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1 新考向传统文化[2025山东青岛中考]如图(1)，榫卯是古代中国建筑、家具及其他器械的主要结构方式.图(2)的左视图是 (
A
B
C D
A
) A
B
C D
答案
1. A 【解析】从左边看，可得选项 A 的图形. 故选 A.
解析
【分析】
解题时首先要明确左视图的定义：左视图是从几何体的正左方向观察几何体得到的平面图形。解题步骤为：第一步确定观察方向为几何体的左侧；第二步想象从该方向观察时能看到的轮廓线形状，注意看得见的轮廓用实线表示，看不见的用虚线表示；第三步将得到的形状和选项对比，选出符合的结果即可。
【解析】
根据左视图的定义，从图(2)几何体的正左方向观察该几何体，可得看到的平面图形与选项A的图形一致，故选A。
【答案】
A
【知识点】
三视图识别、左视图定义
【点评】
本题结合传统榫卯结构考查三视图相关知识，将传统文化与数学知识相结合，侧重考查学生对基础概念的掌握情况和空间想象能力，是典型的基础考查题。
【难度系数】
0.8
解题时首先要明确左视图的定义：左视图是从几何体的正左方向观察几何体得到的平面图形。解题步骤为：第一步确定观察方向为几何体的左侧；第二步想象从该方向观察时能看到的轮廓线形状，注意看得见的轮廓用实线表示，看不见的用虚线表示；第三步将得到的形状和选项对比，选出符合的结果即可。
【解析】
根据左视图的定义，从图(2)几何体的正左方向观察该几何体，可得看到的平面图形与选项A的图形一致，故选A。
【答案】
A
【知识点】
三视图识别、左视图定义
【点评】
本题结合传统榫卯结构考查三视图相关知识，将传统文化与数学知识相结合，侧重考查学生对基础概念的掌握情况和空间想象能力，是典型的基础考查题。
【难度系数】
0.8
2[2025河北石家庄期中]手影游戏利用的物理原理是光是沿直线传播的,图(1)中的小狗手影就是我们小时候常玩的游戏.在一次手影游戏中,小明的手距离墙壁2米,爸爸拿着的光源与小明的距离为4米,如图(2)所示,若在光源不动的情况下,要使小狗手影的长度增加一倍,则小明手与光源的距离应（
A.增加1米
B.减少1米
C.增加2米
D.减少2米
D
）A.增加1米
B.减少1米
C.增加2米
D.减少2米
答案
2. D 【解析】如图(1)，点 O 为光源，AB 表示小明的手，CD 表示小狗手影，则 $AB// CD$. 过点 O 作 $OE⊥ AB$ 于点 E，延长 OE 交 CD 于 F，则 $OF⊥ CD$. $\because AB// CD$，$\therefore ∠ OAB=∠ OCD$，$∠ OBA=∠ ODC$，$\therefore △ AOB∽ △ COD$，$\therefore \frac{AB}{CD}=\frac{OE}{OF}$. $\because EF=2$ 米，$OE=4$ 米，$\therefore OF=6$ 米，$\therefore \frac{AB}{CD}=\frac{OE}{OF}=\frac{2}{3}$，$\therefore$ 设 $AB=2k$，$CD=3k$. $\because$ 在光源不动的情况下，要使小狗手影的长度增加一倍，如图(2)，即 $A'B'=2k$，$C'D'=6k$，$OF'=OF=6$ 米. 同理得 $△ A'OB'∽ △ C'OD'$，$\therefore \frac{A'B'}{C'D'}=\frac{OE'}{OF'}=\frac{1}{3}$，则 $OE'=2$ 米，$\therefore$ 小明手与光源的距离应减少 $OE-OE'=4-2=2$(米)，故选 D.
