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10.如图,点A在观测点北偏东$30°$方向,且与观测点的距离为$8\ \mathrm{km}$,将点A的位置记作$A(8,30°)$.用同样的方法可以将点B,C的位置分别记作$(8,60°),(4,60°)$,则观测点的位置应在 (
A.点$O_1$处
B.点$O_2$处
C.点$O_3$处
D.点$O_4$处
A
)A.点$O_1$处
B.点$O_2$处
C.点$O_3$处
D.点$O_4$处
答案
10.A
解析
【分析】
要确定观测点的位置，首先需明确题中位置记法的含义：$(a,θ)$表示该点在观测点的北偏东$θ$方向，与观测点的距离为$a$。第一步先分析B、C的位置特征：二者角度均为$60°$，说明B、C在观测点的同一条北偏东$60°$的射线上，且观测点到B的距离是到C的2倍，因此C在观测点和B的连线中间；第二步再结合A的位置：A角度为$30°$，比B的角度小，说明A的方向比B更靠近正北方向，且A到观测点的距离与B相等；最后逐一验证四个观测点，符合上述特征的即为正确答案。
【解析】
根据题意可知，位置记作$(a,θ)$的含义为：该点位于观测点北偏东$θ$方向，与观测点的距离为$a\ \mathrm{km}$。
1. 分析B、C的位置：$B(8,60°)$、$C(4,60°)$，说明B、C在观测点北偏东$60°$的同一条射线上，且观测点到B的距离是到C的2倍，即观测点、C、B三点共线，且C在观测点与B之间。
2. 分析A的位置：$A(8,30°)$，说明A在观测点北偏东$30°$方向，与观测点距离为$8\ \mathrm{km}$，A的方向比B更靠近正北方向。
3. 逐一验证选项：
若观测点为$O_1$：北偏东$30°$方向$8\ \mathrm{km}$处为A，北偏东$60°$方向上$4\ \mathrm{km}$处为C、$8\ \mathrm{km}$处为B，完全符合所有特征；
若观测点为$O_2$、$O_3$、$O_4$，均不满足上述方向、距离的要求。
因此观测点的位置在$O_1$处。
【答案】
A
【知识点】
1. 方位角与距离定位
2. 方向角的概念
【点评】
本题考查方位角定位的实际应用，解题的核心是先明确题目中坐标形式的位置表示的实际含义，再结合同方向点的位置关系缩小范围，最后通过验证得到答案，侧重对基础概念的理解和应用。
【难度系数】
0.7
要确定观测点的位置，首先需明确题中位置记法的含义：$(a,θ)$表示该点在观测点的北偏东$θ$方向，与观测点的距离为$a$。第一步先分析B、C的位置特征：二者角度均为$60°$，说明B、C在观测点的同一条北偏东$60°$的射线上，且观测点到B的距离是到C的2倍，因此C在观测点和B的连线中间；第二步再结合A的位置：A角度为$30°$，比B的角度小，说明A的方向比B更靠近正北方向，且A到观测点的距离与B相等；最后逐一验证四个观测点，符合上述特征的即为正确答案。
【解析】
根据题意可知，位置记作$(a,θ)$的含义为：该点位于观测点北偏东$θ$方向，与观测点的距离为$a\ \mathrm{km}$。
1. 分析B、C的位置：$B(8,60°)$、$C(4,60°)$，说明B、C在观测点北偏东$60°$的同一条射线上，且观测点到B的距离是到C的2倍，即观测点、C、B三点共线，且C在观测点与B之间。
2. 分析A的位置：$A(8,30°)$，说明A在观测点北偏东$30°$方向，与观测点距离为$8\ \mathrm{km}$，A的方向比B更靠近正北方向。
3. 逐一验证选项：
若观测点为$O_1$：北偏东$30°$方向$8\ \mathrm{km}$处为A，北偏东$60°$方向上$4\ \mathrm{km}$处为C、$8\ \mathrm{km}$处为B，完全符合所有特征；
若观测点为$O_2$、$O_3$、$O_4$，均不满足上述方向、距离的要求。
因此观测点的位置在$O_1$处。
【答案】
A
【知识点】
1. 方位角与距离定位
2. 方向角的概念
【点评】
本题考查方位角定位的实际应用，解题的核心是先明确题目中坐标形式的位置表示的实际含义，再结合同方向点的位置关系缩小范围，最后通过验证得到答案，侧重对基础概念的理解和应用。
【难度系数】
0.7
