1[2026福建漳州期中,中]已知$x,y,z$均为整数，且满足$|x-y|+|y-z|=1$，则$|x-z|$的值为（）

A.0
B.1
C.2
D.3

【解析】因为$x,y,z$均为整数,所以$|x-y|$和$|y-z|$均为非负整数. 因为$|x-y|+|y-z|=1$,所以有以下两种情况:①$|x-y|=1$且$|y-z|=0$,则$y=z$,所以$|x-z|=|x-y|=1$;②$|x-y|=0$且$|y-z|=1$,则$x=y$,所以$|x-z|=|y-z|=1$. 综上,$|x-z|=1$. 故选 B.

2[2025浙江衢州调研,中]下列判断正确的是（）

A.若有理数$a,b$满足$|a|=|b|$,则$a=b$
B.若有理数$a,b$满足$|a|=|b|$,则$a=-b$
C.若有理数$a,b$满足$a=b$,则$|a|=|b|$
D.若有理数$a,b$满足$a=-b$,则$|a|=-|b|$

【解析】若$|a|=|b|$,则$a=-b$或$a=b$,所以A、B选项错误;若$a=b$,则$|a|=|b|$,所以C选项正确;若$a=-b$,则$|a|=|b|$,所以D选项错误. 故选 C.

3[2025重庆巴南区期末，中]对互不相等的两个有理数$a,b$定义一个运算$f(a,b)=\begin{cases}a+b & (a＜b), \\ a-b & (a＞b),\end{cases}$已知$|a-2|=1$，$b=2$，那么$f(a,b)$的值为（ ）

A.1
B.3
C.1或3
D.无法确定

【解析】
故选 C.

4[2026浙江温州质检,较难]如图,数轴上的A,B,C三点所表示的数分别为a,b,c,且AB=BC.如果|a|＞|b|＞|c|,那么该数轴的原点O的位置在 ()


A.点A的左边
B.点A与点B之间
C.点B与点C之间(靠近点B)
D.点C的右边

【解析】A选项,原点在点A的左边时,$0＜a＜b＜c$,此时$|a|＜|b|＜|c|$,不符合题意. B选项,原点在点A与点B之间时,$|b|＜AB,|c|＞BC$. 因为$AB=BC$,所以$|b|＜|c|$,不符合题意. C选项,原点在点B与点C之间(靠近点B)时,$|b|＜\dfrac{1}{2}BC,|c|＞\dfrac{1}{2}BC$,此时$|b|＜|c|$,不符合题意. D选项,原点在点C的右边时,$a＜b＜c＜0$,此时$|a|＞|b|＞|c|$,符合题意. 故选 D.

5[中]已知$|a|=3$，$|b|=5$，则$a$，$b$两数在数轴上所对应的点之间的距离是。

【解析】当$a=-3,b=-5$时,$a,b$两数在数轴上所对应的点之间的距离为2;当$a=3,b=-5$时,$a,b$两数在数轴上所对应的点之间的距离为8;当$a=-3,b=5$时,$a,b$两数在数轴上所对应的点之间的距离为8;当$a=3,b=5$时,$a,b$两数在数轴上所对应的点之间的距离为2. 故答案为2或8.

6[中]若$|a - 1| + |ab - 2| = 0$，则$\frac{1}{ab} + \frac{1}{(a+1)(b+1)} + \frac{1}{(a+2)(b+2)} + \dots + \frac{1}{(a+2021)(b+2021)} =$

【解析】由题意得,$a-1=0,ab-2=0$,所以$a=1,b=2$,所以原式$=\dfrac{1}{1×2}+\dfrac{1}{2×3}+\dfrac{1}{3×4}+\dots+\dfrac{1}{2022×2023}=1-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{4}+\dots+\dfrac{1}{2022}-\dfrac{1}{2023}=1-\dfrac{1}{2023}=\dfrac{2022}{2023}$.