解析
【分析】
本题是中心投影结合相似三角形的应用题，解题思路如下：首先根据光沿直线传播的规律，手与墙面的影子互相平行，因此手、影子分别和光源构成的两个三角形为相似三角形；第一步先计算初始状态下的相似比，结合光源到手的距离、手到墙面的距离，利用相似三角形对应高的比等于相似比，得到手的长度和原影长的比例关系；第二步根据影长增加一倍、光源和墙面位置固定的条件，再次利用相似三角形的性质求出新的手到光源的距离，最后对比初始距离即可得到变化情况。
【解析】
解：设点O为光源，AB表示小明的手，CD表示小狗手影，由题意得$AB// CD$。
过点O作$OE⊥ AB$于点E，延长OE交CD于F，则$OF⊥ CD$。
$\because AB// CD$，
$\therefore ∠ OAB=∠ OCD$，$∠ OBA=∠ ODC$，
$\therefore △ AOB ∽ △ COD$，
$\therefore \frac{AB}{CD}=\frac{OE}{OF}$。
已知$EF=2$米，$OE=4$米，因此$OF=OE+EF=4+2=6$米，
代入得$\frac{AB}{CD}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$，设$AB=2k$，则$CD=3k$。
若手影长度增加一倍，此时手影长$C'D'=2CD=6k$，光源和墙壁位置不变，故$OF'=OF=6$米，设此时手到光源的距离为$OE'$，
同理可得$△ A'OB' ∽ △ C'OD'$，
$\therefore \frac{A'B'}{C'D'}=\frac{OE'}{OF'}$，代入$A'B'=AB=2k$，$C'D'=6k$，$OF'=6$米，
得$\frac{2k}{6k}=\frac{OE'}{6}$，解得$OE'=2$米。
因此小明手与光源的距离变化为$4-2=2$米，即减少2米。
【答案】
D
【知识点】
相似三角形的判定，相似三角形的性质，中心投影
【点评】
本题将生活中常见的手影游戏与几何知识结合，考查相似三角形在中心投影问题中的应用，解题核心是识别出中心投影中的相似三角形模型，抓住相似三角形对应高的比等于相似比的性质，注意“光源、墙壁位置不变”的隐含条件即可顺利求解。
【难度系数】
0.6
本题是中心投影结合相似三角形的应用题，解题思路如下：首先根据光沿直线传播的规律，手与墙面的影子互相平行，因此手、影子分别和光源构成的两个三角形为相似三角形；第一步先计算初始状态下的相似比，结合光源到手的距离、手到墙面的距离，利用相似三角形对应高的比等于相似比，得到手的长度和原影长的比例关系；第二步根据影长增加一倍、光源和墙面位置固定的条件，再次利用相似三角形的性质求出新的手到光源的距离，最后对比初始距离即可得到变化情况。
【解析】
解：设点O为光源，AB表示小明的手，CD表示小狗手影，由题意得$AB// CD$。
过点O作$OE⊥ AB$于点E，延长OE交CD于F，则$OF⊥ CD$。
$\because AB// CD$，
$\therefore ∠ OAB=∠ OCD$，$∠ OBA=∠ ODC$，
$\therefore △ AOB ∽ △ COD$，
$\therefore \frac{AB}{CD}=\frac{OE}{OF}$。
已知$EF=2$米，$OE=4$米，因此$OF=OE+EF=4+2=6$米，
代入得$\frac{AB}{CD}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$，设$AB=2k$，则$CD=3k$。
若手影长度增加一倍，此时手影长$C'D'=2CD=6k$，光源和墙壁位置不变，故$OF'=OF=6$米，设此时手到光源的距离为$OE'$，
同理可得$△ A'OB' ∽ △ C'OD'$，
