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1 小明用天平和两个完全相同的带有密封盖的瓶子和适量的水，测量某品牌酸奶的密度。设计了如下实验步骤，请你补充完整（已知水的密度为$\rho_{水}$）。
（1）调好天平，用天平测出带盖空瓶的质量为$m_0$。
（2）将一个瓶子
（3）用另一个瓶子装满酸奶，用天平测出带盖瓶子和酸奶的总质量为$m_2$。
（4）则酸奶的密度表达式为$\rho_{酸奶}=$
（5）测量酸奶质量时，瓶子外面有几滴酸奶未擦去，测量结果
（1）调好天平，用天平测出带盖空瓶的质量为$m_0$。
（2）将一个瓶子
装满水
，用天平测出带盖瓶子和水的总质量为$m_1$。（3）用另一个瓶子装满酸奶，用天平测出带盖瓶子和酸奶的总质量为$m_2$。
（4）则酸奶的密度表达式为$\rho_{酸奶}=$
$\frac{m_2 - m_0}{m_1 - m_0} · \rho_{水}$
。（5）测量酸奶质量时，瓶子外面有几滴酸奶未擦去，测量结果
偏大
（选填“偏大”“偏小”或“不变”）。答案
1.（2）装满水 （4）$\frac{m_2 - m_0}{m_1 - m_0} · \rho_{水}$ （5）偏大
解析
【分析】
本题利用等效替代法测量酸奶密度，核心思路是利用相同瓶子装满水和酸奶时体积相等，结合密度公式推导表达式。首先需将瓶子装满水以获取水的体积（即瓶子容积），再通过水和酸奶的质量差计算对应密度；最后分析误差时，需明确未擦去的酸奶会使总质量测量值偏大。
【解析】
（2）要得到水的体积（等于瓶子容积），需将瓶子装满水，这样才能保证水的体积与后续酸奶体积相等；
（4）水的质量为$m_{水}=m_1 - m_0$，则瓶子容积$V=\frac{m_{水}}{\rho_{水}}=\frac{m_1 - m_0}{\rho_{水}}$；酸奶的质量为$m_{酸奶}=m_2 - m_0$，因酸奶体积等于瓶子容积，故酸奶密度$\rho_{酸奶}=\frac{m_{酸奶}}{V}=\frac{m_2 - m_0}{\frac{m_1 - m_0}{\rho_{水}}}=\frac{m_2 - m_0}{m_1 - m_0}·\rho_{水}$；
（5）瓶子外面有几滴酸奶未擦去，测量的带盖瓶子和酸奶总质量$m_2$会比实际值大，导致计算出的酸奶质量（$m_2 - m_0$）偏大，因此测量结果偏大。
【答案】
（2）装满水；（4）$\frac{m_2 - m_0}{m_1 - m_0} · \rho_{水}$；（5）偏大
【知识点】
密度的测量、密度公式应用、实验误差分析
【点评】
本题是利用等体积法测量液体密度的基础实验题，重点考查实验原理的理解和误差分析，属于密度章节的常规题型，难度适中。
【难度系数】
0.6
本题利用等效替代法测量酸奶密度，核心思路是利用相同瓶子装满水和酸奶时体积相等，结合密度公式推导表达式。首先需将瓶子装满水以获取水的体积（即瓶子容积），再通过水和酸奶的质量差计算对应密度；最后分析误差时，需明确未擦去的酸奶会使总质量测量值偏大。
【解析】
（2）要得到水的体积（等于瓶子容积），需将瓶子装满水，这样才能保证水的体积与后续酸奶体积相等；
（4）水的质量为$m_{水}=m_1 - m_0$，则瓶子容积$V=\frac{m_{水}}{\rho_{水}}=\frac{m_1 - m_0}{\rho_{水}}$；酸奶的质量为$m_{酸奶}=m_2 - m_0$，因酸奶体积等于瓶子容积，故酸奶密度$\rho_{酸奶}=\frac{m_{酸奶}}{V}=\frac{m_2 - m_0}{\frac{m_1 - m_0}{\rho_{水}}}=\frac{m_2 - m_0}{m_1 - m_0}·\rho_{水}$；
（5）瓶子外面有几滴酸奶未擦去，测量的带盖瓶子和酸奶总质量$m_2$会比实际值大，导致计算出的酸奶质量（$m_2 - m_0$）偏大，因此测量结果偏大。