11.[T4变式]如图,在一个平面区域内,O处的雷达探测器测得在A,B,C,D,E处均有目标出现.若E在雷达探测器的北偏西$30°$,3 n mile处,则下列说法正确的是 (
A.A在雷达探测器的南偏西$30°$,1 n mile处
B.B在雷达探测器的南偏东$60°$,2 n mile处
C.C在雷达探测器的北偏东$30°$,3 n mile处
D.D在雷达探测器的正北方向,1 n mile处
B
)A.A在雷达探测器的南偏西$30°$,1 n mile处
B.B在雷达探测器的南偏东$60°$,2 n mile处
C.C在雷达探测器的北偏东$30°$,3 n mile处
D.D在雷达探测器的正北方向,1 n mile处
答案
11.B
解析
【分析】
要解决这道题，首先明确平面内用方位角和距离确定位置的两个核心要素：方位、距离。首先结合已知E的位置（北偏西30°，3 n mile）对应图中330°、最外圈（半径3）的位置，得出规则：①从内到外三个同心圆分别对应距离O点1 n mile、2 n mile、3 n mile；②正北为0°，图中标注的角度是从正北方向顺时针旋转的角度，需要将标注角度转化为“南/北偏东/西X°”的常规方位角表述，再逐一验证四个选项即可得出正确答案。
【解析】
首先明确图中位置判定规则：
1. 距离判定：三个同心圆从内到外分别对应距离雷达O点1 n mile、2 n mile、3 n mile；
2. 方位判定：正北为0°，每相邻两条射线夹角为30°，标注角度为从正北顺时针旋转的角度，转化为常规方位角时，以正南、正北为基准，判断偏向东/西的角度。
逐一分析选项：
选项A：A对应角度210°，为南偏西30°，位于半径2的圆上，距离为2 n mile，选项中距离描述错误，排除；
选项B：B对应角度120°，换算为方位角是南偏东60°，位于半径2的圆上，距离为2 n mile，描述正确；
选项C：C对应角度60°，为北偏东60°，位于半径3的圆上，选项中方位角描述错误，排除；
选项D：D对应角度0°，为正北方向，位于半径2的圆上，距离为2 n mile，选项中距离描述错误，排除。
【答案】
B
【知识点】
方位角表示，位置的确定
【点评】
本题结合雷达探测的实际场景，考查用方位角和距离确定平面内点的位置的方法，解题的关键是理清图中标注角度与常规方位角的转化关系，以及距离和同心圆半径的对应关系，侧重考查对基础概念的应用能力。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，首先明确平面内用方位角和距离确定位置的两个核心要素：方位、距离。首先结合已知E的位置（北偏西30°，3 n mile）对应图中330°、最外圈（半径3）的位置，得出规则：①从内到外三个同心圆分别对应距离O点1 n mile、2 n mile、3 n mile；②正北为0°，图中标注的角度是从正北方向顺时针旋转的角度，需要将标注角度转化为“南/北偏东/西X°”的常规方位角表述，再逐一验证四个选项即可得出正确答案。
【解析】
首先明确图中位置判定规则：
1. 距离判定：三个同心圆从内到外分别对应距离雷达O点1 n mile、2 n mile、3 n mile；
2. 方位判定：正北为0°，每相邻两条射线夹角为30°，标注角度为从正北顺时针旋转的角度，转化为常规方位角时，以正南、正北为基准，判断偏向东/西的角度。
逐一分析选项：
选项A：A对应角度210°，为南偏西30°，位于半径2的圆上，距离为2 n mile，选项中距离描述错误，排除；
选项B：B对应角度120°，换算为方位角是南偏东60°，位于半径2的圆上，距离为2 n mile，描述正确；
选项C：C对应角度60°，为北偏东60°，位于半径3的圆上，选项中方位角描述错误，排除；
选项D：D对应角度0°，为正北方向，位于半径2的圆上，距离为2 n mile，选项中距离描述错误，排除。
【答案】
B
【知识点】
方位角表示，位置的确定
【点评】
本题结合雷达探测的实际场景，考查用方位角和距离确定平面内点的位置的方法，解题的关键是理清图中标注角度与常规方位角的转化关系，以及距离和同心圆半径的对应关系，侧重考查对基础概念的应用能力。
【难度系数】
0.7
12.如图,已知轮船A在灯塔P的北偏东$30°$的方向上,轮船B在灯塔P的南偏东$70°$的方向上.
