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9. 如图，王师傅用六根木条钉成一个六边形木框，要使它不变形，至少还要再钉上木条的根数是（
A.2
B.3
C.4
D.5
B
）A.2
B.3
C.4
D.5
答案
9 B 如图
,他至少还要再钉上3根木条.解析
【分析】
要解决这个问题，首先要明确核心原理：三角形具有稳定性，边数大于等于4的多边形不具有稳定性，要让多边形木框不变形，需要将其分割为若干个互不重叠的三角形。我们可以从六边形的任意一个顶点出发，向不相邻的顶点连接线段（即钉木条），计算最少连接多少条线段可以将六边形全部分为三角形，得到的结果就是需要额外钉的木条根数。
【解析】
因为三角形具有稳定性，所以要使六边形木框不变形，需将六边形分割为若干个三角形。
对于n边形，从任意一个顶点出发，向不相邻的顶点作对角线，一共可作出（n-3）条对角线，这些对角线可将n边形分成（n-2）个三角形，此时木框就具备稳定性不会变形。
本题中图形是六边形，即n=6，代入得需要的木条根数为6-3=3根。
【答案】
B 如图,他至少还要再钉上3根木条.
【知识点】
三角形的稳定性；多边形的对角线
【点评】
本题是三角形稳定性在实际生活中的应用，结合多边形对角线的规律即可快速求解，解题的关键是理解让多边形不变形的本质是将其拆分为多个三角形。
【难度系数】
0.8
要解决这个问题，首先要明确核心原理：三角形具有稳定性，边数大于等于4的多边形不具有稳定性，要让多边形木框不变形，需要将其分割为若干个互不重叠的三角形。我们可以从六边形的任意一个顶点出发，向不相邻的顶点连接线段（即钉木条），计算最少连接多少条线段可以将六边形全部分为三角形，得到的结果就是需要额外钉的木条根数。
【解析】
因为三角形具有稳定性，所以要使六边形木框不变形，需将六边形分割为若干个三角形。
对于n边形，从任意一个顶点出发，向不相邻的顶点作对角线，一共可作出（n-3）条对角线，这些对角线可将n边形分成（n-2）个三角形，此时木框就具备稳定性不会变形。
本题中图形是六边形，即n=6，代入得需要的木条根数为6-3=3根。
【答案】
B 如图
,他至少还要再钉上3根木条.【知识点】
三角形的稳定性；多边形的对角线
【点评】
本题是三角形稳定性在实际生活中的应用，结合多边形对角线的规律即可快速求解，解题的关键是理解让多边形不变形的本质是将其拆分为多个三角形。
【难度系数】
0.8
10. [2025长治期末]如图,在$△ ABC$中,$∠ B = 40°$,以点A为圆心,AC的长为半径画弧,交AB于点D,再分别以点A,D为圆心,AB,BC的长为半径画弧交于点E,连接AE,DE,则$∠ AED$的度数为 (
A.$40°$
B.$45°$
C.$50°$
D.$55°$
A
)A.$40°$
B.$45°$
C.$50°$
D.$55°$
答案
10 A 由题意可知,$AC = AD, AB = AE, BC = ED,\therefore △ ABC≌△ AED(SSS),\therefore ∠ AED = ∠ B = 40°.$
解析
【分析】
解题时首先从题目描述的尺规作图步骤入手提取等量关系：第一步以A为圆心AC长为半径画弧交AB于D，可得AC=AD；第二步分别以A、D为圆心，AB、BC的长为半径画弧交于E，可得AE=AB、DE=BC。发现两个三角形三组对应边分别相等，可通过SSS判定两三角形全等，再利用全等三角形对应角相等的性质，即可得到∠AED的度数和∠B相等，进而求出结果。
【解析】
解：根据尺规作图的特征可得：
$AC=AD$，$AB=AE$，$BC=DE$
在$△ ABC$和$△ AED$中：
$\begin{cases}AC=AD \\AB=AE \\BC=DE\end{cases}$
$\therefore △ ABC ≌ △ AED \ (\mathrm{SSS})$
$\therefore ∠ AED = ∠ B$
已知$∠ B=40°$，因此$∠ AED=40°$。
故选：A
【答案】
A
【知识点】
尺规作图，SSS证全等，全等三角形性质
【点评】
本题结合尺规作图考查全等三角形的判定与性质，解题核心是从作图步骤中提取对应边相等的条件，属于基础题型，熟练掌握全等三角形的判定定理即可快速求解。
【难度系数】
0.8
解题时首先从题目描述的尺规作图步骤入手提取等量关系：第一步以A为圆心AC长为半径画弧交AB于D，可得AC=AD；第二步分别以A、D为圆心，AB、BC的长为半径画弧交于E，可得AE=AB、DE=BC。发现两个三角形三组对应边分别相等，可通过SSS判定两三角形全等，再利用全等三角形对应角相等的性质，即可得到∠AED的度数和∠B相等，进而求出结果。
【解析】
