1.(2024·湖北)计算$2x· 3x^2$的结果是 （）

A.$5x^2$
B.$6x^2$
C.$5x^3$
D.$6x^3$

1.D

【分析】
本题考查单项式与单项式的乘法运算，解题思路如下：首先回忆单项式乘单项式的运算法则，运算时分为两部分计算：一是将两个单项式的系数相乘得到结果的系数，二是把同底数幂相乘，底数不变、指数相加得到幂的部分，最后将两部分的结果合并即可，注意不要和同类项合并的运算规则混淆。
【解析】
根据单项式乘单项式的运算法则计算：
$2x·3x^2$
$=(2×3)·(x· x^2)$
第一步，计算系数的乘积：$2×3=6$
第二步，计算同底数幂的乘积：根据同底数幂乘法规则，底数不变，指数相加，可得$x· x^2=x^{1+2}=x^3$
将两部分结果合并，得$2x·3x^2=6x^3$
因此本题选D。
【答案】
D
【知识点】
单项式乘单项式；同底数幂的乘法
【点评】
本题是基础运算类题目，主要考查单项式乘法的运算规则，解题时要注意区分系数运算和指数运算的差异，避免出现系数相加、指数相乘的低级错误。
【难度系数】
0.9

2.计算：$2x · (-3x^2y^3) =$ .

2.$-6x^3y^3$

【分析】
这是单项式与单项式相乘的运算题，解题时遵循单项式乘单项式的运算法则思考即可：第一步先将两个单项式的系数相乘，注意符号运算；第二步对相同字母的幂，按照同底数幂的乘法法则（底数不变，指数相加）进行计算；第三步对于只在一个单项式里含有的字母，连同它的指数直接作为积的一个因式，最后将各部分结果整理合并即可得到最终乘积。
【解析】
根据单项式乘单项式的运算法则计算：
$\begin{aligned}2x · (-3x^2y^3) &= [2×(-3)] · (x · x^2) · y^3\\&= -6 · x^{1+2} · y^3\\&= -6x^3y^3\end{aligned}$
【答案】
$\boldsymbol{-6x^3y^3}$
【知识点】
单项式乘单项式；同底数幂的乘法
【点评】
本题属于基础运算题，重点考查单项式乘法的运算法则，解题时需注意系数的符号运算，避免同底数幂指数运算时出现指数相乘的错误。
【难度系数】
0.9

3.计算:
(1)$\frac{1}{3}a^2 · (-6ab)$；
(2)$(-\frac{1}{2}xyz) · \frac{2}{3}x^2y^2$；
(3)$(-3x^2y)^2 · (-\frac{1}{6}x^3yz)$；
(4)$5(x^2y)^2 · (-2xy^2)^3$。

3.(1)$-2a^3b$ (2)$-\frac{1}{3}x^3y^3z$ (3)$-\frac{3}{2}x^7y^3z$ (4)$-40x^7y^8$

【分析】
这组题考查单项式与单项式的乘法运算，解题思路如下：①先观察式子是否含有乘方运算，若有则先根据积的乘方、幂的乘方法则计算乘方部分；②再按照单项式乘单项式的法则运算：先把各单项式的系数相乘，注意符号判断；再把相同字母的幂分别相乘，依据同底数幂相乘底数不变、指数相加的规则计算；③对于只在一个单项式里含有的字母，连同它的指数直接作为积的一个因式，最后合并各部分结果得到最终答案。
【解析】
(1) 计算$\frac{1}{3}a^2 · (-6ab)$：
先计算系数的乘积：$\frac{1}{3}×(-6)=-2$
再计算同底数幂的乘积：$a^2·a=a^{2+1}=a^3$，单独因式$b$直接保留
因此原式$=-2a^3b$
(2) 计算$(-\frac{1}{2}xyz) · \frac{2}{3}x^2y^2$：
先计算系数的乘积：$(-\frac{1}{2})×\frac{2}{3}=-\frac{1}{3}$
再计算同底数幂的乘积：$x·x^2=x^{1+2}=x^3$，$y·y^2=y^{1+2}=y^3$，单独因式$z$直接保留
因此原式$=-\frac{1}{3}x^3y^3z$
(3) 计算$(-3x^2y)^2 · (-\frac{1}{6}x^3yz)$：
先算乘方：$(-3x^2y)^2=(-3)^2·(x^2)^2·y^2=9x^4y^2$
再计算系数的乘积：$9×(-\frac{1}{6})=-\frac{3}{2}$
再计算同底数幂的乘积：$x^4·x^3=x^{4+3}=x^7$，$y^2·y=y^{2+1}=y^3$，单独因式$z$直接保留
因此原式$=-\frac{3}{2}x^7y^3z$
(4) 计算$5(x^2y)^2 · (-2xy^2)^3$：
先分别算乘方：$(x^2y)^2=(x^2)^2·y^2=x^4y^2$，$(-2xy^2)^3=(-2)^3·x^3·(y^2)^3=-8x^3y^6$
再计算系数的乘积：$5×(-8)=-40$
再计算同底数幂的乘积：$x^4·x^3=x^{4+3}=x^7$，$y^2·y^6=y^{2+6}=y^8$
因此原式$=-40x^7y^8$
【答案】
(1)$-2a^3b$；(2)$-\frac{1}{3}x^3y^3z$；(3)$-\frac{3}{2}x^7y^3z$；(4)$-40x^7y^8$
【知识点】
单项式乘单项式；积的乘方；幂的乘方
【点评】
本题是单项式乘法的基础训练题，重点考查运算顺序和运算法则的应用，计算时要格外注意系数的符号判断，以及幂运算中指数的运算规则，避免出现符号错误或指数运算混淆的问题。
【难度系数】
0.85

