1[2026河北沧州质检]下图是三个叠在一起的三角形(三角形Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ),部分图形被遮盖,若要作出与图中三角形Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ完全相同的三角形,下列说法正确的是 ()

A.只可以作出与三角形Ⅰ完全相同的三角形
B.只可以作出与三角形Ⅰ,Ⅱ完全相同的三角形
C.作出三角形Ⅱ的依据是“AAS”
D.作出三角形Ⅲ的依据是“SAS”

1.B 【解析】可以根据“ASA”“SAS”或“AAS”作出与三角形Ⅰ完全相同的三角形,可以根据“ASA”作出与三角形Ⅱ完全相同的三角形,不能作出与三角形Ⅲ完全相同的三角形.故选B.

2[2026浙江杭州期末]如图,在直角三角形ABC中,∠ACB=90°,BC=2 cm,CD⊥AB于D,在AC上取一点E,使EC=BC,过点E作EF⊥AC交CD的延长线于点F.若EF=8 cm,则AE= cm.

2.6 【解析】因为∠ACB=90°,所以∠ECF+∠BCD=90°.因为CD⊥AB,所以∠CDB=90°,所以∠BCD+∠B=90°,所以∠ECF=∠B.又因为EC=BC,∠FEC=∠ACB=90°,所以△FEC≌△ACB(ASA),所以AC=EF.因为BC=2 cm,EF=8 cm,所以AE=AC-CE=EF-BC=8-2=6(cm),故答案为6.

3[2026江苏泰州质检]如图，$△ ABC ≌ △ A'B'C'$，AD和$A'D'$分别是$△ ABC$和$△ A'B'C'$的角平分线.求证:$AD=A'D'$.

3.【证明】因为△ABC≌△A'B'C',所以AB=A'B',∠BAC=∠B'A'C',∠B=∠B'.
因为AD,A'D'分别是△ABC和△A'B'C'的角平分线,所以∠BAD=∠B'A'D'.
在△ABD 和△A'B'D'中,$\begin{cases} ∠BAD=∠B'A'D',\\ AB=A'B',\\ ∠B=∠B', \end{cases}$ 所以△ABD≌△A'B'D'(ASA),所以AD=A'D'.

4[2026浙江宁波期中]如图，∠B=∠D，DE=BC，若AB=8 cm，AC=3 cm，则DC的长是（）

A.3 cm
B.4 cm
C.5 cm
D.6 cm

4.C 【解析】在△ADE 和△ABC 中,$\begin{cases} ∠A=∠A,\\ ∠D=∠B,\\ DE=BC, \end{cases}$所以△ADE≌△ABC(AAS),所以AB=AD=8 cm.
因为AC=3 cm,所以DC=AD-AC=8-3=5(cm).故选C.

5 如图,在$△ ACD$中,$∠ CAD=90°$,$AC=6$,$AD=8$,$AB// CD$,$E$是$CD$上一点,$BE$交$AD$于点$F$.当$AB+CE=CD$时,图中阴影部分的面积为.

5.24 【解析】因为AB//CD,所以∠BAD=∠D.
因为AB+CE=CD,CE+DE=CD,所以AB=DE.
在△BAF 和△EDF 中,因为$\begin{cases} ∠BFA=∠EFD,\\ ∠BAD=∠D,\\ AB=DE, \end{cases}$所以△BAF≌△EDF(AAS),所以$S_{△BAF}=S_{△EDF}$.
因为AC=6,AD=8,所以题图中阴影部分面积为$S_{四边形ACEF}+S_{△BAF}=S_{四边形ACEF}+S_{△EDF}=S_{△ACD}=\frac{1}{2}·AC·AD=\frac{1}{2}×6×8=24$.故答案为24.
▶关键点拨
由已知条件可证 $△ BAF ≌ △EDF(AAS)$,得 $S_{△BAF}=S_{△EDF}$,则阴影部分的面积即为 $△ACD$ 的面积.

6[2025浙江绍兴期中]学习完本节知识后，数学兴趣小组同学就“测量河两岸A,B两点间距离”这一问题，设计了如下方案.
课题 测量河两岸A,B两点间距离
测量工具 测量角度的仪器、皮尺等
测量方案示意图
测量步骤 ①在点B所在河岸同侧的平地上取点C和点D，使得点A,B,C在一条直线上，且$CD=BC$；
②测得$∠ DCB=100°$，$∠ ADC=55°$；
③在$CD$的延长线上取点E，使得$∠ BEC=25°$；
④测得$DE$的长度为30米
请你根据以上方案求出A,B两点间的距离AB.

6.【解】因为∠C=100°,∠ADC=55°,所以∠CAD=25°,所以∠CAD=∠BEC. 在△ACD 与△ECB中,$\begin{cases} ∠CAD=∠BEC,\\ ∠C=∠C,\\ CD=CB, \end{cases}$ 所以 △ACD ≌ △ECB(AAS),所以 AC=CE. 又因为 CB=CD,所以 AB=DE=30 米.