1[2025浙江宁波质检,中]如图,在$△ ABC$中,$∠ BAC=90°$,$AB=AC$,$D$为平面内一动点,$BD=AC$,$E$为$BD$上一点,$BE=2DE$,边$AB$上有两点$F$,$G$,$BF=FG=GA$.下面能表示$CD+AE$的最小值的是 ()


A.线段$CA$的长
B.线段$CG$的长
C.线段$CF$的长
D.线段$CB$的长

1.B 【解析】如图,连结 $DG$. 因为 $BE=2DE$, 所以 $BE=\frac{2}{3}BD$. 因为 $BF = FG = GA$, 所以 $BG = \frac{2}{3}AB$.
因为 $AB = AC$, $BD = AC$, 所以 $AB = BD$, 所以 $BE = BG$. 因为 $∠ABE = ∠DBG$, 所以 $△ ABE ≌ △ DBG(\mathrm{SAS})$, 所以 $AE = DG$. 因为 $DG+CD ≥ CG$, 所以 $AE+CD ≥ CG$, 所以 $CD+AE$ 的最小值为线段 $CG$ 的长. 故选 B.

2[2026江苏无锡期中,中]如图,△ABC中,AB＞AC,E在△ABC的角平分线AD上,若AB-AC=a,EB-EC=b,下列结论正确的是 ()


A.a＞b
B.a=b
C.a＜b
D.a,b的大小关系不确定

2.A 【解析】如图,在 $AB$ 上取一点 $F$, 使 $AF = AC$, 连结 $EF$. 因为 $AD$ 是 $△ ABC$ 的角平分线, 所以 $∠FAE = ∠CAE$. 在 $△ FAE$ 和 $△ CAE$ 中,
$\begin{cases}AF = AC,\\∠FAE = ∠CAE,\\AE = AE,\end{cases}$
所以 $△ FAE ≌ △ CAE(\mathrm{SAS})$, 所以 $EF = EC$. 在 $△ BEF$ 中, $BE-EF＜BF$, 而 $BF = AB-AF = AB-AC$, 所以 $EB-EC＜AB-AC$. 因为 $AB-AC = a$,$EB-EC = b$, 所以 $b＜a$. 故选 A.

3[中]如图,在$△ ABC$中,AD是BC边上的中线,交BC于点D.若$∠ BAC=90°$,则AD与BC的数量关系为.

3.$AD=\frac{1}{2}BC$ 【解析】延长 $AD$ 到点 $E$, 使 $DE=AD$, 连结 $BE$, 如图所示. 因为 $AD$ 是 $BC$ 边上的中线, 所以 $CD=BD$. 在 $△ ACD$ 和 $△ EBD$ 中, 因为
$\begin{cases}AD = DE,\\∠ADC = ∠EDB,\\CD = BD,\end{cases}$
所以 $△ ACD ≌ △ EBD(\mathrm{SAS})$, 所以 $AC = BE$, $∠DAC = ∠DEB$, 所以 $AC// BE$, 所以 $∠BAC + ∠ABE = 180°$. 因为 $∠BAC = 90°$, 所以 $∠BAC = ∠ABE = 90°$. 在 $△ BAC$ 和 $△ ABE$ 中, 因为
$\begin{cases}AC = BE,\\∠BAC = ∠ABE,\\AB = AB,\end{cases}$
所以 $△ BAC ≌ △ ABE(\mathrm{SAS})$, 所以 $BC = AE$. 因为 $AD = DE = \frac{1}{2}AE$, 所以 $AD = \frac{1}{2}BC$. 故答案为 $AD = \frac{1}{2}BC$.

4[2025浙江杭州质检,中]如图,某村庄有一块五边形的田地,即五边形ABCDE,其中AB=AE=60 m,CD=70 m,∠ABC=∠AED=90°,连结AC,AD,∠BAE=2∠CAD.
(1)∠BAC,∠DAE与∠CAD之间的数量关系为.
(2)为保护田内农作物不被牲畜踩踏,村里决定给这块田地的五边上围一圈栅栏,已知每米栅栏的建造成本是50元,则建造栅栏共需花费多少元?
(3)在△ADE和△ABC区域种上小麦,已知每平方米田地的小麦播种量为21克,则需要提前准备小麦种子千克.