解：根据尺规作图的特征可得：
$AC=AD$，$AB=AE$，$BC=DE$
在$△ ABC$和$△ AED$中：
$\begin{cases}AC=AD \\AB=AE \\BC=DE\end{cases}$
$\therefore △ ABC ≌ △ AED \ (\mathrm{SSS})$
$\therefore ∠ AED = ∠ B$
已知$∠ B=40°$，因此$∠ AED=40°$。
故选：A
【答案】
A
【知识点】
尺规作图，SSS证全等，全等三角形性质
【点评】
本题结合尺规作图考查全等三角形的判定与性质，解题核心是从作图步骤中提取对应边相等的条件，属于基础题型，熟练掌握全等三角形的判定定理即可快速求解。
【难度系数】
0.8
11.如图,在四边形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,且AB=AD,CB=CD,则图中全等三角形共有 (
A.1对
B.2对
C.3对
D.4对
C
)A.1对
B.2对
C.3对
D.4对
答案
11 C 在△ABC 和△ADC 中,$\begin{cases} AB = AD, \\ BC = DC, \\ AC = AC, \end{cases}$$\therefore △ ABC≌△ ADC(SSS),$
$\therefore ∠ BAC = ∠ DAC.$ 在△ABO 和△ADO 中,
$\begin{cases} AB = AD, \\ ∠ BAO = ∠ DAO, \\ AO = AO, \end{cases}$$\therefore △ ABO≌△ ADO(SAS),\therefore BO = DO.$ 在
△BCO 和△DCO 中,$\begin{cases} BO = DO, \\ BC = DC, \\ CO = CO, \end{cases}$$\therefore △ BCO≌△ DCO(SSS).$综上,全等三角形共有3对.
$\therefore ∠ BAC = ∠ DAC.$ 在△ABO 和△ADO 中,
$\begin{cases} AB = AD, \\ ∠ BAO = ∠ DAO, \\ AO = AO, \end{cases}$$\therefore △ ABO≌△ ADO(SAS),\therefore BO = DO.$ 在
△BCO 和△DCO 中,$\begin{cases} BO = DO, \\ BC = DC, \\ CO = CO, \end{cases}$$\therefore △ BCO≌△ DCO(SSS).$综上,全等三角形共有3对.
解析
【分析】
解题时先从题目给出的两组边相等的已知条件入手，首先观察到AC是△ABC和△ADC的公共边，可先利用SSS判定证明这两个三角形全等；再利用全等三角形的对应角相等得到∠BAC=∠DAC，结合AB=AD、AO是公共边，用SAS判定证明△ABO和△ADO全等；之后由全等得到BO=DO，结合已知BC=DC、CO是公共边，用SSS判定证明△BCO和△DCO全等，最后统计全等三角形的总对数即可。
【解析】
在△ABC 和△ADC 中，
$\begin{cases} AB = AD, \\ BC = DC, \\ AC = AC, \end{cases}$
$\therefore △ ABC≌△ ADC(SSS)$，
$\therefore ∠ BAC = ∠ DAC$。
在△ABO 和△ADO 中，
$\begin{cases} AB = AD, \\ ∠ BAO = ∠ DAO, \\ AO = AO, \end{cases}$
$\therefore △ ABO≌△ ADO(SAS)$，
$\therefore BO = DO$。
在△BCO 和△DCO 中，
$\begin{cases} BO = DO, \\ BC = DC, \\ CO = CO, \end{cases}$
$\therefore △ BCO≌△ DCO(SSS)$。
综上，全等三角形共有3对。
【答案】
C
【知识点】
1. 全等三角形的SSS判定
2. 全等三角形的SAS判定
3. 全等三角形的性质
【点评】
本题属于全等三角形判定的基础题型，解题关键是先从已知边的相等关系入手，优先证明易证的全等三角形，再借助全等得到的边角相等的结论推导其余全等，注意不要遗漏全等三角形的对数。
【难度系数】
0.7
解题时先从题目给出的两组边相等的已知条件入手，首先观察到AC是△ABC和△ADC的公共边，可先利用SSS判定证明这两个三角形全等；再利用全等三角形的对应角相等得到∠BAC=∠DAC，结合AB=AD、AO是公共边，用SAS判定证明△ABO和△ADO全等；之后由全等得到BO=DO，结合已知BC=DC、CO是公共边，用SSS判定证明△BCO和△DCO全等，最后统计全等三角形的总对数即可。
