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1 某中学要印刷一批作业本，要求作业本的封面设计能体现学科特点.甲印刷厂提出:每本作业本收0.5元的印刷费，另加1 000元的封面设计费；乙印刷厂提出:每本作业本收0.6元的印刷费，不收封面设计费.
（1）分别写出甲、乙两家印刷厂总的印刷费用y（元）与印刷数量x（本）之间的函数表达式；
（2）如果学校有8 400元经费用于印刷这批作业本，那么通过计算说明选择哪家印刷厂印刷的作业本数量较多.
（1）分别写出甲、乙两家印刷厂总的印刷费用y（元）与印刷数量x（本）之间的函数表达式；
（2）如果学校有8 400元经费用于印刷这批作业本，那么通过计算说明选择哪家印刷厂印刷的作业本数量较多.
答案
（1）由题意，得甲印刷厂的印刷费用$y=0.5x+1000$，乙印刷厂的印刷费用$y=0.6x$
（2）若选择甲印刷厂，则$8400=0.5x+1000$，解得$x=14800$；若选择乙印刷厂，则$8400=0.6x$，解得$x=14000$。因为$14800＞14000$，所以选择甲印刷厂印刷的作业本数量较多
（2）若选择甲印刷厂，则$8400=0.5x+1000$，解得$x=14800$；若选择乙印刷厂，则$8400=0.6x$，解得$x=14000$。因为$14800＞14000$，所以选择甲印刷厂印刷的作业本数量较多
解析
【分析】
（1）要写出两个印刷厂的费用函数，先明确各自的收费构成：甲厂总费用=每本印刷费×印刷数量+固定封面设计费，乙厂总费用=每本印刷费×印刷数量，将对应数值代入即可得到函数表达式。
（2）已知总经费为8400元，即函数值y=8400，分别代入两个函数表达式，解出对应的印刷数量x，比较两个x的大小，数值更大的印刷厂更划算。
【解析】
（1）根据题意，甲印刷厂的总费用包含可变印刷费和固定封面设计费，因此函数表达式为：
$y_甲=0.5x+1000$（x为非负整数）
乙印刷厂无固定设计费，仅收取印刷费，因此函数表达式为：
$y_乙=0.6x$（x为非负整数）
（2）当总印刷费用为8400元时：
若选择甲印刷厂，将y=8400代入$y_甲=0.5x+1000$，得：
$8400=0.5x+1000$
移项计算得$0.5x=7400$，解得$x=14800$
若选择乙印刷厂，将y=8400代入$y_乙=0.6x$，得：
$8400=0.6x$
解得$x=14000$
由于$14800＞14000$，因此甲印刷厂可印刷的作业本数量更多。
【答案】
（1）甲印刷厂：$y=0.5x+1000$，乙印刷厂：$y=0.6x$
（2）选择甲印刷厂印刷的作业本数量较多
【知识点】
一次函数的应用、列函数关系式、一元一次方程的解法
【点评】
本题结合印刷收费的生活场景，考查将实际问题转化为数学函数模型的能力，解题核心是理清不同方案的收费逻辑，只要准确列出函数关系式、正确解方程即可得分，属于基础应用类题目。
【难度系数】
0.8
（1）要写出两个印刷厂的费用函数，先明确各自的收费构成：甲厂总费用=每本印刷费×印刷数量+固定封面设计费，乙厂总费用=每本印刷费×印刷数量，将对应数值代入即可得到函数表达式。
（2）已知总经费为8400元，即函数值y=8400，分别代入两个函数表达式，解出对应的印刷数量x，比较两个x的大小，数值更大的印刷厂更划算。
【解析】
（1）根据题意，甲印刷厂的总费用包含可变印刷费和固定封面设计费，因此函数表达式为：
$y_甲=0.5x+1000$（x为非负整数）
乙印刷厂无固定设计费，仅收取印刷费，因此函数表达式为：
$y_乙=0.6x$（x为非负整数）
（2）当总印刷费用为8400元时：
若选择甲印刷厂，将y=8400代入$y_甲=0.5x+1000$，得：
$8400=0.5x+1000$
移项计算得$0.5x=7400$，解得$x=14800$
若选择乙印刷厂，将y=8400代入$y_乙=0.6x$，得：
$8400=0.6x$
解得$x=14000$
由于$14800＞14000$，因此甲印刷厂可印刷的作业本数量更多。
【答案】