【答案】
（2）装满水；（4）$\frac{m_2 - m_0}{m_1 - m_0} · \rho_{水}$；（5）偏大
【知识点】
密度的测量、密度公式应用、实验误差分析
【点评】
本题是利用等体积法测量液体密度的基础实验题，重点考查实验原理的理解和误差分析，属于密度章节的常规题型，难度适中。
【难度系数】
0.6
2 老师给小军一个溢水杯，要求小军测量小石块的密度（量筒不能使用）。于是他设计了如下的实验步骤：
A.用调节好的天平测出石块的质量 $ m_1 $。
B.用调节好的天平测出空烧杯的质量 $ m_2 $。
C.溢水杯装满水，将石块轻轻浸没在水中，并用烧杯接住溢出的水。
D.用调节好的天平测出烧杯和水的总质量 $ m_3 $。
石块的密度表达式是 $ \rho = $
A.用调节好的天平测出石块的质量 $ m_1 $。
B.用调节好的天平测出空烧杯的质量 $ m_2 $。
C.溢水杯装满水，将石块轻轻浸没在水中，并用烧杯接住溢出的水。
D.用调节好的天平测出烧杯和水的总质量 $ m_3 $。
石块的密度表达式是 $ \rho = $
$\frac{m_1}{m_3 - m_2} · \rho_{水}$
[用所测物理量的符号和水的密度($ \rho_{\mathrm{水}} $)表示]；如果步骤C中的溢水杯的水没有装满，则密度的测量结果将偏 大
。答案
2.$\frac{m_1}{m_3 - m_2} · \rho_{水}$ 大
解析
【分析】
要测量小石块的密度，需获取石块的质量和体积。本题中用天平直接测出石块质量$m_1$，利用溢水杯和天平间接测量石块体积：石块浸没在装满水的溢水杯中时，溢出的水的体积等于石块的体积；通过测量空烧杯质量$m_2$、烧杯和溢出水的总质量$m_3$，可算出溢出水的质量，结合水的密度就能求出溢出水的体积，即石块体积。若溢水杯未装满水，溢出的水的质量会偏小，导致计算出的石块体积偏小，进而影响密度的测量结果。
【解析】
1. 石块的质量为$m_1$；
2. 溢出水的质量：$m_{水}=m_3 - m_2$；
3. 根据密度公式$\rho=\frac{m}{V}$，溢出水的体积：$V_{水}=\frac{m_{水}}{\rho_{水}}=\frac{m_3 - m_2}{\rho_{水}}$；
4. 因石块浸没在水中，故石块体积$V_{石}=V_{水}=\frac{m_3 - m_2}{\rho_{水}}$；
5. 石块的密度：$\rho=\frac{m_1}{V_{石}}=\frac{m_1}{\frac{m_3 - m_2}{\rho_{水}}}=\frac{m_1}{m_3 - m_2}·\rho_{水}$；
6. 若步骤C中溢水杯未装满水，溢出的水的质量小于石块实际排开的水的质量，计算出的石块体积偏小，根据$\rho=\frac{m}{V}$，质量$m_1$准确，体积偏小，因此密度测量结果偏大。
【答案】
$\frac{m_1}{m_3 - m_2} · \rho_{水}$；大
【知识点】
密度的测量、排开体积的应用
【点评】
本题利用转换法，通过溢水法间接测量固体体积，无需量筒，考查密度公式的应用和误差分析，是初中物理密度测量的典型题型。
【难度系数】
0.5
要测量小石块的密度，需获取石块的质量和体积。本题中用天平直接测出石块质量$m_1$，利用溢水杯和天平间接测量石块体积：石块浸没在装满水的溢水杯中时，溢出的水的体积等于石块的体积；通过测量空烧杯质量$m_2$、烧杯和溢出水的总质量$m_3$，可算出溢出水的质量，结合水的密度就能求出溢出水的体积，即石块体积。若溢水杯未装满水，溢出的水的质量会偏小，导致计算出的石块体积偏小，进而影响密度的测量结果。
【解析】
1. 石块的质量为$m_1$；
2. 溢出水的质量：$m_{水}=m_3 - m_2$；