【解析】
在△ABC 和△ADC 中，
$\begin{cases} AB = AD, \\ BC = DC, \\ AC = AC, \end{cases}$
$\therefore △ ABC≌△ ADC(SSS)$，
$\therefore ∠ BAC = ∠ DAC$。
在△ABO 和△ADO 中，
$\begin{cases} AB = AD, \\ ∠ BAO = ∠ DAO, \\ AO = AO, \end{cases}$
$\therefore △ ABO≌△ ADO(SAS)$，
$\therefore BO = DO$。
在△BCO 和△DCO 中，
$\begin{cases} BO = DO, \\ BC = DC, \\ CO = CO, \end{cases}$
$\therefore △ BCO≌△ DCO(SSS)$。
综上，全等三角形共有3对。
【答案】
C
【知识点】
1. 全等三角形的SSS判定
2. 全等三角形的SAS判定
3. 全等三角形的性质
【点评】
本题属于全等三角形判定的基础题型，解题关键是先从已知边的相等关系入手，优先证明易证的全等三角形，再借助全等得到的边角相等的结论推导其余全等，注意不要遗漏全等三角形的对数。
【难度系数】
0.7
12. [2025连云港海州区段考]如图，$CA = CB$，$AD = BD$，$M$，$N$分别是$CA$，$CB$的中点，若$△ ADM$的面积为$\frac{3}{2}$，则图中阴影部分的面积为
3
。答案
12 3 解题思路:连接CD,利用SSS证明△ACD≌△BCD,可得$S_{△ ACD}=S_{△ BCD}$,再由三角形的中线等分三角形的面积,知图中阴影部分的面积为△ADM面积的2倍.
连接CD. 在△ACD 和△BCD 中,$\begin{cases} CA = CB, \\ CD = CD, \\ AD = BD, \end{cases}$$\therefore △ ACD≌△ BCD(SSS),\therefore S_{△ ACD}=S_{△ BCD}.$ $\because M,N$分别是$CA,CB$的中点,$\therefore S_{△ ADM}=S_{△ CDM}=\frac{1}{2}S_{△ ACD}$,$S_{△ BDN}=S_{△ CDN}=\frac{1}{2}S_{△ BCD}$(三角形的中线等分三角形的面积),$\therefore$ 题图中阴影部分的面积 = $2S_{△ ADM}$. $\because △ ADM$的面积为$\frac{3}{2}$,$\therefore$ 题图中阴影部分的面积 = $2×\frac{3}{2}=3.$
连接CD. 在△ACD 和△BCD 中,$\begin{cases} CA = CB, \\ CD = CD, \\ AD = BD, \end{cases}$$\therefore △ ACD≌△ BCD(SSS),\therefore S_{△ ACD}=S_{△ BCD}.$ $\because M,N$分别是$CA,CB$的中点,$\therefore S_{△ ADM}=S_{△ CDM}=\frac{1}{2}S_{△ ACD}$,$S_{△ BDN}=S_{△ CDN}=\frac{1}{2}S_{△ BCD}$(三角形的中线等分三角形的面积),$\therefore$ 题图中阴影部分的面积 = $2S_{△ ADM}$. $\because △ ADM$的面积为$\frac{3}{2}$,$\therefore$ 题图中阴影部分的面积 = $2×\frac{3}{2}=3.$
解析
【分析】
解题时首先根据已知的两组边相等的条件，考虑作辅助线连接CD，构造可证全等的三角形：△ACD和△BCD有公共边CD，结合已知CA=CB、AD=BD，可通过SSS判定两三角形全等，得到二者面积相等；再结合M、N分别是CA、CB的中点，利用三角形中线将三角形分成面积相等的两部分的性质，可推出阴影部分的面积与△ADM面积的数量关系，代入已知数值即可求解。
【解析】
解：连接CD，
在$△ ACD$和$△ BCD$中，
$\begin{cases} CA = CB \\ CD = CD \\ AD = BD \end{cases}$
$\therefore △ ACD≌△ BCD(\mathrm{SSS})$，
$\therefore S_{△ ACD}=S_{△ BCD}$。
$\because M$，$N$分别是$CA$，$CB$的中点，
$\therefore DM$是$△ ACD$的中线，$DN$是$△ BCD$的中线，根据三角形中线等分三角形面积的性质可得：