$\therefore \frac{A'B'}{C'D'}=\frac{OE'}{OF'}$，代入$A'B'=AB=2k$，$C'D'=6k$，$OF'=6$米，
得$\frac{2k}{6k}=\frac{OE'}{6}$，解得$OE'=2$米。
因此小明手与光源的距离变化为$4-2=2$米，即减少2米。
【答案】
D
【知识点】
相似三角形的判定，相似三角形的性质，中心投影
【点评】
本题将生活中常见的手影游戏与几何知识结合，考查相似三角形在中心投影问题中的应用，解题核心是识别出中心投影中的相似三角形模型，抓住相似三角形对应高的比等于相似比的性质，注意“光源、墙壁位置不变”的隐含条件即可顺利求解。
【难度系数】
0.6
3[2026陕西西安期中]甲、乙两人在如图所示的平行四边形空地ABCD进行跑步比赛，两人同时从点B出发，沿着平行四边形ABCD边缘顺时针跑步，且甲的速度是乙的速度的2倍。当甲到达点E，乙到达点F时，甲、乙的影子(太阳光照射)刚好在同一条直线上，此时，点B处一根竖立的竹竿的影子(太阳光照射)刚好在对角线BD上，则CE的长为 (
A.4 m
B.8 m
C.12 m
D.16 m
B
)A.4 m
B.8 m
C.12 m
D.16 m
答案
3. B 【解析】如图，连接 EF. $\because$ 四边形 ABCD 为平行四边形，$\therefore AD=BC=40\ \mathrm{m}$. $\because$ 当甲到达点 E，乙到达点 F 时，甲、乙的影子(太阳光照射)刚好在同一条直线上，此时，点 B 处一根竖立的竹竿的影子(太阳光照射)刚好在对角线 BD 上，$\therefore EF// BD$，$\therefore$ 易得 $△ CEF∽ △ CDB$，$\therefore \frac{CE}{CD}=\frac{CF}{CB}$.
$\because$ 两人同时从点 B 出发，沿着平行四边形 ABCD 边缘顺时针跑步，且甲的速度是乙的速度的 2 倍，$\therefore BC+CE=2BF$，$\therefore 40+CE=2BF$，$\therefore BF=\frac{1}{2}(40+CE)=20+\frac{1}{2}CE$，$\therefore CF=BC-BF=40-(20+\frac{1}{2}CE)=20-\frac{1}{2}CE$，$\therefore \frac{CE}{20}=\frac{20-\frac{1}{2}CE}{40}$，$\therefore CE=8\ \mathrm{m}$. 故选 B.
解析
【分析】
解题时首先结合平行投影的性质：太阳光线是平行光线，由题意可知此时EF和BD都与光线方向平行，因此EF//BD，进而可推出△CEF和△CDB相似，得到对应边成比例的关系。接下来结合行程问题的数量关系：两人同时出发，运动时间相同，甲的速度是乙的2倍，因此甲的总路程是乙的2倍，据此可以用含CE的式子表示出CF的长度，最后代入相似三角形的比例式解方程，即可求出CE的长度。
【解析】
如图，连接EF。
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴$AD=BC=40\ \mathrm{m}$，$CD=20\ \mathrm{m}$。
由平行投影的性质可知，太阳光线互相平行，结合题意可得$EF// BD$，
∴$∠ CEF=∠ CDB$，$∠ CFE=∠ CBD$，即$△ CEF∽△ CDB$，
∴对应边成比例：$\frac{CE}{CD}=\frac{CF}{CB}$。
设CE的长为$x\ \mathrm{m}$，
∵两人运动时间相同，甲的速度是乙的2倍，
∴甲跑的总路程是乙的2倍，
甲的路程：$BC+CE=40+x$，乙的路程：$BF$，
∴$40+x=2BF$，解得$BF=\frac{40+x}{2}=20+\frac{1}{2}x$，