3. 根据密度公式$\rho=\frac{m}{V}$，溢出水的体积：$V_{水}=\frac{m_{水}}{\rho_{水}}=\frac{m_3 - m_2}{\rho_{水}}$；
4. 因石块浸没在水中，故石块体积$V_{石}=V_{水}=\frac{m_3 - m_2}{\rho_{水}}$；
5. 石块的密度：$\rho=\frac{m_1}{V_{石}}=\frac{m_1}{\frac{m_3 - m_2}{\rho_{水}}}=\frac{m_1}{m_3 - m_2}·\rho_{水}$；
6. 若步骤C中溢水杯未装满水，溢出的水的质量小于石块实际排开的水的质量，计算出的石块体积偏小，根据$\rho=\frac{m}{V}$，质量$m_1$准确，体积偏小，因此密度测量结果偏大。
【答案】
$\frac{m_1}{m_3 - m_2} · \rho_{水}$；大
【知识点】
密度的测量、排开体积的应用
【点评】
本题利用转换法，通过溢水法间接测量固体体积，无需量筒，考查密度公式的应用和误差分析，是初中物理密度测量的典型题型。
【难度系数】
0.5
3 在“测量盐水密度”的实验中，由于天平砝码损坏，实验小组借助标有刻度的注射器、两个完全相同的烧杯、水等器材进行了如下操作：
（1）用注射器向两个相同的烧杯中分别注入20 mL盐水和20 mL水。
（2）将上述装有盐水和水的烧杯分别放在天平的左盘和右盘，天平不平衡。
（3）用注射器向装水的烧杯中缓慢注水，当注入的水量为2 mL时，天平恰好平衡，如图所示。则平衡时右盘烧杯中水的质量为
（1）用注射器向两个相同的烧杯中分别注入20 mL盐水和20 mL水。
（2）将上述装有盐水和水的烧杯分别放在天平的左盘和右盘，天平不平衡。
（3）用注射器向装水的烧杯中缓慢注水，当注入的水量为2 mL时，天平恰好平衡，如图所示。则平衡时右盘烧杯中水的质量为
22
g，盐水的密度为1.1
g/cm³。答案
3. 22 1.1
解析
【分析】
要解决本题，需利用天平平衡时左右两盘总质量相等的特点，结合密度公式进行计算。首先确定平衡时右盘水的总体积，再通过水的密度求出水的质量，进而得到盐水的质量；已知盐水的体积，即可算出盐水的密度。
【解析】
1. 计算平衡时右盘水的体积：
右盘原有水的体积为20 mL，又注入2 mL水，因此总水的体积 $ V_{水} = 20\ \mathrm{mL} + 2\ \mathrm{mL} = 22\ \mathrm{mL} = 22\ \mathrm{cm}^3 $。
2. 计算右盘水的质量：
水的密度 $ \rho_{水} = 1\ \mathrm{g/cm}^3 $，根据公式 $ m = \rho V $，可得水的质量 $ m_{水} = \rho_{水} V_{水} = 1\ \mathrm{g/cm}^3 × 22\ \mathrm{cm}^3 = 22\ \mathrm{g} $。
3. 确定盐水的质量和体积：
天平平衡时，左盘盐水的质量等于右盘水的质量，即 $ m_{盐水} = m_{水} = 22\ \mathrm{g} $；盐水的体积 $ V_{盐水} = 20\ \mathrm{mL} = 20\ \mathrm{cm}^3 $。
4. 计算盐水的密度：
根据密度公式 $ \rho = \frac{m}{V} $，可得盐水的密度 $ \rho_{盐水} = \frac{m_{盐水}}{V_{盐水}} = \frac{22\ \mathrm{g}}{20\ \mathrm{cm}^3} = 1.1\ \mathrm{g/cm}^3 $。
【答案】
22；1.1
【知识点】
密度计算；天平的使用；体积单位换算
【点评】
本题结合天平平衡条件与密度公式，核心是利用天平平衡得出盐水和水的质量相等，再结合体积求解密度，考查了学生对密度公式的应用能力，属于基础应用类题目。
【难度系数】
0.6