$S_{△ ADM}=S_{△ CDM}=\frac{1}{2}S_{△ ACD}$，$S_{△ BDN}=S_{△ CDN}=\frac{1}{2}S_{△ BCD}$，
因此阴影部分的面积$=S_{△ CDM}+S_{△ BDN}=S_{△ ADM}+S_{△ ADM}=2S_{△ ADM}$，
已知$△ ADM$的面积为$\frac{3}{2}$，
$\therefore$阴影部分的面积$=2×\frac{3}{2}=3$。
【答案】
$3$
【知识点】
SSS判定全等三角形；全等三角形的性质；三角形中线的面积性质
【点评】
本题是几何面积计算的基础题型，解题关键是通过连接辅助线构造全等三角形，结合三角形中线的面积性质完成面积的转化，考查的都是几何基础核心知识点。
【难度系数】
0.7
解题时首先根据已知的两组边相等的条件，考虑作辅助线连接CD，构造可证全等的三角形：△ACD和△BCD有公共边CD，结合已知CA=CB、AD=BD，可通过SSS判定两三角形全等，得到二者面积相等；再结合M、N分别是CA、CB的中点，利用三角形中线将三角形分成面积相等的两部分的性质，可推出阴影部分的面积与△ADM面积的数量关系，代入已知数值即可求解。
【解析】
解：连接CD，
在$△ ACD$和$△ BCD$中，
$\begin{cases} CA = CB \\ CD = CD \\ AD = BD \end{cases}$
$\therefore △ ACD≌△ BCD(\mathrm{SSS})$，
$\therefore S_{△ ACD}=S_{△ BCD}$。
$\because M$，$N$分别是$CA$，$CB$的中点，
$\therefore DM$是$△ ACD$的中线，$DN$是$△ BCD$的中线，根据三角形中线等分三角形面积的性质可得：
$S_{△ ADM}=S_{△ CDM}=\frac{1}{2}S_{△ ACD}$，$S_{△ BDN}=S_{△ CDN}=\frac{1}{2}S_{△ BCD}$，
因此阴影部分的面积$=S_{△ CDM}+S_{△ BDN}=S_{△ ADM}+S_{△ ADM}=2S_{△ ADM}$，
已知$△ ADM$的面积为$\frac{3}{2}$，
$\therefore$阴影部分的面积$=2×\frac{3}{2}=3$。
【答案】
$3$
【知识点】
SSS判定全等三角形；全等三角形的性质；三角形中线的面积性质
【点评】
本题是几何面积计算的基础题型，解题关键是通过连接辅助线构造全等三角形，结合三角形中线的面积性质完成面积的转化，考查的都是几何基础核心知识点。
【难度系数】
0.7
13. ▶一题多解 [2025亳州段考]如图, 平面上有△ACD和△BCE,其中AD与BE相交于点P.若AC=BC,AD=BE,CD=CE,∠ACE=55°,∠BCD=155°,则∠BPD的度数为
130°
.答案
13 130° 通解 在△ACD 和△BCE 中,$\begin{cases} AC = BC, \\ AD = BE, \\ CD = CE, \end{cases}$
$\therefore △ ACD≌△ BCE (SSS),\therefore ∠ ACD = ∠ BCE, ∠ A = ∠ B,$
$\therefore ∠ ACB = ∠ ECD = \frac{1}{2}(∠ BCD - ∠ ACE) = \frac{1}{2} × (155° - 55°) = 50°.$ $\because ∠ B + ∠ ACB = ∠ A + ∠ APB,\therefore ∠ APB = ∠ ACB = 50°,\therefore ∠ BPD = 180° - 50° = 130°.$
另解 在△ACD 和△BCE 中,$\begin{cases} AC = BC, \\ CD = CE, \\ AD = BE, \end{cases}$$\therefore △ ACD≌△ BCE(SSS),\therefore ∠ A = ∠ B, ∠ ACD = ∠ BCE.$ $\because ∠ BCE + ∠ ACD = ∠ BCD + ∠ ACE,\therefore 2∠ ACD = ∠ BCD + ∠ ACE,\therefore ∠ ACD = \frac{1}{2}×(155° + 55°) = 105°,\therefore ∠ A + ∠ D = 180° - ∠ ACD = 75°,$$\therefore ∠ B + ∠ D = 75°.$连接PC. $\because ∠ BCD = 155°,\therefore ∠ BPD = 2×180° - 75° - 155° = 130°.$