7[2025安徽合肥期中,较难]已知x,y均为有理数,且|x-2|+|y-1|+|y-4|=y-1,则x+y的值为。

【解析】因为$|x-2|+|y-1|+|y-4|=y-1$,所以$y-1≥0$,所以$|y-1|=y-1$,所以$|x-2|+y-1+|y-4|=y-1$,即$|x-2|+|y-4|=0$. 因为$|x-2|≥0,|y-4|≥0$,所以$|x-2|=0,|y-4|=0$,所以$x-2=0,y-4=0$,所以$x=2,y=4$,所以$x+y=2+4=6$. 故答案为6.

8[2025江苏苏州质检,较难]数轴上点A,B分别表示有理数a,b,AB表示A,B两点之间的距离,则$AB=|a-b|$.例如,数轴上表示数2和5的两点之间的距离为$|2-5|=3$;数轴上表示数3和-1的两点之间的距离为$|3-(-1)|=4$.又如$|x+2|$可以写成$|x-(-2)|$,它的几何意义是数轴上表示数$x$的点与表示数$-2$的点之间的距离.
(1)和为定值
$|x+2|+|x-3|$表示数轴上有理数$x$对应的点到-2和3对应的两点距离之和.请你利用数轴,写出所有符合条件的整数$x$,使得$|x+2|+|x-3|=5$.
(2)偶数个绝对值之和最小
①代数式$|x+3|+|x-4|$的最小值是,此时$x$的范围是.
②代数式$|x+7|+|x+4|+|x-2|+|x-5|$的最小值是,此时$x$的范围是.
(3)奇数个绝对值之和最小
①代数式$|x+6|+|x+3|+|x-2|$的最小值是,此时$x$的值是.
②当代数式$|x-1|+|x-2|+|x-3|+\dots+|x-617|$取最小值时$x$的值是.

【解】(1)$|x+2|+|x-3|=5$表示数轴上有理数$x$对应的点到-2和3对应的两点距离之和为5,如图:
因为-2对应的点到3对应的点的距离是5,所以在-2和3之间(含-2和3)的整数符合题意,所以使得$|x+2|+|x-3|=5$成立的所有符合条件的整数$x$为-2,-1,0,1,2,3.
(2)①因为$|x+3|+|x-4|=|x-(-3)|+|x-4|$,所以$|x+3|+|x-4|$表示数轴上有理数$x$对应的点到-3和4对应的两点距离之和. 假设点P在数轴上表示的数是$x$,点A表示的数是-3,点B表示的数是4,则点P可能在点A的左边、点A和点B之间(包括点A,B)、点B的右边. 分析可知,当点P在点A的左边或点B的右边时,$PA+PB$的长度均大于AB的长度;当点P在点A和点B之间(包括点A,B)时,$PA+PB$的长度等于AB的长度,所以当点P在点A和B之间,即$-3≤ x≤4$时,代数式$|x+3|+|x-4|$有最小值7. 故答案为7,$-3≤ x≤4$.
②$|x+7|+|x+4|+|x-2|+|x-5|=|x-(-7)|+|x-(-4)|+|x-2|+|x-5|$,同①可得,当$-4≤ x≤2$时,代数式$|x+7|+|x+4|+|x-2|+|x-5|$有最小值18. 故答案为18,$-4≤ x≤2$.
(3)①因为$|x+6|+|x+3|+|x-2|=|x-(-6)|+|x-(-3)|+|x-2|$,所以$|x+6|+|x+3|+|x-2|$表示数轴上有理数$x$对应的点到表示数-6,-3和2对应的点的距离之和. 易得当$x=-3$时,代数式$|x+6|+|x+3|+|x-2|$有最小值8. 故答案为8,-3.
②因为$(1+617)÷2=309$,所以当$x=309$时,代数式$|x-1|+|x-2|+|x-3|+\dots+|x-617|$取到最小值. 故答案为309.