4.已知光的速度约是$3× 10^{5}\ \mathrm{km/s}$，太阳光照射到地球上需要的时间约是$5× 10^{2}\ \mathrm{s}$，那么地球到太阳的距离约是。

4.$1.5×10^8\ \mathrm{km}$

【分析】
要计算地球到太阳的距离，首先根据行程问题的基础公式“路程=速度×时间”，将已知的光速、光照时间代入公式列式即可。由于两个已知数均为科学计数法形式，计算时遵循单项式乘法规则：先把系数相乘，再把同底数幂相乘，最后将结果整理为符合规范的科学计数法形式即可。
【解析】
解：根据路程=速度×时间，可得地球到太阳的距离为：
$\begin{aligned}&(3×10^5)×(5×10^2)\\=&(3×5)×(10^5×10^2)\\=&15×10^{5+2}\\=&15×10^7\\=&1.5×10^8\ (\mathrm{km})\end{aligned}$
【答案】
$1.5×10^8\ \mathrm{km}$
【知识点】
科学计数法运算；单项式乘单项式；同底数幂乘法
【点评】
本题是科学计数法的实际应用类题目，结合了行程问题的基础公式，解题核心是熟练掌握单项式乘法、同底数幂的运算规则，需注意最终结果要满足科学计数法“$1≤ a＜10$”的规范要求。
【难度系数】
0.85

5.如图，四边形ABCG和四边形CDEF都是长方形，则它们的面积之和为.(用含$x$，$y$的式子表示)

5.$\frac{13}{2}xy$

【分析】
要求两个长方形的面积之和，首先需要运用长方形面积公式分别求出两个长方形的面积，再将两个面积相加，最后化简为最简整式即可。解题时首先找准每个长方形对应的长和宽，再按单项式乘单项式的法则计算面积，最后合并同类项得到结果。
【解析】
首先计算长方形ABCG的面积：
长方形ABCG的长为$\frac{3}{2}x$，宽为$3y$，根据长方形面积=长×宽，可得：
$S_{ABCG}=\frac{3}{2}x × 3y = \frac{9}{2}xy$
再计算长方形CDEF的面积：
长方形CDEF的长为$x$，宽为$2y$，同理可得：
$S_{CDEF}=x × 2y = 2xy$
最后计算两个长方形的面积和：
$S_{总}=S_{ABCG}+S_{CDEF}=\frac{9}{2}xy + 2xy = \frac{9}{2}xy + \frac{4}{2}xy = \frac{13}{2}xy$
【答案】
$\frac{13}{2}xy$
【知识点】
长方形面积计算；单项式乘单项式；合并同类项
【点评】
本题是整式运算与几何面积计算结合的基础题，解题核心是准确识别长方形的长和宽，正确进行单项式的乘法运算和同类项合并，计算时注意系数的运算不要出错。
【难度系数】
0.8