$\therefore △ ACD≌△ BCE (SSS),\therefore ∠ ACD = ∠ BCE, ∠ A = ∠ B,$
$\therefore ∠ ACB = ∠ ECD = \frac{1}{2}(∠ BCD - ∠ ACE) = \frac{1}{2} × (155° - 55°) = 50°.$ $\because ∠ B + ∠ ACB = ∠ A + ∠ APB,\therefore ∠ APB = ∠ ACB = 50°,\therefore ∠ BPD = 180° - 50° = 130°.$
另解 在△ACD 和△BCE 中,$\begin{cases} AC = BC, \\ CD = CE, \\ AD = BE, \end{cases}$$\therefore △ ACD≌△ BCE(SSS),\therefore ∠ A = ∠ B, ∠ ACD = ∠ BCE.$ $\because ∠ BCE + ∠ ACD = ∠ BCD + ∠ ACE,\therefore 2∠ ACD = ∠ BCD + ∠ ACE,\therefore ∠ ACD = \frac{1}{2}×(155° + 55°) = 105°,\therefore ∠ A + ∠ D = 180° - ∠ ACD = 75°,$$\therefore ∠ B + ∠ D = 75°.$连接PC. $\because ∠ BCD = 155°,\therefore ∠ BPD = 2×180° - 75° - 155° = 130°.$
解析
【分析】
首先观察已知条件，题目给出了△ACD和△BCE的三组对应边相等，首先可利用“SSS”判定两个三角形全等，得到对应角相等；再结合已知的∠ACE和∠BCD的度数，通过角的和差关系推出∠ACB的度数；最后利用“八字形”三角形的角的等量关系求出∠APB的度数，再根据邻补角的性质即可求出∠BPD的度数。
【解析】
在△ACD和△BCE中，
$\begin{cases} AC = BC \\ AD = BE \\ CD = CE \end{cases}$
∴△ACD≌△BCE（SSS），
∴∠ACD=∠BCE，∠A=∠B，
∴∠ACD - ∠ACE = ∠BCE - ∠ACE，即∠ACB=∠ECD，
∴$∠ ACB=\frac{1}{2}(∠ BCD - ∠ ACE)=\frac{1}{2}×(155° - 55°)=50°$，
在由AC、BC、AP、BP构成的八字形图形中，$∠ B + ∠ ACB = ∠ A + ∠ APB$，
又
∵∠A=∠B，
∴∠APB=∠ACB=50°，
∵∠APB和∠BPD互为邻补角，
∴$∠ BPD=180° - ∠ APB=180° - 50°=130°$。
【答案】
$\boxed{130°}$
【知识点】
SSS判定三角形全等；全等三角形的性质；邻补角的性质
【点评】
本题是全等三角形应用的典型题型，解题核心是先通过三边相等判定三角形全等，得到对应角相等，再结合角的和差关系、三角形角的等量关系求解，侧重考查对全等判定和性质的综合运用能力。
【难度系数】
0.65
首先观察已知条件，题目给出了△ACD和△BCE的三组对应边相等，首先可利用“SSS”判定两个三角形全等，得到对应角相等；再结合已知的∠ACE和∠BCD的度数，通过角的和差关系推出∠ACB的度数；最后利用“八字形”三角形的角的等量关系求出∠APB的度数，再根据邻补角的性质即可求出∠BPD的度数。
【解析】
在△ACD和△BCE中，
$\begin{cases} AC = BC \\ AD = BE \\ CD = CE \end{cases}$
∴△ACD≌△BCE（SSS），
∴∠ACD=∠BCE，∠A=∠B，
∴∠ACD - ∠ACE = ∠BCE - ∠ACE，即∠ACB=∠ECD，
∴$∠ ACB=\frac{1}{2}(∠ BCD - ∠ ACE)=\frac{1}{2}×(155° - 55°)=50°$，
在由AC、BC、AP、BP构成的八字形图形中，$∠ B + ∠ ACB = ∠ A + ∠ APB$，
又
∵∠A=∠B，
∴∠APB=∠ACB=50°，
∵∠APB和∠BPD互为邻补角，
∴$∠ BPD=180° - ∠ APB=180° - 50°=130°$。
【答案】
$\boxed{130°}$
【知识点】
SSS判定三角形全等；全等三角形的性质；邻补角的性质
【点评】
本题是全等三角形应用的典型题型，解题核心是先通过三边相等判定三角形全等，得到对应角相等，再结合角的和差关系、三角形角的等量关系求解，侧重考查对全等判定和性质的综合运用能力。
【难度系数】
0.65
14. [2026泰州靖江实验学校月考]如图,点B,E,C,F在一条直线上,AB=DE,AC=DF,BE=CF.