则$CF=BC-BF=40-(20+\frac{1}{2}x)=20-\frac{1}{2}x$。
将$CE=x$，$CD=20$，$CF=20-\frac{1}{2}x$，$CB=40$代入比例式：
$\frac{x}{20}=\frac{20-\frac{1}{2}x}{40}$，
交叉相乘得：$40x=20×(20-\frac{1}{2}x)$，
化简得：$40x=400-10x$，
移项得：$50x=400$，
解得$x=8$，即$CE=8\ \mathrm{m}$。
【答案】
B
【知识点】
平行投影的性质，相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质
【点评】
本题将几何知识与行程问题结合，解题的核心是利用平行投影的特征得到线段平行关系，进而推导相似三角形，再结合路程与速度的关系建立方程求解，能较好地考查学生综合运用知识解决问题的能力。
【难度系数】
0.6
解题时首先结合平行投影的性质：太阳光线是平行光线，由题意可知此时EF和BD都与光线方向平行，因此EF//BD，进而可推出△CEF和△CDB相似，得到对应边成比例的关系。接下来结合行程问题的数量关系：两人同时出发，运动时间相同，甲的速度是乙的2倍，因此甲的总路程是乙的2倍，据此可以用含CE的式子表示出CF的长度，最后代入相似三角形的比例式解方程，即可求出CE的长度。
【解析】
如图，连接EF。
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴$AD=BC=40\ \mathrm{m}$，$CD=20\ \mathrm{m}$。
由平行投影的性质可知，太阳光线互相平行，结合题意可得$EF// BD$，
∴$∠ CEF=∠ CDB$，$∠ CFE=∠ CBD$，即$△ CEF∽△ CDB$，
∴对应边成比例：$\frac{CE}{CD}=\frac{CF}{CB}$。
设CE的长为$x\ \mathrm{m}$，
∵两人运动时间相同，甲的速度是乙的2倍，
∴甲跑的总路程是乙的2倍，
甲的路程：$BC+CE=40+x$，乙的路程：$BF$，
∴$40+x=2BF$，解得$BF=\frac{40+x}{2}=20+\frac{1}{2}x$，
则$CF=BC-BF=40-(20+\frac{1}{2}x)=20-\frac{1}{2}x$。
将$CE=x$，$CD=20$，$CF=20-\frac{1}{2}x$，$CB=40$代入比例式：
$\frac{x}{20}=\frac{20-\frac{1}{2}x}{40}$，
交叉相乘得：$40x=20×(20-\frac{1}{2}x)$，
化简得：$40x=400-10x$，
移项得：$50x=400$，
解得$x=8$，即$CE=8\ \mathrm{m}$。
【答案】
B
【知识点】
平行投影的性质，相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质
【点评】
本题将几何知识与行程问题结合，解题的核心是利用平行投影的特征得到线段平行关系，进而推导相似三角形，再结合路程与速度的关系建立方程求解，能较好地考查学生综合运用知识解决问题的能力。
【难度系数】
0.6
二、填空题(本大题共2小题,每小题10分,共20分)
4 新考法[2026安徽宿州期末]谜语是以隐射事物或文字供人猜测的传统语言艺术形式,古时称“廋辞(sōu cí)”或“隐语”.谜语“正看三条边,侧看三条边,上看圆圈圈,中间是一点”的谜底是
4 新考法[2026安徽宿州期末]谜语是以隐射事物或文字供人猜测的传统语言艺术形式,古时称“廋辞(sōu cí)”或“隐语”.谜语“正看三条边,侧看三条边,上看圆圈圈,中间是一点”的谜底是
圆锥
. (打一几何体)答案
4. 圆锥 【解析】由题意可知，这个几何体是圆锥，故答案为圆锥.
