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1.(2025·大连中山区期末)在学习整式的乘法时,小明给出定义:若一个整数能表示成$a^2+b^2$($a$,$b$是整数)的形式,则称这个数为“妙数”.例如:因为$10=3^2+1^2$,所以10是“妙数”;$M=x^2+2x+2=(x+1)^2+1^2$($x$是整数),所以$M$也是“妙数”.
(1)判断:20
(2)已知$M=x^2+4xy+8y^2-12y+8+k$($x$,$y$是整数),$k$是常数,要使$M$是“妙数”,试求出一个符合条件的$k$的值,并说明理由.
(1)判断:20
是
(填“是”或者“不是”)“妙数”;(2)已知$M=x^2+4xy+8y^2-12y+8+k$($x$,$y$是整数),$k$是常数,要使$M$是“妙数”,试求出一个符合条件的$k$的值,并说明理由.
答案
(1)是
(2)$k=1$.理由如下：
$M=x^2+4xy+8y^2-12y+8+k=(x^2+4xy+4y^2)+(4y^2-12y+8+k)=(x+2y)^2+(4y^2-12y+8+k).$
$\because$要使$M$是“妙数”,则$4y^2-12y+8+k$必须是完全平方式,
$\therefore 8+k=9$,解得$k=1.$
(2)$k=1$.理由如下：
$M=x^2+4xy+8y^2-12y+8+k=(x^2+4xy+4y^2)+(4y^2-12y+8+k)=(x+2y)^2+(4y^2-12y+8+k).$
$\because$要使$M$是“妙数”,则$4y^2-12y+8+k$必须是完全平方式,
$\therefore 8+k=9$,解得$k=1.$
解析
【分析】
(1)根据“妙数”的定义，只需判断20能否写成两个整数的平方和即可，可尝试寻找整数a、b满足$a^2+b^2=20$；
(2)要使M为“妙数”，需将M通过配方法转化为两个整数平方和的形式，先把含x的项与$4y^2$组合配成完全平方，再令剩余含y和k的部分也为完全平方式，即可求出符合条件的k值。
【解析】
(1)
∵$20=4^2+2^2$，4和2都是整数，符合“妙数”的定义，
∴20是“妙数”。
(2)取$k=1$，理由如下：
对M变形：
$\begin{aligned}M&=x^2+4xy+8y^2-12y+8+k\\&=(x^2+4xy+4y^2)+(4y^2-12y+8+k)\\&=(x+2y)^2+(4y^2-12y+8+k)\end{aligned}$
要使M是“妙数”，则$4y^2-12y+8+k$需为完全平方式，
观察$4y^2-12y=(2y)^2-2×2y×3$，配成完全平方式需加$3^2=9$，
因此$8+k=9$，解得$k=1$。
此时$M=(x+2y)^2+(2y-3)^2$，x、y是整数，故$x+2y$、$2y-3$均为整数，符合“妙数”的定义。
【答案】
(1)是
(2)$k=1$，理由见解析
【知识点】
新定义问题；配方法的应用；完全平方公式
【点评】
本题以新定义“妙数”为载体，核心考查完全平方公式的灵活运用，解题的关键是掌握配方的技巧，将多项式合理拆分后转化为两个平方和的形式，能较好地考查学生的知识迁移能力。
【难度系数】
0.7
(1)根据“妙数”的定义，只需判断20能否写成两个整数的平方和即可，可尝试寻找整数a、b满足$a^2+b^2=20$；
(2)要使M为“妙数”，需将M通过配方法转化为两个整数平方和的形式，先把含x的项与$4y^2$组合配成完全平方，再令剩余含y和k的部分也为完全平方式，即可求出符合条件的k值。
【解析】
(1)
∵$20=4^2+2^2$，4和2都是整数，符合“妙数”的定义，
∴20是“妙数”。
(2)取$k=1$，理由如下：
对M变形：
$\begin{aligned}M&=x^2+4xy+8y^2-12y+8+k\\&=(x^2+4xy+4y^2)+(4y^2-12y+8+k)\\&=(x+2y)^2+(4y^2-12y+8+k)\end{aligned}$
要使M是“妙数”，则$4y^2-12y+8+k$需为完全平方式，
观察$4y^2-12y=(2y)^2-2×2y×3$，配成完全平方式需加$3^2=9$，
因此$8+k=9$，解得$k=1$。
此时$M=(x+2y)^2+(2y-3)^2$，x、y是整数，故$x+2y$、$2y-3$均为整数，符合“妙数”的定义。
【答案】
(1)是
(2)$k=1$，理由见解析
【知识点】
新定义问题；配方法的应用；完全平方公式
【点评】
本题以新定义“妙数”为载体，核心考查完全平方公式的灵活运用，解题的关键是掌握配方的技巧，将多项式合理拆分后转化为两个平方和的形式，能较好地考查学生的知识迁移能力。
【难度系数】
0.7
2.阅读下列材料：
利用完全平方公式,可以把多项式$x^2+bx+c$变形为$(x+m)^2+n$的形式.