6.如果单项式$-3x^{4a - b}y^2$与$\frac{1}{3}x^3y^{a + b}$是同类项，那么这两个单项式的积是（）

A.$-x^6y^4$
B.$x^6y^4$
C.$-3x^3y^2$
D.$-\frac{8}{3}x^3y^2$

6.A

【分析】
解题首先要回忆同类项的定义：所含字母相同，且相同字母的指数也分别相等的项是同类项。第一步先根据同类项的性质列等式，求出两个单项式中x、y对应的指数，再按照单项式乘单项式的运算法则（系数相乘作为积的系数，同底数幂分别相乘）计算两个单项式的乘积，就能得到结果。
【解析】
解：
∵单项式$-3x^{4a - b}y^2$与$\frac{1}{3}x^3y^{a + b}$是同类项
∴根据同类项的定义可得：
$\begin{cases}4a - b = 3&①\\a + b = 2&②\end{cases}$
①+②得：$5a=5$，解得$a=1$
将$a=1$代入②得：$1 + b=2$，解得$b=1$
∴两个单项式分别为$-3x^3y^2$和$\frac{1}{3}x^3y^2$
计算两个单项式的乘积：
$\begin{aligned}-3x^3y^2 × \frac{1}{3}x^3y^2&=(-3 × \frac{1}{3}) × (x^3 · x^3) × (y^2 · y^2)\\&=-1 × x^{3+3} × y^{2+2}\\&=-x^6y^4\end{aligned}$
【答案】
A
【知识点】
同类项的定义；单项式乘单项式；同底数幂的乘法
【点评】
本题是基础运算类题型，核心是先利用同类项的性质确定单项式中各字母的指数，再严格按照单项式乘法的运算规则计算即可，是同类知识的常见考查形式。
【难度系数】
0.8

7.若$x^{m+n}=3$，$y^{m+2}=2$，则$2x^m y^2 · (-3x^n y^m)$的值为（）

A.1
B.$-1$
C.36
D.$-36$

7.D

【分析】
解题时首先利用单项式乘单项式的运算法则化简待求的代数式，将系数、同底数幂分别计算后，可发现化简结果中的幂的指数刚好和已知条件给出的幂的指数对应，此时不需要单独求解m、n的取值，直接将已知条件整体代入化简后的式子计算即可得到结果。
【解析】
先根据单项式与单项式相乘的法则计算待求式：
$\begin{aligned}2x^m y^2 · (-3x^n y^m) &= [2×(-3)]· (x^m· x^n)· (y^2· y^m) \\&=-6x^{m+n}y^{m+2}\end{aligned}$
已知$x^{m+n}=3$，$y^{m+2}=2$，将其代入上式得：
$-6×3×2=-36$
【答案】
D
【知识点】
单项式与单项式相乘、同底数幂的乘法、整体代入求值
【点评】
本题侧重考察单项式乘法运算的掌握情况，解题核心是正确化简待求式，结合整体代入思想简化计算，避免不必要的复杂运算，能有效检验对运算法则的灵活应用能力。
【难度系数】
0.7

8.若$(2xy^2)^3 · (\frac{1}{4}x^m y^n)^2 = \frac{1}{2}x^7 y^8$，则$m=$，$n=$。

8.2 1

【分析】
要解决这道题，我们的解题思路分为三步：第一步，先利用积的乘方和幂的乘方法则，分别计算等式左边两个乘方项的结果；第二步，按照单项式与单项式相乘的法则，将化简后的两个单项式相乘，得到左边化简后的最终形式；第三步，根据等式两边相同字母的指数对应相等，分别列出关于m、n的一元一次方程，解方程即可求出m、n的值。
【解析】
先化简等式左边的式子：
1. 计算乘方项：
根据积的乘方法则$(ab)^n=a^n b^n$，幂的乘方法则$(a^m)^n=a^{mn}$，可得：
$(2xy^2)^3=2^3 · x^3 · (y^2)^3=8x^3y^6$
$(\frac{1}{4}x^m y^n)^2=(\frac{1}{4})^2 · (x^m)^2 · (y^n)^2=\frac{1}{16}x^{2m}y^{2n}$
2. 计算单项式乘法：
根据单项式乘单项式法则，系数相乘，同底数幂分别相乘，可得：
$8x^3y^6 · \frac{1}{16}x^{2m}y^{2n} = (8 × \frac{1}{16}) · x^{3+2m} · y^{6+2n} = \frac{1}{2}x^{3+2m}y^{6+2n}$
3. 对应指数列方程求解：
已知化简后左边等于$\frac{1}{2}x^7 y^8$，等式两边系数相同，因此相同字母的指数相等：
对x的指数：$3+2m=7$，解得$2m=4$，$m=2$
对y的指数：$6+2n=8$，解得$2n=2$，$n=1$
【答案】
2；1
【知识点】
积的乘方运算，单项式乘单项式，同底数幂的乘法
【点评】
本题是整式乘法的基础应用题，核心考查幂的运算法则和单项式乘法的综合运用，解题时要注意先算乘方再算乘法，不要混淆各类指数运算规则，熟练掌握相关法则就能快速求解。
【难度系数】
0.8

9.计算:
(1)$(-\dfrac{1}{3}x^2y)^3 · (-2xy^2z)^2 · \dfrac{3}{4}x^3z^2$;
(2)$(-3a^3)^2 · a^3 + (-4a^2) · a^7 - (5a^3)^3$.