解析
【分析】
解题时首先要将谜面的描述转化为几何体三视图的特征：首先“正看三条边、侧看三条边”说明几何体的主视图和左视图都是三角形；“上看圆圈圈，中间是一点”说明几何体的俯视图是带圆心的圆。再结合常见几何体的三视图特征，匹配符合条件的几何体即可。
【解析】
第一步：翻译谜面对应的三视图特征：
1. 正看（主视图）有三条边，可得主视图为三角形；
2. 侧看（左视图）有三条边，可得左视图为三角形；
3. 上看（俯视图）为带圆心的圆形。
第二步：匹配常见几何体的三视图：圆锥的主视图、左视图均为等腰三角形（共3条边），俯视图为带圆心的圆，完全符合所有描述，因此该几何体为圆锥。
【答案】
圆锥
【知识点】
几何体的三视图；圆锥的特征
【点评】
本题结合传统谜语文化考查几何体三视图的知识，命题形式新颖有趣，既考查了学生对常见几何体三视图的识记和辨析能力，也能让学生感受到数学和传统文化结合的趣味。
【难度系数】
0.8
解题时首先要将谜面的描述转化为几何体三视图的特征：首先“正看三条边、侧看三条边”说明几何体的主视图和左视图都是三角形；“上看圆圈圈，中间是一点”说明几何体的俯视图是带圆心的圆。再结合常见几何体的三视图特征，匹配符合条件的几何体即可。
【解析】
第一步：翻译谜面对应的三视图特征：
1. 正看（主视图）有三条边，可得主视图为三角形；
2. 侧看（左视图）有三条边，可得左视图为三角形；
3. 上看（俯视图）为带圆心的圆形。
第二步：匹配常见几何体的三视图：圆锥的主视图、左视图均为等腰三角形（共3条边），俯视图为带圆心的圆，完全符合所有描述，因此该几何体为圆锥。
【答案】
圆锥
【知识点】
几何体的三视图；圆锥的特征
【点评】
本题结合传统谜语文化考查几何体三视图的知识，命题形式新颖有趣，既考查了学生对常见几何体三视图的识记和辨析能力，也能让学生感受到数学和传统文化结合的趣味。
【难度系数】
0.8
5 [2025 山西晋中质检]广场上一个大型艺术字板块在地上的投影如图所示，则该投影属于
中心投影
.(填写“平行投影”或“中心投影”)答案
5. 中心投影 【解析】根据从一个点发出的光线所形成的投影称为中心投影，可以得到该投影属于中心投影.
解析
【分析】
解题时首先回忆平行投影和中心投影的核心区别：平行投影是平行光线（如太阳光）照射形成的，投影线互相平行；中心投影是点光源发出的光线照射形成的，投影线从同一点出发呈发散状。接下来观察题图中艺术字的投影，多个投影的方向是从中心向外发散的，说明光线从同一点发出，符合中心投影的特征，依此即可判断投影类型。
【解析】
根据投影的相关定义：从一个点发出的光线所形成的投影称为中心投影，平行光线照射形成的投影为平行投影。观察该艺术字的投影，其投影线可交于同一点，说明光线是从同一点发出的，因此该投影属于中心投影。
【答案】
中心投影
【知识点】
中心投影定义；投影类型判断
【点评】
本题属于基础概念题，主要考查对平行投影和中心投影的区分，解题关键是掌握两类投影的特征，结合图像特点即可快速作答，侧重对基础概念掌握程度的考查。
【难度系数】
0.9
解题时首先回忆平行投影和中心投影的核心区别：平行投影是平行光线（如太阳光）照射形成的，投影线互相平行；中心投影是点光源发出的光线照射形成的，投影线从同一点出发呈发散状。接下来观察题图中艺术字的投影，多个投影的方向是从中心向外发散的，说明光线从同一点发出，符合中心投影的特征，依此即可判断投影类型。
【解析】
根据投影的相关定义：从一个点发出的光线所形成的投影称为中心投影，平行光线照射形成的投影为平行投影。观察该艺术字的投影，其投影线可交于同一点，说明光线是从同一点发出的，因此该投影属于中心投影。
【答案】
中心投影
【知识点】
中心投影定义；投影类型判断
【点评】
本题属于基础概念题，主要考查对平行投影和中心投影的区分，解题关键是掌握两类投影的特征，结合图像特点即可快速作答，侧重对基础概念掌握程度的考查。
【难度系数】
0.9
三、解答题(本大题共2小题,共50分)
6[2025陕西西安校级质检]如图是在一个棱长为3 cm的正方体中间挖掉一个底面直径为1 cm的圆柱形成的几何体.
(1)请画出这个几何体的三视图；
(2)求该几何体的表面积.
正面
6[2025陕西西安校级质检]如图是在一个棱长为3 cm的正方体中间挖掉一个底面直径为1 cm的圆柱形成的几何体.
(1)请画出这个几何体的三视图；
(2)求该几何体的表面积.
正面
答案
6.【解】(1)三视图如图所示：
(2)该几何体的表面积为 $3× 3× 6-2π× (\frac{1}{2})^2+π× 1× 3=(54+\frac{5}{2}π)\mathrm{cm}^2$.