例如,$x^2-4x+3=x^2-4x+4-4+3=(x-2)^2-1$.
观察上式可以发现,当$x-2$取任意一对互为相反数的值时,多项式$x^2-4x+3$的值是相等的.例如,当$x-2=\pm1$,即$x=3$或1时,$x^2-4x+3$的值均为0;当$x-2=\pm2$,即$x=4$或0时,$x^2-4x+3$的值均为3.
我们给出如下定义:对于关于$x$的多项式,若当$x+m$取任意一对互为相反数的值时,该多项式的值相等,则称该多项式关于$x=-m$对称,称$x=-m$是它的对称轴.例如,$x^2-4x+3$关于$x=2$对称,$x=2$是它的对称轴.
请根据上述材料解决下列问题:
(1)将多项式$x^2-6x+5$变形为$(x+m)^2+n$的形式,并求出它的对称轴;
(2)若关于$x$的多项式$x^2+2ax-1$关于$x=-5$对称,求$a$的值;
(3)求代数式$(x^2+2x+1)(x^2-8x+16)$的对称轴.
利用完全平方公式,可以把多项式$x^2+bx+c$变形为$(x+m)^2+n$的形式.
例如,$x^2-4x+3=x^2-4x+4-4+3=(x-2)^2-1$.
观察上式可以发现,当$x-2$取任意一对互为相反数的值时,多项式$x^2-4x+3$的值是相等的.例如,当$x-2=\pm1$,即$x=3$或1时,$x^2-4x+3$的值均为0;当$x-2=\pm2$,即$x=4$或0时,$x^2-4x+3$的值均为3.
我们给出如下定义:对于关于$x$的多项式,若当$x+m$取任意一对互为相反数的值时,该多项式的值相等,则称该多项式关于$x=-m$对称,称$x=-m$是它的对称轴.例如,$x^2-4x+3$关于$x=2$对称,$x=2$是它的对称轴.
请根据上述材料解决下列问题:
(1)将多项式$x^2-6x+5$变形为$(x+m)^2+n$的形式,并求出它的对称轴;
(2)若关于$x$的多项式$x^2+2ax-1$关于$x=-5$对称,求$a$的值;
(3)求代数式$(x^2+2x+1)(x^2-8x+16)$的对称轴.