(1)求从灯塔P看两轮船的视角(即$∠ APB$)的度数.
(2)轮船C在$∠ APB$的平分线上,则轮船C在灯塔P的什么方位?
(1)求从灯塔P看两轮船的视角(即$∠ APB$)的度数.
(2)轮船C在$∠ APB$的平分线上,则轮船C在灯塔P的什么方位?
答案
12.解:(1)由题意可知$∠ APN=30°,∠ BPS=70°$,
则$∠ APB=180°-∠ APN-∠ BPS=80°$.
(2)因为 PC 平分$∠ APB$,且$∠ APB=80°$,
所以$∠ APC=\dfrac{1}{2}∠ APB=40°$,
所以$∠ NPC=∠ APN+∠ APC=70°$,
所以轮船 C 在灯塔 P 的北偏东$70°$的方向上.
则$∠ APB=180°-∠ APN-∠ BPS=80°$.
(2)因为 PC 平分$∠ APB$,且$∠ APB=80°$,
所以$∠ APC=\dfrac{1}{2}∠ APB=40°$,
所以$∠ NPC=∠ APN+∠ APC=70°$,
所以轮船 C 在灯塔 P 的北偏东$70°$的方向上.
解析
【分析】
(1)求解∠APB的度数时，首先明确南北方向的直线NS构成180°的平角，结合题目给出的两个方位角对应的∠APN=30°、∠BPS=70°，利用三个角之和为平角，用180°减去两个已知角的度数即可得到∠APB的度数。
(2)求解轮船C的方位时，先根据角平分线的定义算出∠APC的度数，再将其与∠APN的度数相加，得到正北方向射线PN与PC的夹角，即可确定C的方位。
【解析】
(1)由题意可知∠APN=30°，∠BPS=70°，
因为南北方向为平角，即∠NPS=180°，
所以∠APB=180°-∠APN-∠BPS=180°-30°-70°=80°。
(2)因为PC平分∠APB，且∠APB=80°，
根据角平分线的定义，可得$∠ APC=\dfrac{1}{2}∠ APB=40°$，
所以∠NPC=∠APN+∠APC=30°+40°=70°，
即轮船C在灯塔P的北偏东70°的方向上。
【答案】
(1)∠APB的度数为$80°$；
(2)轮船C在灯塔P的北偏东$70°$的方向上。
【知识点】
方位角的识别，平角的性质，角平分线的定义
【点评】
本题属于方位角相关的基础计算题，解题的核心是理清各方位对应的角之间的数量关系，结合平角、角平分线的性质即可顺利求解，能够帮助学生巩固方位角的实际应用能力。
【难度系数】
0.8
(1)求解∠APB的度数时，首先明确南北方向的直线NS构成180°的平角，结合题目给出的两个方位角对应的∠APN=30°、∠BPS=70°，利用三个角之和为平角，用180°减去两个已知角的度数即可得到∠APB的度数。
(2)求解轮船C的方位时，先根据角平分线的定义算出∠APC的度数，再将其与∠APN的度数相加，得到正北方向射线PN与PC的夹角，即可确定C的方位。
【解析】
(1)由题意可知∠APN=30°，∠BPS=70°，
因为南北方向为平角，即∠NPS=180°，
所以∠APB=180°-∠APN-∠BPS=180°-30°-70°=80°。
(2)因为PC平分∠APB，且∠APB=80°，
根据角平分线的定义，可得$∠ APC=\dfrac{1}{2}∠ APB=40°$，
所以∠NPC=∠APN+∠APC=30°+40°=70°，
即轮船C在灯塔P的北偏东70°的方向上。
【答案】
(1)∠APB的度数为$80°$；