解析
【分析】
(1) 绘制三视图需遵循“长对正、高平齐、宽相等”的原则，看得见的轮廓用实线，看不见的轮廓用虚线：从正面看，是正方形中间带一个可见的圆；从左面看，是正方形，圆柱的上下轮廓不可见，用虚线表示；从上面看，是正方形，圆柱的左右轮廓不可见，用虚线表示，即可得到对应三视图。
(2) 计算组合体表面积时，先算原正方体的表面积，挖去圆柱后，正方体表面会减少2个圆柱底面的面积，同时新增圆柱的侧面积，将三部分合并计算即可得到最终表面积。
【解析】
(1) 根据三视图绘制规则：
①主视图：从正面观察，外轮廓为边长3cm的正方形，中间可见直径1cm的圆，用实线绘制；
②左视图：从左侧观察，外轮廓为边长3cm的正方形，内部圆柱的上下轮廓不可见，绘制两条水平虚线；
③俯视图：从上方观察，外轮廓为边长3cm的正方形，内部圆柱的左右轮廓不可见，绘制两条竖直虚线。
最终三视图如下：
(2) 分步计算表面积：
①计算原正方体的表面积：$S_{\mathrm{正方体}}=6× 3× 3=54\ \mathrm{cm}^2$
②计算挖去的圆柱两个底面的面积：圆柱底面半径$r=\frac{1}{2}\ \mathrm{cm}$，所以$S_{\mathrm{两个底面}}=2× π× (\frac{1}{2})^2=\frac{π}{2}\ \mathrm{cm}^2$，这部分是正方体表面被挖去的部分，需要减去。
③计算圆柱的侧面积：圆柱底面周长$C=π d=π×1=π\ \mathrm{cm}$，高等于正方体棱长3cm，所以$S_{\mathrm{侧}}=C× h=π×1×3=3π\ \mathrm{cm}^2$，这部分是新增的表面积，需要加上。
④总表面积：$S=54-\frac{π}{2}+3π=54+\frac{5}{2}π\ \mathrm{cm}^2$
【答案】
(1) 三视图如图所示：
(2) 该几何体的表面积为 $\boldsymbol{(54+\frac{5}{2}π)\mathrm{cm}^2}$
【知识点】
三视图绘制、正方体表面积计算、圆柱侧面积计算
【点评】
本题考查组合体的三视图绘制和表面积计算，属于几何基础常考题，绘制三视图时要注意不可见轮廓用虚线表示，计算表面积时要明确挖去圆柱后表面积的增减变化，避免漏算或多算部分面积。
【难度系数】
0.7
(1) 绘制三视图需遵循“长对正、高平齐、宽相等”的原则，看得见的轮廓用实线，看不见的轮廓用虚线：从正面看，是正方形中间带一个可见的圆；从左面看，是正方形，圆柱的上下轮廓不可见，用虚线表示；从上面看，是正方形，圆柱的左右轮廓不可见，用虚线表示，即可得到对应三视图。
(2) 计算组合体表面积时，先算原正方体的表面积，挖去圆柱后，正方体表面会减少2个圆柱底面的面积，同时新增圆柱的侧面积，将三部分合并计算即可得到最终表面积。
【解析】
(1) 根据三视图绘制规则：
①主视图：从正面观察，外轮廓为边长3cm的正方形，中间可见直径1cm的圆，用实线绘制；
②左视图：从左侧观察，外轮廓为边长3cm的正方形，内部圆柱的上下轮廓不可见，绘制两条水平虚线；
③俯视图：从上方观察，外轮廓为边长3cm的正方形，内部圆柱的左右轮廓不可见，绘制两条竖直虚线。
最终三视图如下：
(2) 分步计算表面积：
①计算原正方体的表面积：$S_{\mathrm{正方体}}=6× 3× 3=54\ \mathrm{cm}^2$