（1）甲印刷厂：$y=0.5x+1000$，乙印刷厂：$y=0.6x$
（2）选择甲印刷厂印刷的作业本数量较多
【知识点】
一次函数的应用、列函数关系式、一元一次方程的解法
【点评】
本题结合印刷收费的生活场景，考查将实际问题转化为数学函数模型的能力，解题核心是理清不同方案的收费逻辑，只要准确列出函数关系式、正确解方程即可得分，属于基础应用类题目。
【难度系数】
0.8
2 某地下停车场的收费标准如下表所示，已知小刚某日开车去购物游玩，10:00进场停车，当日20:00～24:00离开停车场.若设停车时间为x时(x为正整数)，则他此次停车的费用是（
若进场与离场时间不在同一时段，则两时段分别计费
A.$(5x+30)$元
B.$(5x+50)$元
C.$(5x+150)$元
D.$(5x+200)$元
A
）若进场与离场时间不在同一时段，则两时段分别计费
A.$(5x+30)$元
B.$(5x+50)$元
C.$(5x+150)$元
D.$(5x+200)$元
答案
A
解析
【分析】
解题时先分时段梳理停车时长：首先小刚10:00进场，20:00后才离开，因此先确定8:00~20:00时段的固定停车时长，结合该时段最高收费规则算出这部分费用；再用总停车时长x减去第一时段的时长，得到20:00之后的停车时长，按第二时段收费标准计算该部分费用，最后将两部分费用相加化简即可得到总费用。
【解析】
1. 计算8:00~20:00时段的停车费用：
小刚10:00进场，到20:00时，该时段停车时长为$20-10=10$小时；
该时段收费标准为10元/时，原本费用为$10×10=100$元，已知该时段最多收80元，因此这部分实际收费为80元。
2. 计算20:00~离场时段的停车费用：
总停车时长为x小时，因此该时段停车时长为$(x-10)$小时；
该时段收费标准为5元/时，因此这部分费用为$5(x-10)$元。
3. 计算总停车费用：
总费用$=80+5(x-10)=80+5x-50=5x+30$（元）。
【答案】
A
【知识点】
分段计费问题，列代数式，整式化简
【点评】
本题是分段计费的实际应用问题，解题核心是准确划分不同收费时段对应的停车时长，同时不要忽略各时段的最高收费限制，再按照收费标准列式化简即可得到结果。
【难度系数】
0.7
解题时先分时段梳理停车时长：首先小刚10:00进场，20:00后才离开，因此先确定8:00~20:00时段的固定停车时长，结合该时段最高收费规则算出这部分费用；再用总停车时长x减去第一时段的时长，得到20:00之后的停车时长，按第二时段收费标准计算该部分费用，最后将两部分费用相加化简即可得到总费用。
【解析】
1. 计算8:00~20:00时段的停车费用：
小刚10:00进场，到20:00时，该时段停车时长为$20-10=10$小时；
该时段收费标准为10元/时，原本费用为$10×10=100$元，已知该时段最多收80元，因此这部分实际收费为80元。
2. 计算20:00~离场时段的停车费用：
总停车时长为x小时，因此该时段停车时长为$(x-10)$小时；
该时段收费标准为5元/时，因此这部分费用为$5(x-10)$元。
3. 计算总停车费用：
总费用$=80+5(x-10)=80+5x-50=5x+30$（元）。
【答案】
A
【知识点】
分段计费问题，列代数式，整式化简
【点评】
本题是分段计费的实际应用问题，解题核心是准确划分不同收费时段对应的停车时长，同时不要忽略各时段的最高收费限制，再按照收费标准列式化简即可得到结果。
【难度系数】
0.7
3 在某火车站托运物品时,不超过1千克的物品需支付2元,以后每增加1千克(不足1千克按1千克计)需增加托运费0.5元.已知小李托运3.5千克的物品,则他需支付
3.5
元.答案
3.5
解析
【分析】
这是一道分段计费类的实际应用题，解题时需先明确计费规则：①1千克及以内固定收费2元；②超出1千克的部分，每1千克加收0.5元，不足1千克按1千克计算。解题思路可分为三步：第一步先计算超出1千克的重量，第二步按规则对超出重量取整，第三步分别计算基础费用和超出部分费用，求和得到总费用。
【解析】