(2)轮船C在灯塔P的北偏东$70°$的方向上。
【知识点】
方位角的识别，平角的性质，角平分线的定义
【点评】
本题属于方位角相关的基础计算题，解题的核心是理清各方位对应的角之间的数量关系，结合平角、角平分线的性质即可顺利求解，能够帮助学生巩固方位角的实际应用能力。
【难度系数】
0.8
13.【教材P10例4变式题】如图是一个简单的平面示意图，其中小明家在点O处，A，B，C，D，E分别表示学校、高铁站、博物馆、影院和公园。已知$OA = 2\ \mathrm{km}$，$OB = 6\ \mathrm{km}$，$OC = BD = 4\ \mathrm{km}$，E为OC的中点。回答下列问题：
(1)由图可知，高铁站在小明家南偏西$65°$方向6 km处。请参照这种方法，用方向和距离描述学校、博物馆相对于小明家的位置。
(2)图中哪些地方到小明家的距离相同？
(3)若小刚家在小明家北偏西$30°$方向4 km处，请在图中标出小刚家的位置。
(1)由图可知，高铁站在小明家南偏西$65°$方向6 km处。请参照这种方法，用方向和距离描述学校、博物馆相对于小明家的位置。
(2)图中哪些地方到小明家的距离相同？
(3)若小刚家在小明家北偏西$30°$方向4 km处，请在图中标出小刚家的位置。
答案
13.解:(1)学校在小明家北偏东$45°$方向 2 km 处,博物馆在小明家南偏东$50°$方向 4 km 处.
(2)图中学校、影院和公园到小明家的距离相同.
(3)如图,点 F 即为小刚家.
解析
【分析】解题时以小明家（点O）为观测点，结合“上北下南、左西右东”的方位规则分步推导：
(1) 描述点的位置需要明确方向和距离：先确定学校、博物馆对应射线和南北/东西轴的夹角，再结合已知线段长度，按照题目示例的表述方法描述即可。
(2) 分别计算各地到O点的距离：结合已知线段长度、线段和差关系、线段中点的性质计算各点到O的距离，对比找出距离相等的地点。
(3) 标注小刚家位置：先以正北方向为起始边向西偏转30°画出对应射线，再在射线上截取长度为4km的线段，端点即为小刚家。
【解析】
(1) 学校所在射线OA与正东方向夹角为45°，因此与正北方向夹角为$90°-45°=45°$，且$OA=2\ \mathrm{km}$，因此学校在小明家北偏东$45°$方向2 km处；
博物馆所在射线OC与正东方向夹角为$40°$，因此与正南方向夹角为$90°-40°=50°$，且$OC=4\ \mathrm{km}$，因此博物馆在小明家南偏东$50°$方向4 km处。
(2) 计算各点到O的距离：
已知$OA=2\ \mathrm{km}$，$OB=6\ \mathrm{km}$，$OC=4\ \mathrm{km}$；
由$BD=4\ \mathrm{km}$可得$OD=OB-BD=6-4=2\ \mathrm{km}$；
E为OC中点，因此$OE=\frac{1}{2}OC=\frac{1}{2}×4=2\ \mathrm{km}$；
可得$OA=OD=OE=2\ \mathrm{km}$，对应地点为学校、影院、公园，三者到小明家的距离相同。
(3) 以O为顶点，正北方向为一边向西作$30°$的角，在角的另一边上截取长度为4 km的线段OF，端点F即为小刚家的位置。
【答案】
(1)学校在小明家北偏东$45°$方向 2 km 处,博物馆在小明家南偏东$50°$方向 4 km 处.