(1)求证:AB//DE;
(2)若∠A=70°,∠DEF=40°,FG平分∠DFE交AC于点G,求∠CGF的度数.
(1)求证:AB//DE;
(2)若∠A=70°,∠DEF=40°,FG平分∠DFE交AC于点G,求∠CGF的度数.
答案
14 (1)证明:$\because BE = CF,\therefore BE + EC = CF + EC,\therefore BC = EF.$
在△ABC 和△DEF 中,$\begin{cases} BC = EF, \\ AB = DE, \\ AC = DF, \end{cases}$
$\therefore △ ABC≌△ DEF(SSS),$
$\therefore ∠ B = ∠ DEF,\therefore AB// DE.$
(2)解:由(1)知$∠ B = ∠ DEF = 40°.$
$\because ∠ A + ∠ B + ∠ ACB = 180°,$
$\therefore ∠ ACB = 180° - ∠ A - ∠ B = 180° - 70° - 40° = 70°.$
$\because △ ABC≌△ DEF,\therefore ∠ ACB = ∠ DFE = 70°.$
$\because FG$平分$∠ DFE,\therefore ∠ CFG = \frac{1}{2}∠ DFE = 35°,$
$\therefore ∠ CGF = ∠ ACB - ∠ CFG = 35°.$
在△ABC 和△DEF 中,$\begin{cases} BC = EF, \\ AB = DE, \\ AC = DF, \end{cases}$
$\therefore △ ABC≌△ DEF(SSS),$
$\therefore ∠ B = ∠ DEF,\therefore AB// DE.$
(2)解:由(1)知$∠ B = ∠ DEF = 40°.$
$\because ∠ A + ∠ B + ∠ ACB = 180°,$
$\therefore ∠ ACB = 180° - ∠ A - ∠ B = 180° - 70° - 40° = 70°.$
$\because △ ABC≌△ DEF,\therefore ∠ ACB = ∠ DFE = 70°.$
$\because FG$平分$∠ DFE,\therefore ∠ CFG = \frac{1}{2}∠ DFE = 35°,$
$\therefore ∠ CGF = ∠ ACB - ∠ CFG = 35°.$
解析
【分析】
（1）要证明AB//DE，需先证明同位角∠B=∠DEF，可通过证明△ABC和△DEF全等得到该组角相等。已知BE=CF，等式两边加上公共线段EC即可得到BC=EF，结合题目给出的AB=DE、AC=DF，满足SSS全等判定条件，证得三角形全等后就能得到对应角相等，进而推出两直线平行。
（2）求∠CGF的度数时，先由（1）的全等结论得到∠B=∠DEF=40°，结合已知∠A=70°，利用三角形内角和求出∠ACB的度数，再由全等性质得到∠DFE=∠ACB，根据角平分线的定义求出∠CFG的度数，最后利用三角形外角的性质即可算出∠CGF的度数。
【解析】
(1)证明:
$\because BE = CF,\therefore BE + EC = CF + EC,\therefore BC = EF.$
在△ABC 和△DEF 中,
$\begin{cases} BC = EF, \\ AB = DE, \\ AC = DF, \end{cases}$
$\therefore △ ABC≌△ DEF(SSS),$
$\therefore ∠ B = ∠ DEF,\therefore AB// DE.$
(2)解:
由(1)知$∠ B = ∠ DEF = 40°.$
$\because ∠ A + ∠ B + ∠ ACB = 180°,$
$\therefore ∠ ACB = 180° - ∠ A - ∠ B = 180° - 70° - 40° = 70°.$