②计算挖去的圆柱两个底面的面积：圆柱底面半径$r=\frac{1}{2}\ \mathrm{cm}$，所以$S_{\mathrm{两个底面}}=2× π× (\frac{1}{2})^2=\frac{π}{2}\ \mathrm{cm}^2$，这部分是正方体表面被挖去的部分，需要减去。
③计算圆柱的侧面积：圆柱底面周长$C=π d=π×1=π\ \mathrm{cm}$，高等于正方体棱长3cm，所以$S_{\mathrm{侧}}=C× h=π×1×3=3π\ \mathrm{cm}^2$，这部分是新增的表面积，需要加上。
④总表面积：$S=54-\frac{π}{2}+3π=54+\frac{5}{2}π\ \mathrm{cm}^2$
【答案】
(1) 三视图如图所示：
(2) 该几何体的表面积为 $\boldsymbol{(54+\frac{5}{2}π)\mathrm{cm}^2}$
【知识点】
三视图绘制、正方体表面积计算、圆柱侧面积计算
【点评】
本题考查组合体的三视图绘制和表面积计算，属于几何基础常考题，绘制三视图时要注意不可见轮廓用虚线表示，计算表面积时要明确挖去圆柱后表面积的增减变化，避免漏算或多算部分面积。
【难度系数】
0.7
7 [2025 四川雅安期末]如图,小明在晚上站在P处时发现,他在路灯BD下的影长为2米,且影子顶部恰好位于路灯AC的底部,接着他走了6.5米到Q处,此时他在路灯AC下的影子顶部恰好位于路灯BD的底部(已知小明身高1.8米,路灯BD高9米).
(1)指出小明站在P处时在路灯BD下的影子;
(2)计算小明站在Q处时在路灯AC下的影长;
(3)计算路灯AC的高度.
(1)指出小明站在P处时在路灯BD下的影子;
(2)计算小明站在Q处时在路灯AC下的影长;
(3)计算路灯AC的高度.
答案
7.【解】(1)线段 CP 为小明站在 P 处时在路灯 BD 下的影子.
(2)由题意得 $△ CEP∽ △ CBD$，$\therefore \frac{EP}{BD}=\frac{CP}{CD}$，
$\therefore \frac{1.8}{9}=\frac{2}{2+6.5+QD}$，$\therefore QD=1.5$ 米.
答:小明站在 Q 处时在路灯 AC 下的影长为 1.5 米.
(3)由题意得 $△ DFQ∽ △ DAC$，
$\therefore \frac{FQ}{AC}=\frac{QD}{CD}$，$\therefore \frac{1.8}{AC}=\frac{1.5}{1.5+6.5+2}$，
$\therefore AC=12$ 米.
答:路灯 AC 的高度为 12 米.
(2)由题意得 $△ CEP∽ △ CBD$，$\therefore \frac{EP}{BD}=\frac{CP}{CD}$，
$\therefore \frac{1.8}{9}=\frac{2}{2+6.5+QD}$，$\therefore QD=1.5$ 米.
答:小明站在 Q 处时在路灯 AC 下的影长为 1.5 米.
(3)由题意得 $△ DFQ∽ △ DAC$，
$\therefore \frac{FQ}{AC}=\frac{QD}{CD}$，$\therefore \frac{1.8}{AC}=\frac{1.5}{1.5+6.5+2}$，
$\therefore AC=12$ 米.
答:路灯 AC 的高度为 12 米.