解：首先计算超出1千克的物品重量：
$3.5 - 1 = 2.5$（千克）
根据“不足1千克按1千克计”的规则，2.5千克需按3千克计算超出部分的重量。
超出部分的托运费为：
$3 × 0.5 = 1.5$（元）
总托运费 = 基础费用 + 超出部分费用，即：
$2 + 1.5 = 3.5$（元）
【答案】
3.5
【知识点】
分段计费问题，有理数混合运算，进一法取值
【点评】
本题是生活中常见的计费类问题，易错点为忽略“不足1千克按1千克计”的规则，直接用实际超出重量计算费用，解题时需认真审题，明确计费规则后再计算。
【难度系数】
0.7
这是一道分段计费类的实际应用题，解题时需先明确计费规则：①1千克及以内固定收费2元；②超出1千克的部分，每1千克加收0.5元，不足1千克按1千克计算。解题思路可分为三步：第一步先计算超出1千克的重量，第二步按规则对超出重量取整，第三步分别计算基础费用和超出部分费用，求和得到总费用。
【解析】
解：首先计算超出1千克的物品重量：
$3.5 - 1 = 2.5$（千克）
根据“不足1千克按1千克计”的规则，2.5千克需按3千克计算超出部分的重量。
超出部分的托运费为：
$3 × 0.5 = 1.5$（元）
总托运费 = 基础费用 + 超出部分费用，即：
$2 + 1.5 = 3.5$（元）
【答案】
3.5
【知识点】
分段计费问题，有理数混合运算，进一法取值
【点评】
本题是生活中常见的计费类问题，易错点为忽略“不足1千克按1千克计”的规则，直接用实际超出重量计算费用，解题时需认真审题，明确计费规则后再计算。
【难度系数】
0.7
4 某市出租车的计费标准如图所示(不足1千米按1千米算).一天,张叔叔乘坐出租车去上班,支付了25元,行驶的里程数可能是(
A.10千米
B.7千米
C.8.5千米
D.9.3千米
C
)A.10千米
B.7千米
C.8.5千米
D.9.3千米
答案
C
解析
【分析】
本题属于分段计费类实际应用题，解题思路如下：首先明确不同里程区间对应的收费标准，先计算3km、6km、10km这几个分界点的总费用，判断25元对应的里程区间；再根据对应区间的收费标准，反推出计费里程；最后结合“不足1千米按1千米算”的规则，确定实际里程的取值范围，匹配选项即可得到答案。
【解析】
1. 计算各分界里程的总费用：
① 行驶里程≤3km时，固定收费10元；
② 当3km＜行驶里程≤6km时，超出3km的部分按2元/千米收费，因此行驶6km的总费用为：$10+(6-3)×2=16$元；
③ 当6km＜行驶里程≤10km时，超出6km的部分按3元/千米收费，因此行驶10km的总费用为：$16+(10-6)×3=28$元。
2. 判断25元对应的里程区间：
因为$16＜25＜28$，所以本次行驶的计费里程在6km到10km之间。
3. 计算25元对应的计费里程：
超出6km部分的费用为$25-16=9$元，对应超出6km的里程为$9÷3=3$km，因此计费总里程为$6+3=9$km。
4. 结合取整规则确定实际里程范围：
根据“不足1千米按1千米算”的规则，说明实际行驶里程满足：$8\mathrm{km}＜\mathrm{实际里程}≤9\mathrm{km}$。
5. 匹配选项：
A.10km对应费用28元，不符合；B.7km对应费用$16+(7-6)×3=19$元，不符合；C.8.5km在$(8,9]$区间内，按9km计费，费用为25元，符合要求；D.9.3km按10km计费，对应费用28元，不符合。
【答案】
C
【知识点】
分段计费，实际问题取整规则
【点评】
本题结合生活中出租车收费的常见场景考查分段计费问题，解题核心是理清各里程段的收费标准，易错点是容易忽略“不足1千米按1千米算”的取整规则，导致对实际里程的范围判断错误。
【难度系数】
0.7
本题属于分段计费类实际应用题，解题思路如下：首先明确不同里程区间对应的收费标准，先计算3km、6km、10km这几个分界点的总费用，判断25元对应的里程区间；再根据对应区间的收费标准，反推出计费里程；最后结合“不足1千米按1千米算”的规则，确定实际里程的取值范围，匹配选项即可得到答案。
【解析】