(2)图中学校、影院和公园到小明家的距离相同.
(3)如图,点 F 即为小刚家.
【知识点】方位角表示，线段和差计算，平面位置确定
【点评】本题结合生活场景考查用方位角和距离确定平面内点的位置，解题核心是找准观测点，准确判断方向夹角、计算对应线段长度，侧重对基础概念的应用。
【难度系数】
0.8
(1) 描述点的位置需要明确方向和距离：先确定学校、博物馆对应射线和南北/东西轴的夹角，再结合已知线段长度，按照题目示例的表述方法描述即可。
(2) 分别计算各地到O点的距离：结合已知线段长度、线段和差关系、线段中点的性质计算各点到O的距离，对比找出距离相等的地点。
(3) 标注小刚家位置：先以正北方向为起始边向西偏转30°画出对应射线，再在射线上截取长度为4km的线段，端点即为小刚家。
【解析】
(1) 学校所在射线OA与正东方向夹角为45°，因此与正北方向夹角为$90°-45°=45°$，且$OA=2\ \mathrm{km}$，因此学校在小明家北偏东$45°$方向2 km处；
博物馆所在射线OC与正东方向夹角为$40°$，因此与正南方向夹角为$90°-40°=50°$，且$OC=4\ \mathrm{km}$，因此博物馆在小明家南偏东$50°$方向4 km处。
(2) 计算各点到O的距离：
已知$OA=2\ \mathrm{km}$，$OB=6\ \mathrm{km}$，$OC=4\ \mathrm{km}$；
由$BD=4\ \mathrm{km}$可得$OD=OB-BD=6-4=2\ \mathrm{km}$；
E为OC中点，因此$OE=\frac{1}{2}OC=\frac{1}{2}×4=2\ \mathrm{km}$；
可得$OA=OD=OE=2\ \mathrm{km}$，对应地点为学校、影院、公园，三者到小明家的距离相同。
(3) 以O为顶点，正北方向为一边向西作$30°$的角，在角的另一边上截取长度为4 km的线段OF，端点F即为小刚家的位置。
【答案】
(1)学校在小明家北偏东$45°$方向 2 km 处,博物馆在小明家南偏东$50°$方向 4 km 处.
(2)图中学校、影院和公园到小明家的距离相同.
(3)如图,点 F 即为小刚家.
【知识点】方位角表示，线段和差计算，平面位置确定
【点评】本题结合生活场景考查用方位角和距离确定平面内点的位置，解题核心是找准观测点，准确判断方向夹角、计算对应线段长度，侧重对基础概念的应用。
【难度系数】
0.8
14.新考向 规律探索 [2026·合肥四十二中期中改编]如图，在平面直角坐标系中，设一点M自$P_0(1,0)$处向上运动1个单位长度至$P_1(1,1)$处，然后向左运动2个单位长度至$P_2$处，再向下运动3个单位长度至$P_3$处，再向右运动4个单位长度至$P_4$处，再向上运动5个单位长度至$P_5$处……如此继续运动下去，设$P_n(x_n,y_n)$(n为正整数).则：
(1)$x_2+x_3+x_4+x_5=$
(2)$x_7=$
(3)$x_1+x_2+\dots+x_{2025}+x_{2026}=$
(1)$x_2+x_3+x_4+x_5=$
4
；(2)$x_7=$
$-3$
，$x_9=$$5$
；(3)$x_1+x_2+\dots+x_{2025}+x_{2026}=$
$1\ 012$
.答案
14.(1)4 (2)$-3$ 5 (3)1 012
解析
【分析】