要解决本题，需利用天平平衡时左右两盘总质量相等的特点，结合密度公式进行计算。首先确定平衡时右盘水的总体积，再通过水的密度求出水的质量，进而得到盐水的质量；已知盐水的体积，即可算出盐水的密度。
【解析】
1. 计算平衡时右盘水的体积：
右盘原有水的体积为20 mL，又注入2 mL水，因此总水的体积 $ V_{水} = 20\ \mathrm{mL} + 2\ \mathrm{mL} = 22\ \mathrm{mL} = 22\ \mathrm{cm}^3 $。
2. 计算右盘水的质量：
水的密度 $ \rho_{水} = 1\ \mathrm{g/cm}^3 $，根据公式 $ m = \rho V $，可得水的质量 $ m_{水} = \rho_{水} V_{水} = 1\ \mathrm{g/cm}^3 × 22\ \mathrm{cm}^3 = 22\ \mathrm{g} $。
3. 确定盐水的质量和体积：
天平平衡时，左盘盐水的质量等于右盘水的质量，即 $ m_{盐水} = m_{水} = 22\ \mathrm{g} $；盐水的体积 $ V_{盐水} = 20\ \mathrm{mL} = 20\ \mathrm{cm}^3 $。
4. 计算盐水的密度：
根据密度公式 $ \rho = \frac{m}{V} $，可得盐水的密度 $ \rho_{盐水} = \frac{m_{盐水}}{V_{盐水}} = \frac{22\ \mathrm{g}}{20\ \mathrm{cm}^3} = 1.1\ \mathrm{g/cm}^3 $。
【答案】
22；1.1
【知识点】
密度计算；天平的使用；体积单位换算
【点评】
本题结合天平平衡条件与密度公式，核心是利用天平平衡得出盐水和水的质量相等，再结合体积求解密度，考查了学生对密度公式的应用能力，属于基础应用类题目。
【难度系数】
0.6
4 小明用调好的天平、烧杯及足量的水测量一块鹅卵石的密度，实验步骤如下：
（1）将鹅卵石放在左盘，在右盘加减砝码并移动游码，天平平衡时，右盘砝码及游码位置如图甲，则鹅卵石的质量$m_1=$
（2）把鹅卵石放入烧杯中，往烧杯倒入适量的水，用油性笔在烧杯壁记下此时水面位置为M（图乙），用天平测出烧杯、水和鹅卵石的总质量为$m_2$。
（3）将鹅卵石从水中取出，再往烧杯中缓慢加水至记号M（图丙）处，用天平测出烧杯和水的总质量为$m_3$。
（4）根据所测数据计算出鹅卵石的密度为$\rho=$
（5）在进行测量步骤（3）时，从水中取出鹅卵石时有部分水沾在表面，测得鹅卵石的密度为$\rho'$，则$\rho'$
（1）将鹅卵石放在左盘，在右盘加减砝码并移动游码，天平平衡时，右盘砝码及游码位置如图甲，则鹅卵石的质量$m_1=$
31.8
g。（2）把鹅卵石放入烧杯中，往烧杯倒入适量的水，用油性笔在烧杯壁记下此时水面位置为M（图乙），用天平测出烧杯、水和鹅卵石的总质量为$m_2$。
（3）将鹅卵石从水中取出，再往烧杯中缓慢加水至记号M（图丙）处，用天平测出烧杯和水的总质量为$m_3$。
（4）根据所测数据计算出鹅卵石的密度为$\rho=$
$\frac{m_1 \rho_{水}}{m_3 - m_2 + m_1}$
（用$m_1$、$m_2$、$m_3$、$\rho_{水}$表示）。（5）在进行测量步骤（3）时，从水中取出鹅卵石时有部分水沾在表面，测得鹅卵石的密度为$\rho'$，则$\rho'$
=
（选填“＞”“＜”或“=”）$\rho$。答案
4.（1）31.8 （4）$\frac{m_1 \rho_{水}}{m_3 - m_2 + m_1}$ （5）=
解析
【分析】
测量鹅卵石密度的核心思路是：先通过天平测出鹅卵石的质量，再利用等效替代法，将鹅卵石的体积转化为补充水的体积，最后结合密度公式计算密度；误差分析需判断取出鹅卵石带水对体积测量的影响，进而确定密度的变化。
【解析】