1. 计算各分界里程的总费用：
① 行驶里程≤3km时，固定收费10元；
② 当3km＜行驶里程≤6km时，超出3km的部分按2元/千米收费，因此行驶6km的总费用为：$10+(6-3)×2=16$元；
③ 当6km＜行驶里程≤10km时，超出6km的部分按3元/千米收费，因此行驶10km的总费用为：$16+(10-6)×3=28$元。
2. 判断25元对应的里程区间：
因为$16＜25＜28$，所以本次行驶的计费里程在6km到10km之间。
3. 计算25元对应的计费里程：
超出6km部分的费用为$25-16=9$元，对应超出6km的里程为$9÷3=3$km，因此计费总里程为$6+3=9$km。
4. 结合取整规则确定实际里程范围：
根据“不足1千米按1千米算”的规则，说明实际行驶里程满足：$8\mathrm{km}＜\mathrm{实际里程}≤9\mathrm{km}$。
5. 匹配选项：
A.10km对应费用28元，不符合；B.7km对应费用$16+(7-6)×3=19$元，不符合；C.8.5km在$(8,9]$区间内，按9km计费，费用为25元，符合要求；D.9.3km按10km计费，对应费用28元，不符合。
【答案】
C
【知识点】
分段计费，实际问题取整规则
【点评】
本题结合生活中出租车收费的常见场景考查分段计费问题，解题核心是理清各里程段的收费标准，易错点是容易忽略“不足1千米按1千米算”的取整规则，导致对实际里程的范围判断错误。
【难度系数】
0.7
5 某小组的同学对A,B两个充电站的收费情况进行了调查,调查结果如下表:
(1) 若汽车充电的总电量为$x$千瓦·时.
① 求在充电站A所需支付的费用$y_1$(元)与$x$之间的函数表达式；
② 请分别写出当$0＜x≤20$和$x＞20$时,在充电站B需要支付的费用$y_2$(元)与$x$之间的函数表达式.
(2) 出租车司机小李和小王分别在A,B两个充电站充电,充电结束后两人所支付的费用相同.求他们此次的充电的总电量.
(1) 若汽车充电的总电量为$x$千瓦·时.
① 求在充电站A所需支付的费用$y_1$(元)与$x$之间的函数表达式；
② 请分别写出当$0＜x≤20$和$x＞20$时,在充电站B需要支付的费用$y_2$(元)与$x$之间的函数表达式.
(2) 出租车司机小李和小王分别在A,B两个充电站充电,充电结束后两人所支付的费用相同.求他们此次的充电的总电量.
答案
（1）① 在充电站A所需支付的费用$y_1$(元)与$x$之间的函数表达式为$y_1=1.5x$
② 当$0＜x≤20$时，$y_2=1.2x$；当$x＞20$时，$y_2=0.8(x-20)+1.2x=2x-16$。所以在充电站B需要支付的费用$y_2$（元）与$x$之间的函数表达式为$y_2=\begin{cases}1.2x(0＜x≤20),\\2x-16(x＞20)\end{cases}$
（2）当$0＜x≤20$时，由$y_1=y_2$，得$1.5x=1.2x$，该方程无解；当$x＞20$时，由$y_1=y_2$，得$1.5x=2x-16$，解得$x=32$。所以他们此次的充电的总电量是32千瓦·时
② 当$0＜x≤20$时，$y_2=1.2x$；当$x＞20$时，$y_2=0.8(x-20)+1.2x=2x-16$。所以在充电站B需要支付的费用$y_2$（元）与$x$之间的函数表达式为$y_2=\begin{cases}1.2x(0＜x≤20),\\2x-16(x＞20)\end{cases}$
（2）当$0＜x≤20$时，由$y_1=y_2$，得$1.5x=1.2x$，该方程无解；当$x＞20$时，由$y_1=y_2$，得$1.5x=2x-16$，解得$x=32$。所以他们此次的充电的总电量是32千瓦·时
解析
【分析】
解题首先要读懂两个充电站的收费规则：①充电站A无服务费，仅按1.5元/千瓦·时收充电费，直接用“总费用=单价×总电量”即可写出函数表达式；②充电站B前4小时免服务费，结合充电速度可算出前4小时最多充电$4×5=20$千瓦·时，因此以$x=20$为分段点：当充电量不超过20千瓦·时时，仅按1.2元/千瓦·时收充电费；当充电量超过20千瓦·时时，全部电量收1.2元/千瓦·时的充电费，超出20千瓦·时的部分额外收0.8元/千瓦·时的服务费，据此分段写函数。第二问费用相等时，分两个分段区间分别列方程求解，舍去不符合区间要求的解即可。
