefore D(-4,4)$. 设平移后的抛物线为$y=-x^2+4+m$,则$4=-(-4)^2+4+m$,解得$m=16$. $\therefore$平移后抛物线的解析式为$y=-x^2+20$.
(2)$\because$四边形$ABCD$是平行四边形,$AB=4$,$C(0,4)$,$\therefore CD=AB=4$,$CD// AB$. $\therefore D(-4,4)$. 设平移后的抛物线为$y=-x^2+4+m$,则$4=-(-4)^2+4+m$,解得$m=16$. $\therefore$平移后抛物线的解析式为$y=-x^2+20$.
解析
【分析】
(1) 求解二次函数与坐标轴的交点坐标：求与y轴交点时，令x=0代入解析式计算y值，即可得到C点坐标；求与x轴交点时，令y=0解一元二次方程得到x的取值，结合图像位置即可得到A、B两点坐标。
(2) 先利用平行四边形对边平行且相等的性质推导D点坐标：AB在x轴上，长度为4，因此CD平行于x轴且长度为4，D点纵坐标与C点相同，横坐标向左平移4个单位即可得到D点坐标；再根据二次函数向上平移“解析式常数项加平移距离”的规律，设平移后解析式，将D点坐标代入求解平移距离，即可得到最终解析式。
【解析】
(1) 在抛物线$y=-x^2+4$中：
令$x=0$，得$y=4$，即$C(0,4)$；
令$y=0$，得$-x^2+4=0$，解得$x_1=2$，$x_2=-2$，结合图像得$A(-2,0)$，$B(2,0)$。
(2) $\because$四边形ABCD是平行四边形，
$\therefore CD// AB$，$CD=AB$，
由A、B坐标得$AB=2-(-2)=4$，
$\because CD// AB$（AB在x轴上），$C(0,4)$，
$\therefore D$点纵坐标为4，横坐标为$0-4=-4$，即$D(-4,4)$。
设抛物线向上平移$m$个单位，平移后解析式为$y=-x^2+4+m$，
将$D(-4,4)$代入得：$4=-(-4)^2+4+m$，
解得$m=16$，
$\therefore$平移后抛物线解析式为$y=-x^2+4+16=-x^2+20$。
【答案】
(1) $A(-2,0)$，$B(2,0)$，$C(0,4)$；
(2) $y=-x^2+20$
【知识点】
二次函数与坐标轴交点求解；平行四边形的性质；二次函数图象平移
【点评】
本题属于二次函数与几何图形结合的基础综合题，核心考察基础知识的运用，既涉及二次函数交点求解、图象平移的规则，也用到平行四边形的基本性质，解题逻辑清晰，是巩固基础的典型习题。
【难度系数】
0.7
(1) 求解二次函数与坐标轴的交点坐标：求与y轴交点时，令x=0代入解析式计算y值，即可得到C点坐标；求与x轴交点时，令y=0解一元二次方程得到x的取值，结合图像位置即可得到A、B两点坐标。
(2) 先利用平行四边形对边平行且相等的性质推导D点坐标：AB在x轴上，长度为4，因此CD平行于x轴且长度为4，D点纵坐标与C点相同，横坐标向左平移4个单位即可得到D点坐标；再根据二次函数向上平移“解析式常数项加平移距离”的规律，设平移后解析式，将D点坐标代入求解平移距离，即可得到最终解析式。
【解析】
(1) 在抛物线$y=-x^2+4$中：
令$x=0$，得$y=4$，即$C(0,4)$；
令$y=0$，得$-x^2+4=0$，解得$x_1=2$，$x_2=-2$，结合图像得$A(-2,0)$，$B(2,0)$。
(2) $\because$四边形ABCD是平行四边形，
$\therefore CD// AB$，$CD=AB$，
由A、B坐标得$AB=2-(-2)=4$，
$\because CD// AB$（AB在x轴上），$C(0,4)$，
$\therefore D$点纵坐标为4，横坐标为$0-4=-4$，即$D(-4,4)$。
设抛物线向上平移$m$个单位，平移后解析式为$y=-x^2+4+m$，
将$D(-4,4)$代入得：$4=-(-4)^2+4+m$，
解得$m=16$，
$\therefore$平移后抛物线解析式为$y=-x^2+4+16=-x^2+20$。
【答案】
(1) $A(-2,0)$，$B(2,0)$，$C(0,4)$；
(2) $y=-x^2+20$
【知识点】
二次函数与坐标轴交点求解；平行四边形的性质；二次函数图象平移
【点评】
本题属于二次函数与几何图形结合的基础综合题，核心考察基础知识的运用，既涉及二次函数交点求解、图象平移的规则，也用到平行四边形的基本性质，解题逻辑清晰，是巩固基础的典型习题。
【难度系数】
0.7