（1）天平读数为砝码质量与游码示数之和：砝码总质量为$20\ \mathrm{g}+10\ \mathrm{g}=30\ \mathrm{g}$，游码对应刻度为$1.8\ \mathrm{g}$，因此鹅卵石质量$m_1=30\ \mathrm{g}+1.8\ \mathrm{g}=31.8\ \mathrm{g}$。
（4）鹅卵石体积等于补充水的体积：烧杯、水和鹅卵石总质量为$m_2$，取出鹅卵石后，烧杯和剩余水的质量为$m_2 - m_1$；加水至标记$M$时，烧杯和水的总质量为$m_3$，则补充水的质量$m_{\mathrm{水}}=m_3 - (m_2 - m_1)=m_3 - m_2 + m_1$。根据密度公式，补充水的体积$V_{\mathrm{水}}=\frac{m_{\mathrm{水}}}{\rho_{\mathrm{水}}}=\frac{m_3 - m_2 + m_1}{\rho_{\mathrm{水}}}$，即鹅卵石体积$V=V_{\mathrm{水}}$，因此鹅卵石密度$\rho=\frac{m_1}{V}=\frac{m_1 \rho_{\mathrm{水}}}{m_3 - m_2 + m_1}$。
（5）取出鹅卵石时带部分水，加水至标记$M$时，补充水的体积仍等于鹅卵石的体积（标记$M$是鹅卵石在时的水面，补充水的体积始终等于鹅卵石体积），体积测量准确，质量测量正确，故$\rho'=\rho$。
【答案】
（1）$31.8$；（4）$\frac{m_1 \rho_{水}}{m_3 - m_2 + m_1}$；（5）$=$
【知识点】
密度测量、天平使用、等效替代法
【点评】
本题采用等效替代法测量固体密度，关键是理解补充水的体积等于鹅卵石体积，误差分析需明确带水对体积测量无影响，考查学生对密度实验的掌握程度。
【难度系数】
0.3
测量鹅卵石密度的核心思路是：先通过天平测出鹅卵石的质量，再利用等效替代法，将鹅卵石的体积转化为补充水的体积，最后结合密度公式计算密度；误差分析需判断取出鹅卵石带水对体积测量的影响，进而确定密度的变化。
【解析】
（1）天平读数为砝码质量与游码示数之和：砝码总质量为$20\ \mathrm{g}+10\ \mathrm{g}=30\ \mathrm{g}$，游码对应刻度为$1.8\ \mathrm{g}$，因此鹅卵石质量$m_1=30\ \mathrm{g}+1.8\ \mathrm{g}=31.8\ \mathrm{g}$。
（4）鹅卵石体积等于补充水的体积：烧杯、水和鹅卵石总质量为$m_2$，取出鹅卵石后，烧杯和剩余水的质量为$m_2 - m_1$；加水至标记$M$时，烧杯和水的总质量为$m_3$，则补充水的质量$m_{\mathrm{水}}=m_3 - (m_2 - m_1)=m_3 - m_2 + m_1$。根据密度公式，补充水的体积$V_{\mathrm{水}}=\frac{m_{\mathrm{水}}}{\rho_{\mathrm{水}}}=\frac{m_3 - m_2 + m_1}{\rho_{\mathrm{水}}}$，即鹅卵石体积$V=V_{\mathrm{水}}$，因此鹅卵石密度$\rho=\frac{m_1}{V}=\frac{m_1 \rho_{\mathrm{水}}}{m_3 - m_2 + m_1}$。
（5）取出鹅卵石时带部分水，加水至标记$M$时，补充水的体积仍等于鹅卵石的体积（标记$M$是鹅卵石在时的水面，补充水的体积始终等于鹅卵石体积），体积测量准确，质量测量正确，故$\rho'=\rho$。
【答案】
（1）$31.8$；（4）$\frac{m_1 \rho_{水}}{m_3 - m_2 + m_1}$；（5）$=$
【知识点】
密度测量、天平使用、等效替代法
【点评】
本题采用等效替代法测量固体密度，关键是理解补充水的体积等于鹅卵石体积，误差分析需明确带水对体积测量无影响，考查学生对密度实验的掌握程度。
【难度系数】
0.3