9.(1)$-\frac{1}{9}x^{11}y^7z^4$ (2)$-120a^9$

【分析】
本题考查整式的乘法混合运算，解题思路如下：①先利用积的乘方、幂的乘方法则计算式中的乘方运算，注意符号和指数的运算规则；②再按照单项式与单项式相乘的法则，将系数、同底数幂分别相乘，单独出现的字母连同指数作为积的因式；③若运算后有同类项，需合并同类项得到最终结果。
【解析】
(1) 先计算乘方运算，再计算单项式乘法：
$\begin{aligned}&(-\dfrac{1}{3}x^2y)^3 · (-2xy^2z)^2 · \dfrac{3}{4}x^3z^2\\=&(-\dfrac{1}{27}x^6y^3) · (4x^2y^4z^2) · \dfrac{3}{4}x^3z^2\\=&(-\dfrac{1}{27}×4×\dfrac{3}{4}) · (x^6·x^2·x^3) · (y^3·y^4) · (z^2·z^2)\\=&-\dfrac{1}{9}x^{11}y^7z^4\end{aligned}$
(2) 先计算乘方、单项式乘法，再合并同类项：
$\begin{aligned}&(-3a^3)^2 · a^3 + (-4a^2) · a^7 - (5a^3)^3\\=&9a^6·a^3 -4a^9 -125a^9\\=&9a^9 -4a^9 -125a^9\\=&(9-4-125)a^9\\=&-120a^9\end{aligned}$
【答案】
(1)$-\dfrac{1}{9}x^{11}y^7z^4$；(2)$-120a^9$
【知识点】
积的乘方；单项式乘单项式；合并同类项
【点评】
本题属于整式运算的基础题型，核心是熟练掌握幂的相关运算法则，运算过程中要特别注意系数的符号和幂的指数的计算，避免因粗心出错。
【难度系数】
0.8

10.先化简,再求值:$(-2a^2b^3) · (-ab^2)^2 + (-\dfrac{1}{2}a^2b^3)^2 · 4b$,其中$a=2,b=1$.

10.化简的结果为$-a^4b^7$,值为$-16$

【分析】
这是一道整式化简求值题，遵循“先化简，再求值”的原则解题，运算顺序为：先算乘方，再算乘法，最后合并同类项得到最简结果，最后代入a、b的数值计算最终结果。计算乘方时需用到积的乘方、幂的乘方法则，计算乘法时用到单项式与单项式相乘的法则，合并同类项时只需合并同类项的系数，字母和字母的指数保持不变。
【解析】
解：先化简原式：
1. 计算乘方项：
$(-ab^2)^2=(-1)^2· a^2· (b^2)^2=a^2b^4$
$(-\dfrac{1}{2}a^2b^3)^2=(-\dfrac{1}{2})^2· (a^2)^2· (b^3)^2=\dfrac{1}{4}a^4b^6$
2. 计算单项式乘法：
第一项：$(-2a^2b^3) · a^2b^4 = -2× a^{2+2}× b^{3+4}=-2a^4b^7$
第二项：$\dfrac{1}{4}a^4b^6 · 4b = (\dfrac{1}{4}×4)× a^4× b^{6+1}=a^4b^7$
3. 合并同类项：
原式$=-2a^4b^7 + a^4b^7 = -a^4b^7$
再代入$a=2,b=1$求值：
当$a=2,b=1$时，
原式$=-2^4×1^7=-16×1=-16$
【答案】
化简的结果为$-a^4b^7$,值为$-16$
【知识点】
1. 幂的乘方与积的乘方；2. 单项式乘单项式；3. 整式化简求值
【点评】
本题侧重考查整式混合运算的基础运算能力，需严格遵循先乘方、再乘除、最后加减的运算顺序，运算时要注意符号判断和指数的运算规则，避免因粗心出现计算错误。
【难度系数】
0.8