18.【转化思想】已知抛物线$y=\frac{1}{4}x^2 +1$具有如下性质:该抛物线上任意一点到定点$F(0,2)$的距离与到$x$轴的距离始终相等.如图,点$M$的坐标为$(\sqrt{3},3)$,$P$是抛物线$y=\frac{1}{4}x^2 +1$上一个动点,则当$△ PMF$的周长最小时,$S_{△ MPF}$的值是 （
A.$\frac{5}{8}\sqrt{3}$
B.$\frac{1}{4}$
C.$\sqrt{3}$
D.$\frac{\sqrt{3}}{8}$
A
）A.$\frac{5}{8}\sqrt{3}$
B.$\frac{1}{4}$
C.$\sqrt{3}$
D.$\frac{\sqrt{3}}{8}$
答案
18.A
解析
【分析】
要使△PMF的周长最小，首先观察周长组成：△PMF的周长=PF+PM+MF，其中点M、F是定点，因此MF的长度是固定值，只需保证PF+PM的值最小即可。根据题目给出的抛物线性质：抛物线上任意一点到F的距离等于到x轴的距离，因此PF可转化为点P到x轴的垂线段长度。结合“垂线段最短”的原理，过点M作x轴的垂线，该垂线与抛物线的交点即为满足PF+PM最小的点P，再计算此时△MPF的面积即可。
【解析】
1. 确定点P的位置：
因为M、F为定点，所以MF长度固定，△PMF周长最小等价于PF+PM最小。根据抛物线性质，PF等于点P到x轴的距离，因此过M作x轴的垂线，与抛物线的交点即为所求点P。
2. 求点P的坐标：
点M的横坐标为$\sqrt{3}$，将$x=\sqrt{3}$代入抛物线解析式$y=\frac{1}{4}x^2 +1$，得：
$y=\frac{1}{4}× (\sqrt{3})^2 +1=\frac{3}{4}+1=\frac{7}{4}$
即$P(\sqrt{3},\frac{7}{4})$。
3. 计算△MPF的面积：
线段MP为竖直线段，长度为$3-\frac{7}{4}=\frac{5}{4}$；
点$F(0,2)$到直线MP（直线$x=\sqrt{3}$）的水平距离为$\sqrt{3}-0=\sqrt{3}$，即△MPF中MP边上的高为$\sqrt{3}$。
因此$S_{△ MPF}=\frac{1}{2}× 底× 高=\frac{1}{2}× \frac{5}{4}× \sqrt{3}=\frac{5\sqrt{3}}{8}$。
【答案】
A
【知识点】
二次函数的性质；最短路径问题；三角形面积计算
【点评】
本题解题的关键是利用题目给出的抛物线性质，将PF的长度转化为点P到x轴的距离，把动态的周长最小问题转化为常见的垂线段最短问题，再结合坐标运算求解面积，很好地考查了转化思想的应用。
【难度系数】
0.6
要使△PMF的周长最小，首先观察周长组成：△PMF的周长=PF+PM+MF，其中点M、F是定点，因此MF的长度是固定值，只需保证PF+PM的值最小即可。根据题目给出的抛物线性质：抛物线上任意一点到F的距离等于到x轴的距离，因此PF可转化为点P到x轴的垂线段长度。结合“垂线段最短”的原理，过点M作x轴的垂线，该垂线与抛物线的交点即为满足PF+PM最小的点P，再计算此时△MPF的面积即可。
【解析】
1. 确定点P的位置：
因为M、F为定点，所以MF长度固定，△PMF周长最小等价于PF+PM最小。根据抛物线性质，PF等于点P到x轴的距离，因此过M作x轴的垂线，与抛物线的交点即为所求点P。
2. 求点P的坐标：
点M的横坐标为$\sqrt{3}$，将$x=\sqrt{3}$代入抛物线解析式$y=\frac{1}{4}x^2 +1$，得：
$y=\frac{1}{4}× (\sqrt{3})^2 +1=\frac{3}{4}+1=\frac{7}{4}$
即$P(\sqrt{3},\frac{7}{4})$。
3. 计算△MPF的面积：
线段MP为竖直线段，长度为$3-\frac{7}{4}=\frac{5}{4}$；
点$F(0,2)$到直线MP（直线$x=\sqrt{3}$）的水平距离为$\sqrt{3}-0=\sqrt{3}$，即△MPF中MP边上的高为$\sqrt{3}$。
因此$S_{△ MPF}=\frac{1}{2}× 底× 高=\frac{1}{2}× \frac{5}{4}× \sqrt{3}=\frac{5\sqrt{3}}{8}$。
【答案】
A
【知识点】
二次函数的性质；最短路径问题；三角形面积计算
【点评】
本题解题的关键是利用题目给出的抛物线性质，将PF的长度转化为点P到x轴的距离，把动态的周长最小问题转化为常见的垂线段最短问题，再结合坐标运算求解面积，很好地考查了转化思想的应用。
【难度系数】
0.6