解析
【分析】
(1) 路灯下的影子是从人的脚底位置到影子顶端的线段，已知P处影子顶部恰好位于路灯AC的底部C点，因此直接可得对应的影子线段。
(2) 要求Q处的影长，首先根据人和路灯都垂直于地面的特点，得到平行关系，进而推出两个三角形相似，利用相似三角形对应边成比例的性质，代入已知量列方程即可求解。
(3) 求路灯AC的高度时，和第二问思路一致，先找到对应的相似三角形，再利用相似的比例性质，代入已经求出的影长和总距离，列方程求解即可。
【解析】
(1) 小明站在P处时，影子顶端在C点，脚底在P点，因此对应的影子是线段CP。
(2) 由题意得：$EP⊥ CD$，$BD⊥ CD$，因此$∠ EPC=∠ BDC=90°$，又$∠ C$为公共角，故$△ CEP ∽ △ CBD$。
根据相似三角形对应边成比例，可得：$\frac{EP}{BD}=\frac{CP}{CD}$
已知$EP=1.8\mathrm{m}$，$BD=9\mathrm{m}$，$CP=2\mathrm{m}$，$CD=CP+PQ+QD=2+6.5+QD$，代入得：
$\frac{1.8}{9}=\frac{2}{2+6.5+QD}$
解得$QD=1.5\mathrm{m}$。
(3) 由题意得：$FQ⊥ CD$，$AC⊥ CD$，因此$∠ FQD=∠ ACD=90°$，又$∠ D$为公共角，故$△ DFQ ∽ △ DAC$。
根据相似三角形对应边成比例，可得：$\frac{FQ}{AC}=\frac{QD}{CD}$
已知$FQ=1.8\mathrm{m}$，$QD=1.5\mathrm{m}$，$CD=2+6.5+1.5=10\mathrm{m}$，代入得：
$\frac{1.8}{AC}=\frac{1.5}{10}$
解得$AC=12\mathrm{m}$。
【答案】
(1) 线段$CP$；
(2) $1.5$米；
(3) $12$米
【知识点】
中心投影，相似三角形的判定，相似三角形的性质
【点评】
本题结合生活中的投影场景考查相似三角形的实际应用，解题核心是根据垂直关系找到相似三角形，利用相似的性质建立方程求解，能够锻炼将实际问题转化为数学模型的能力。
【难度系数】
0.7
(1) 路灯下的影子是从人的脚底位置到影子顶端的线段，已知P处影子顶部恰好位于路灯AC的底部C点，因此直接可得对应的影子线段。
(2) 要求Q处的影长，首先根据人和路灯都垂直于地面的特点，得到平行关系，进而推出两个三角形相似，利用相似三角形对应边成比例的性质，代入已知量列方程即可求解。
(3) 求路灯AC的高度时，和第二问思路一致，先找到对应的相似三角形，再利用相似的比例性质，代入已经求出的影长和总距离，列方程求解即可。
【解析】
(1) 小明站在P处时，影子顶端在C点，脚底在P点，因此对应的影子是线段CP。
(2) 由题意得：$EP⊥ CD$，$BD⊥ CD$，因此$∠ EPC=∠ BDC=90°$，又$∠ C$为公共角，故$△ CEP ∽ △ CBD$。
根据相似三角形对应边成比例，可得：$\frac{EP}{BD}=\frac{CP}{CD}$
已知$EP=1.8\mathrm{m}$，$BD=9\mathrm{m}$，$CP=2\mathrm{m}$，$CD=CP+PQ+QD=2+6.5+QD$，代入得：
$\frac{1.8}{9}=\frac{2}{2+6.5+QD}$
解得$QD=1.5\mathrm{m}$。
(3) 由题意得：$FQ⊥ CD$，$AC⊥ CD$，因此$∠ FQD=∠ ACD=90°$，又$∠ D$为公共角，故$△ DFQ ∽ △ DAC$。
根据相似三角形对应边成比例，可得：$\frac{FQ}{AC}=\frac{QD}{CD}$
已知$FQ=1.8\mathrm{m}$，$QD=1.5\mathrm{m}$，$CD=2+6.5+1.5=10\mathrm{m}$，代入得：
$\frac{1.8}{AC}=\frac{1.5}{10}$
解得$AC=12\mathrm{m}$。
【答案】
(1) 线段$CP$；
(2) $1.5$米；
(3) $12$米
【知识点】
中心投影，相似三角形的判定，相似三角形的性质
【点评】
本题结合生活中的投影场景考查相似三角形的实际应用，解题核心是根据垂直关系找到相似三角形，利用相似的性质建立方程求解，能够锻炼将实际问题转化为数学模型的能力。
【难度系数】
0.7