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4.【解】(1)因为 $∠BAE = ∠BAC+∠CAD+∠DAE$,$∠BAE=2∠CAD$, 所以 $∠BAC+∠CAD+∠DAE=2∠CAD$, 所以 $∠BAC+∠DAE = ∠CAD$, 故答案为 $∠BAC+∠DAE=∠CAD$.
(2)如图,延长 $CB$ 至点 $G$, 使 $GB = ED$, 连结 $AG$, 所以 $BC+DE = BC+BG = GC$.
因为 $∠ABC=∠AED=90°$, 所以 $∠ABG=90°$.
在 $△ AGB$ 与 $△ ADE$ 中,
$\begin{cases}AB = AE,\\∠ABG = ∠E=90°,\\GB = DE,\end{cases}$
所以 $△ AGB ≌ △ ADE(\mathrm{SAS})$, 所以 $∠GAB=∠DAE$,$AG=AD$.
因为 $∠BAC + ∠DAE = ∠CAD$, 所以 $∠BAC + ∠GAB=∠CAD$, 即 $∠GAC=∠CAD$.
在 $△ AGC$ 与 $△ ADC$ 中,
$\begin{cases}AC = AC,\\∠CAG = ∠CAD,\\AG = AD,\end{cases}$
所以 $△ AGC ≌ △ ADC(\mathrm{SAS})$, 所以 $GC = CD = 70\ \mathrm{m}$, 所以 $BC+ED = 70\ \mathrm{m}$, 所以五边形 $ABCDE$ 的周长为 $AB+AE+CD+BC+DE = 2×60+2×70 = 260(\mathrm{m})$,$260×50 = 13\ 000(\mathrm{元})$.
答:建造栅栏共需花费 13 000 元.
(3)由(2)得 $△ AGB ≌ △ ADE$, 所以 $S_{△ AGB}=S_{△ ADE}$,
所以 $S_{△ ADE} + S_{△ ABC} = S_{△ AGB} + S_{△ ABC} = S_{△ AGC} = \frac{1}{2} GC× AB=\frac{1}{2}×70×60=2100(\mathrm{m}^2)$,
所以需要提前准备小麦种子 $21÷1000×2100=44.1$(千克), 故答案为 44.1.

5 思想方法 分类讨论 [难]如图(1),AB=4 cm,AC⊥AB,BD⊥AB,AC=BD=3 cm. 点P在线段AB上以1 cm/s的速度由A向B运动,同时点Q在线段BD上由点B向点D运动. 它们运动的时间为t s.

(1)若点Q的运动速度与点P的运动速度相同,当t=1时,△ACP与△BPQ是否全等? 请说明理由,并判断此时线段PC和线段PQ的位置关系.
(2)如图(2),将“AC⊥AB,BD⊥AB”改为“∠CAB=∠DBA”,其他条件不变,设点Q运动速度为x cm/s,是否存在实数x,使得△ACP与△BPQ全等? 若存在,求出相应的x,t的值;若不存在,请说明理由.

5.【解】(1)$△ ACP ≌ △ BPQ$,$PC ⊥ PQ$. 理由如下:
当 $t = 1$ 时,$AP = BQ = 1\ \mathrm{cm}$,$BP = AC = 3\ \mathrm{cm}$.
在 $△ ACP$ 和 $△ BPQ$ 中, 因为
$\begin{cases}AP = BQ,\\∠A = ∠B,\\AC = BP,\end{cases}$
所以 $△ ACP ≌ △ BPQ(\mathrm{SAS})$, 所以 $∠ACP = ∠BPQ$,
所以 $∠APC+∠BPQ = ∠APC+∠ACP = 90°$,
所以 $∠CPQ = 90°$, 即线段 $PC$ 与线段 $PQ$ 垂直.
(2)存在. ①若 $△ ACP ≌ △ BPQ$, 则 $AC = BP$,$AP = BQ$, 可得
$\begin{cases}3=4-t,\\t=xt,\end{cases}$
解得 $\begin{cases}t=1,\\x=1;\end{cases}$
②若 $△ ACP ≌ △ BQP$, 则 $AC = BQ$,$AP = BP$, 可得
$\begin{cases}3=xt,\\t=4-t,\end{cases}$
解得 $\begin{cases}t=2,\\x=1.5.\end{cases}$
综上所述, 存在实数 $x$, 使得 $△ ACP$ 与 $△ BPQ$ 全等, 相应的 $x,t$ 的值分别为 $\begin{cases}t=1,\\x=1\end{cases}$ 或 $\begin{cases}t=2,\\x=1.5.\end{cases}$