$\because △ ABC≌△ DEF,\therefore ∠ ACB = ∠ DFE = 70°.$
$\because FG$平分$∠ DFE,\therefore ∠ CFG = \frac{1}{2}∠ DFE = 35°,$
$\therefore ∠ CGF = ∠ ACB - ∠ CFG = 35°.$
【答案】
(1)证明见解析；(2)$\boldsymbol{35°}$
【知识点】
SSS判定三角形全等、平行线的判定、角平分线的定义
【点评】
本题属于几何基础综合题，将三角形全等的判定与性质、平行线判定、角度计算结合考查，解题核心是先通过三边相等证明三角形全等，得到对应角相等后再逐步推导所求结论，是全等三角形应用的典型题型。
【难度系数】
0.7
（1）要证明AB//DE，需先证明同位角∠B=∠DEF，可通过证明△ABC和△DEF全等得到该组角相等。已知BE=CF，等式两边加上公共线段EC即可得到BC=EF，结合题目给出的AB=DE、AC=DF，满足SSS全等判定条件，证得三角形全等后就能得到对应角相等，进而推出两直线平行。
（2）求∠CGF的度数时，先由（1）的全等结论得到∠B=∠DEF=40°，结合已知∠A=70°，利用三角形内角和求出∠ACB的度数，再由全等性质得到∠DFE=∠ACB，根据角平分线的定义求出∠CFG的度数，最后利用三角形外角的性质即可算出∠CGF的度数。
【解析】
(1)证明:
$\because BE = CF,\therefore BE + EC = CF + EC,\therefore BC = EF.$
在△ABC 和△DEF 中,
$\begin{cases} BC = EF, \\ AB = DE, \\ AC = DF, \end{cases}$
$\therefore △ ABC≌△ DEF(SSS),$
$\therefore ∠ B = ∠ DEF,\therefore AB// DE.$
(2)解:
由(1)知$∠ B = ∠ DEF = 40°.$
$\because ∠ A + ∠ B + ∠ ACB = 180°,$
$\therefore ∠ ACB = 180° - ∠ A - ∠ B = 180° - 70° - 40° = 70°.$
$\because △ ABC≌△ DEF,\therefore ∠ ACB = ∠ DFE = 70°.$
$\because FG$平分$∠ DFE,\therefore ∠ CFG = \frac{1}{2}∠ DFE = 35°,$
$\therefore ∠ CGF = ∠ ACB - ∠ CFG = 35°.$
【答案】
(1)证明见解析；(2)$\boldsymbol{35°}$
【知识点】
SSS判定三角形全等、平行线的判定、角平分线的定义
【点评】
本题属于几何基础综合题，将三角形全等的判定与性质、平行线判定、角度计算结合考查，解题核心是先通过三边相等证明三角形全等，得到对应角相等后再逐步推导所求结论，是全等三角形应用的典型题型。
【难度系数】
0.7
15. 推理能力 如图，$AD = CB$，$E,F$是$AC$上的两个动点(不与点$A,C$重合)，且$DE = BF$.
(1)若点$E,F$运动至如图1所示的位置，且$AF = CE$. 求证: $△ ADE ≌ △ CBF$.
(2)若点$E,F$运动至如图2所示的位置，仍有$AF = CE$，那么$△ ADE ≌ △ CBF$还成立吗？为什么？
(3)若点$E,F$不重合，且$AF = CE$，$AD$和$CB$平行吗？请说明理由.
(1)若点$E,F$运动至如图1所示的位置，且$AF = CE$. 求证: $△ ADE ≌ △ CBF$.
(2)若点$E,F$运动至如图2所示的位置，仍有$AF = CE$，那么$△ ADE ≌ △ CBF$还成立吗？为什么？
(3)若点$E,F$不重合，且$AF = CE$，$AD$和$CB$平行吗？请说明理由.