【解析】
(1) ① 充电站A服务费免费，仅需支付充电费，因此总费用为充电单价乘总电量：
$y_1=1.5x \quad (x＞0)$
② 先计算充电站B前4小时的最大充电量：$4×5=20$（千瓦·时）
当$0＜x≤20$时，充电时长不超过4小时，服务费全免，仅需支付充电费：
$y_2=1.2x$
当$x＞20$时，充电时长超过4小时，全部电量收1.2元/千瓦·时的充电费，超出20千瓦·时的部分额外收0.8元/千瓦·时的服务费：
$y_2=1.2x + 0.8(x-20)=2x-16$
综上，$y_2=\begin{cases}1.2x&(0＜x≤20)\\2x-16&(x＞20)\end{cases}$
(2) 分两种情况讨论费用相等的情况：
当$0＜x≤20$时，令$y_1=y_2$，得：
$1.5x=1.2x$
解得$x=0$，不符合$0＜x≤20$的要求，无解。
当$x＞20$时，令$y_1=y_2$，得：
$1.5x=2x-16$
移项计算得$0.5x=16$，解得$x=32$，符合$x＞20$的要求。
【答案】
（1）① $y_1=1.5x$；② $y_2=\begin{cases}1.2x(0＜x≤20)\\2x-16(x＞20)\end{cases}$
（2）32千瓦·时
【知识点】
一次函数的应用；分段函数；一元一次方程的应用
【点评】
本题是典型的分段计费实际应用题，解题核心是理清不同收费规则的适用范围，找准分段节点，正确写出对应区间的函数表达式，列方程求解后要注意验证解是否符合对应区间的取值要求，避免出现增解。
【难度系数】
0.7
解题首先要读懂两个充电站的收费规则：①充电站A无服务费，仅按1.5元/千瓦·时收充电费，直接用“总费用=单价×总电量”即可写出函数表达式；②充电站B前4小时免服务费，结合充电速度可算出前4小时最多充电$4×5=20$千瓦·时，因此以$x=20$为分段点：当充电量不超过20千瓦·时时，仅按1.2元/千瓦·时收充电费；当充电量超过20千瓦·时时，全部电量收1.2元/千瓦·时的充电费，超出20千瓦·时的部分额外收0.8元/千瓦·时的服务费，据此分段写函数。第二问费用相等时，分两个分段区间分别列方程求解，舍去不符合区间要求的解即可。
【解析】
(1) ① 充电站A服务费免费，仅需支付充电费，因此总费用为充电单价乘总电量：
$y_1=1.5x \quad (x＞0)$
② 先计算充电站B前4小时的最大充电量：$4×5=20$（千瓦·时）
当$0＜x≤20$时，充电时长不超过4小时，服务费全免，仅需支付充电费：
$y_2=1.2x$
当$x＞20$时，充电时长超过4小时，全部电量收1.2元/千瓦·时的充电费，超出20千瓦·时的部分额外收0.8元/千瓦·时的服务费：
$y_2=1.2x + 0.8(x-20)=2x-16$
综上，$y_2=\begin{cases}1.2x&(0＜x≤20)\\2x-16&(x＞20)\end{cases}$
(2) 分两种情况讨论费用相等的情况：
当$0＜x≤20$时，令$y_1=y_2$，得：
$1.5x=1.2x$
解得$x=0$，不符合$0＜x≤20$的要求，无解。
当$x＞20$时，令$y_1=y_2$，得：
$1.5x=2x-16$
移项计算得$0.5x=16$，解得$x=32$，符合$x＞20$的要求。
【答案】
（1）① $y_1=1.5x$；② $y_2=\begin{cases}1.2x(0＜x≤20)\\2x-16(x＞20)\end{cases}$
（2）32千瓦·时
【知识点】
一次函数的应用；分段函数；一元一次方程的应用
【点评】
本题是典型的分段计费实际应用题，解题核心是理清不同收费规则的适用范围，找准分段节点，正确写出对应区间的函数表达式，列方程求解后要注意验证解是否符合对应区间的取值要求，避免出现增解。
【难度系数】
0.7