解题时先根据点的运动规则，先写出前若干个点的横坐标，归纳横坐标的变化规律：①向上、向下移动时横坐标不变，向左、向右移动时横坐标分别减、加对应移动的单位长度；②每连续4个横坐标的和为固定值2；③当n=4k+1（k为非负整数）时，xₙ=2k+1，n=4k+3时xₙ=-(2k+1)。再按要求计算对应x值、分组求和即可。
【解析】
首先根据运动规则推导前几个点的横坐标：
P₀(1,0)，向上运动1个单位到P₁，x₁=1；
向左运动2个单位到P₂，x₂=1-2=-1；
向下运动3个单位到P₃，x₃=x₂=-1；
向右运动4个单位到P₄，x₄=-1+4=3；
向上运动5个单位到P₅，x₅=x₄=3；
向左运动6个单位到P₆，x₆=3-6=-3；
向下运动7个单位到P₇，x₇=x₆=-3；
向右运动8个单位到P₈，x₈=-3+8=5；
向上运动9个单位到P₉，x₉=x₈=5。
(1) 计算x₂+x₃+x₄+x₅：
代入数值可得：原式=-1+(-1)+3+3=4。
(2) 由上述推导直接可得x₇=-3，x₉=5。
(3) 观察规律可得：每4个连续横坐标为一组，每组和为2，如x₁+x₂+x₃+x₄=2，x₅+x₆+x₇+x₈=2。
2026÷4=506……2，即共有506组完整的4个，余下x₂₀₂₅和x₂₀₂₆两个数。
2025=4×506+1，故x₂₀₂₅=2×506+1=1013，x₂₀₂₆=1013-2026=-1013，x₂₀₂₅+x₂₀₂₆=0。
总和=506×2+0=1012。
【答案】
(1)4；(2)-3，5；(3)1012
【知识点】
点的坐标规律，有理数运算，分组求和
【点评】
本题是典型的规律探究类题型，解题核心是先通过前几个点的坐标总结出变化规律和周期特征，再利用规律求解，能有效考查学生的观察归纳能力和运算能力。
【难度系数】
0.6
解题时先根据点的运动规则，先写出前若干个点的横坐标，归纳横坐标的变化规律：①向上、向下移动时横坐标不变，向左、向右移动时横坐标分别减、加对应移动的单位长度；②每连续4个横坐标的和为固定值2；③当n=4k+1（k为非负整数）时，xₙ=2k+1，n=4k+3时xₙ=-(2k+1)。再按要求计算对应x值、分组求和即可。
【解析】
首先根据运动规则推导前几个点的横坐标：
P₀(1,0)，向上运动1个单位到P₁，x₁=1；
向左运动2个单位到P₂，x₂=1-2=-1；
向下运动3个单位到P₃，x₃=x₂=-1；
向右运动4个单位到P₄，x₄=-1+4=3；
向上运动5个单位到P₅，x₅=x₄=3；
向左运动6个单位到P₆，x₆=3-6=-3；
向下运动7个单位到P₇，x₇=x₆=-3；
向右运动8个单位到P₈，x₈=-3+8=5；
向上运动9个单位到P₉，x₉=x₈=5。
(1) 计算x₂+x₃+x₄+x₅：
代入数值可得：原式=-1+(-1)+3+3=4。
(2) 由上述推导直接可得x₇=-3，x₉=5。
(3) 观察规律可得：每4个连续横坐标为一组，每组和为2，如x₁+x₂+x₃+x₄=2，x₅+x₆+x₇+x₈=2。
2026÷4=506……2，即共有506组完整的4个，余下x₂₀₂₅和x₂₀₂₆两个数。
2025=4×506+1，故x₂₀₂₅=2×506+1=1013，x₂₀₂₆=1013-2026=-1013，x₂₀₂₅+x₂₀₂₆=0。
总和=506×2+0=1012。
【答案】
(1)4；(2)-3，5；(3)1012
【知识点】
点的坐标规律，有理数运算，分组求和
【点评】
本题是典型的规律探究类题型，解题核心是先通过前几个点的坐标总结出变化规律和周期特征，再利用规律求解，能有效考查学生的观察归纳能力和运算能力。
【难度系数】
0.6