答案
15 (1)证明:$\because AF = CE,\therefore AF + EF = CE + EF,$即$AE = CF.$
在△ADE 和△CBF 中,$\begin{cases} AD = CB, \\ DE = BF, \\ AE = CF, \end{cases}$
$\therefore △ ADE≌△ CBF(SSS).$
(2)解:成立. 理由如下:
$\because AF = CE,\therefore AF - EF = CE - EF,$即$AE = CF.$
在△ADE 和△CBF 中,$\begin{cases} AD = CB, \\ DE = BF, \\ AE = CF, \end{cases}$
$\therefore △ ADE≌△ CBF(SSS).$
(3)解:$AD// CB$. 理由如下:
由(1)(2)知$△ ADE≌△ CBF,\therefore ∠ A = ∠ C,\therefore AD// CB.$
在△ADE 和△CBF 中,$\begin{cases} AD = CB, \\ DE = BF, \\ AE = CF, \end{cases}$
$\therefore △ ADE≌△ CBF(SSS).$
(2)解:成立. 理由如下:
$\because AF = CE,\therefore AF - EF = CE - EF,$即$AE = CF.$
在△ADE 和△CBF 中,$\begin{cases} AD = CB, \\ DE = BF, \\ AE = CF, \end{cases}$
$\therefore △ ADE≌△ CBF(SSS).$
(3)解:$AD// CB$. 理由如下:
由(1)(2)知$△ ADE≌△ CBF,\therefore ∠ A = ∠ C,\therefore AD// CB.$
解析
【分析】
(1)要证明△ADE≌△CBF，已知AD=CB、DE=BF两组边相等，只需证第三组边AE=CF即可。由已知AF=CE，结合图1的线段位置，AF和CE同时加公共线段EF就能得到AE=CF，再用SSS全等判定定理即可证明。
(2)与(1)思路一致，仅动点位置变化，图2中AF和CE有重叠的公共线段EF，AF和CE同时减EF仍可得到AE=CF，依然满足SSS判定条件，因此全等仍然成立。
(3)判断AD与CB是否平行，只需判定内错角∠A和∠C是否相等。由(1)(2)的全等结论可得对应角∠A=∠C，根据内错角相等两直线平行，即可推出AD和CB的位置关系。
【解析】
(1)证明：
$\because AF = CE,\therefore AF + EF = CE + EF,$即$AE = CF.$
在△ADE 和△CBF 中,$\begin{cases} AD = CB, \\ DE = BF, \\ AE = CF, \end{cases}$
$\therefore △ ADE≌△ CBF(SSS).$
(2)解：成立. 理由如下:
$\because AF = CE,\therefore AF - EF = CE - EF,$即$AE = CF.$
在△ADE 和△CBF 中,$\begin{cases} AD = CB, \\ DE = BF, \\ AE = CF, \end{cases}$
$\therefore △ ADE≌△ CBF(SSS).$
(3)解:$AD// CB$. 理由如下:
由(1)(2)知$△ ADE≌△ CBF,\therefore ∠ A = ∠ C,\therefore AD// CB.$
【答案】
(1)△ADE≌△CBF，证明成立；
(2)成立，理由见解析；
(3)AD//CB，理由见解析。
【知识点】
全等三角形SSS判定；全等三角形的性质；平行线的判定
【点评】
本题结合动点情境考查三角形全等与平行线的相关知识，解题核心是根据线段的和差关系得到相等的边，需注意动点位置变化时线段和差的规律，体会动态问题中不变的数量关系。
【难度系数】
0.7
(1)要证明△ADE≌△CBF，已知AD=CB、DE=BF两组边相等，只需证第三组边AE=CF即可。由已知AF=CE，结合图1的线段位置，AF和CE同时加公共线段EF就能得到AE=CF，再用SSS全等判定定理即可证明。
(2)与(1)思路一致，仅动点位置变化，图2中AF和CE有重叠的公共线段EF，AF和CE同时减EF仍可得到AE=CF，依然满足SSS判定条件，因此全等仍然成立。
(3)判断AD与CB是否平行，只需判定内错角∠A和∠C是否相等。由(1)(2)的全等结论可得对应角∠A=∠C，根据内错角相等两直线平行，即可推出AD和CB的位置关系。
【解析】
(1)证明：
$\because AF = CE,\therefore AF + EF = CE + EF,$即$AE = CF.$
在△ADE 和△CBF 中,$\begin{cases} AD = CB, \\ DE = BF, \\ AE = CF, \end{cases}$
$\therefore △ ADE≌△ CBF(SSS).$
(2)解：成立. 理由如下:
$\because AF = CE,\therefore AF - EF = CE - EF,$即$AE = CF.$
在△ADE 和△CBF 中,$\begin{cases} AD = CB, \\ DE = BF, \\ AE = CF, \end{cases}$
$\therefore △ ADE≌△ CBF(SSS).$
(3)解:$AD// CB$. 理由如下:
由(1)(2)知$△ ADE≌△ CBF,\therefore ∠ A = ∠ C,\therefore AD// CB.$
【答案】
(1)△ADE≌△CBF，证明成立；
(2)成立，理由见解析；
(3)AD//CB，理由见解析。
【知识点】
全等三角形SSS判定；全等三角形的性质；平行线的判定
【点评】
本题结合动点情境考查三角形全等与平行线的相关知识，解题核心是根据线段的和差关系得到相等的边，需注意动点位置变化时线段和差的规律，体会动态问题中不变的数量关系。
【难度系数】
0.7