答案
(1)$原式=(x-3)^2-4$,该多项式的对称轴是$x=3$
(2)$a=5$
(3)$x=\frac{3}{2}$
(2)$a=5$
(3)$x=\frac{3}{2}$
解析
【分析】
本题是结合配方法与新定义的综合题，解题核心是先读懂材料内容：①会用配方法把二次三项式$x^2+bx+c$变形为$(x+m)^2+n$的形式；②明确多项式对称轴的定义：变形为$(x+m)^2+n$的形式后，对称轴为$x=-m$。解题思路如下：(1)直接对$x^2-6x+5$配方，得到顶点式后套用定义求对称轴；(2)先对$x^2+2ax-1$配方得到顶点式，结合已知对称轴列等式求解$a$；(3)先对原式的两个因式用完全平方公式因式分解，再利用积的乘方逆运算化简，最后对化简后的式子中的二次式配方，即可求出对称轴。
【解析】
(1) 对多项式$x^2-6x+5$配方：
$\begin{aligned}x^2-6x+5&=x^2-6x+9-9+5\\&=(x-3)^2-4\end{aligned}$
根据定义，该多项式中$m=-3$，因此对称轴为$x=-m=3$。
(2) 对多项式$x^2+2ax-1$配方：
$\begin{aligned}x^2+2ax-1&=x^2+2ax+a^2-a^2-1\\&=(x+a)^2-(a^2+1)\end{aligned}$
根据定义，该多项式的对称轴为$x=-a$，已知其关于$x=-5$对称，因此：
$-a=-5$
解得$a=5$。
(3) 先利用完全平方公式因式分解原式：
$\begin{aligned}(x^2+2x+1)(x^2-8x+16)&=(x+1)^2(x-4)^2\\&=[(x+1)(x-4)]^2\\&=(x^2-3x-4)^2\end{aligned}$
对括号内的二次式$x^2-3x-4$配方：
$\begin{aligned}x^2-3x-4&=x^2-3x+(\frac{3}{2})^2-(\frac{3}{2})^2-4\\&=(x-\frac{3}{2})^2-\frac{25}{4}\end{aligned}$
因此原式可变形为$[(x-\frac{3}{2})^2-\frac{25}{4}]^2$，根据定义，该代数式的对称轴为$x=\frac{3}{2}$。
【答案】
(1)$原式=(x-3)^2-4$,该多项式的对称轴是$x=3$
(2)$a=5$
(3)$x=\frac{3}{2}$
【知识点】
配方法的应用，完全平方公式，新定义运算
【点评】
本题考查知识的迁移应用能力，解题关键是准确理解材料给出的对称轴定义，熟练掌握完全平方公式的变形和配方法，第三问需要灵活运用因式分解、积的乘方运算简化式子，降低解题难度。
【难度系数】
0.7
本题是结合配方法与新定义的综合题，解题核心是先读懂材料内容：①会用配方法把二次三项式$x^2+bx+c$变形为$(x+m)^2+n$的形式；②明确多项式对称轴的定义：变形为$(x+m)^2+n$的形式后，对称轴为$x=-m$。解题思路如下：(1)直接对$x^2-6x+5$配方，得到顶点式后套用定义求对称轴；(2)先对$x^2+2ax-1$配方得到顶点式，结合已知对称轴列等式求解$a$；(3)先对原式的两个因式用完全平方公式因式分解，再利用积的乘方逆运算化简，最后对化简后的式子中的二次式配方，即可求出对称轴。
【解析】
(1) 对多项式$x^2-6x+5$配方：
$\begin{aligned}x^2-6x+5&=x^2-6x+9-9+5\\&=(x-3)^2-4\end{aligned}$
根据定义，该多项式中$m=-3$，因此对称轴为$x=-m=3$。
(2) 对多项式$x^2+2ax-1$配方：
$\begin{aligned}x^2+2ax-1&=x^2+2ax+a^2-a^2-1\\&=(x+a)^2-(a^2+1)\end{aligned}$
根据定义，该多项式的对称轴为$x=-a$，已知其关于$x=-5$对称，因此：
$-a=-5$
解得$a=5$。
(3) 先利用完全平方公式因式分解原式：
$\begin{aligned}(x^2+2x+1)(x^2-8x+16)&=(x+1)^2(x-4)^2\\&=[(x+1)(x-4)]^2\\&=(x^2-3x-4)^2\end{aligned}$
对括号内的二次式$x^2-3x-4$配方：
$\begin{aligned}x^2-3x-4&=x^2-3x+(\frac{3}{2})^2-(\frac{3}{2})^2-4\\&=(x-\frac{3}{2})^2-\frac{25}{4}\end{aligned}$
因此原式可变形为$[(x-\frac{3}{2})^2-\frac{25}{4}]^2$，根据定义，该代数式的对称轴为$x=\frac{3}{2}$。
【答案】
(1)$原式=(x-3)^2-4$,该多项式的对称轴是$x=3$
(2)$a=5$
(3)$x=\frac{3}{2}$
【知识点】
配方法的应用，完全平方公式，新定义运算
【点评】
本题考查知识的迁移应用能力，解题关键是准确理解材料给出的对称轴定义，熟练掌握完全平方公式的变形和配方法，第三问需要灵活运用因式分解、积的乘方运算简化式子，降低解题难度。
【难度系数】
0.7
