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1. 改编题 下列方程一定是关于x的一元二次方程的是（
A.$x^2 + 2y + 3 = 0$
B.$x^2 + 1 = (x - 2)x$
C.$x - \frac{1}{x} = 0$
D.$\frac{x^2 - 1}{2} = 3$
D
）A.$x^2 + 2y + 3 = 0$
B.$x^2 + 1 = (x - 2)x$
C.$x - \frac{1}{x} = 0$
D.$\frac{x^2 - 1}{2} = 3$
答案
D 解析:A. 有两个未知数,不符合题意;B. 整理可得1=-2x,不符合题意;C. 是分式方程,不符合题意;D. 是一元二次方程,故选 D.
2. 将一元二次方程$x(3-x)=5$化为一元二次方程的一般形式，其中二次项系数为1，一次项系数和常数项分别是（
A.3,5
B.3,-5
C.-3,-5
D.-3,5
D
）A.3,5
B.3,-5
C.-3,-5
D.-3,5
答案
D 解析:二次项系数为1,原方程可化为$x^2 - 3x + 5 = 0$,$\therefore$ 一次项系数和常数项分别是-3,5,故选 D.
3. (1)(2025·绵阳中考)若关于$x$的一元二次方程$x^2 -6x +a=0$的一个根为1，则$a$的值为
(2)(2026·深圳期中)若$t$是方程$2x^2 -x -9=0$的一个根，则$(t-1)(2t+1)$的值为
5
。(2)(2026·深圳期中)若$t$是方程$2x^2 -x -9=0$的一个根，则$(t-1)(2t+1)$的值为
8
。答案
(1)5 解析:将$x=1$代入方程$x^2 -6x +a=0$,得$1^2 -6×1 +a=0$,即$1-6+a=0$,解得$a=5$.
(2)8 解析:因为$t$是方程$2x^2 -x -9=0$的一个根,所以$2t^2 -t -9=0$,即$2t^2 -t=9$,所以$(t-1)(2t+1)=(2t^2 -t)-1=9-1=8$.
(2)8 解析:因为$t$是方程$2x^2 -x -9=0$的一个根,所以$2t^2 -t -9=0$,即$2t^2 -t=9$,所以$(t-1)(2t+1)=(2t^2 -t)-1=9-1=8$.
4. 若方程$(m-2)x^2+\sqrt{m-1} · x=1$是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是
$m≥1$且$m≠2$
。答案
$m≥1$且$m≠2$ 解析:由题意得$m-2≠0$,$m-1≥0$,解得$m≥1$且$m≠2$.
5. 原创题 下列关于$x$的方程:①$\frac{1}{a}x^2+\frac{1}{b}x+\frac{1}{c}=0$($a,b,c$均不为0);②$\frac{1}{x^2}-\frac{1}{x}=1$;③$\sqrt{x^2-1}=2$;④$a^2x^2+bx+x^2=0$;⑤$x^3+x-5=x(x^2-3x)$.其中是一元二次方程的有
①④⑤
(填序号).答案
①④⑤ 解析:①是一元二次方程,②是分式方程,③是无理方程,④是一元二次方程,⑤即$3x^2 +x -5=0$,故也是一元二次方程.
6. 教材变式 将下列一元二次方程化为一般形式,并写出二次项系数、一次项系数和常数项(要求二次项系数为正整数).
(1)$2(3x+2)=3x(x+2)$;
(2)$2(y+1)(1-y)=\frac{1}{3}(y-3)^2.$
(1)$2(3x+2)=3x(x+2)$;
(2)$2(y+1)(1-y)=\frac{1}{3}(y-3)^2.$
答案
(1)$3x^2 -4=0$,二次项系数是3,一次项系数是0,常数项是-4.
(2)$7y^2 -6y +3=0$,二次项系数是7,一次项系数是-6,常数项是3.
(2)$7y^2 -6y +3=0$,二次项系数是7,一次项系数是-6,常数项是3.
7. 教材变式 根据问题列出一元二次方程，并化为一般形式.
(1)一个直角三角形的斜边长为$2\sqrt{10}$，两条直角边相差2，求两条直角边的长.
(2)某毕业班的同学每两人互赠了一张照片，全班同学共赠送了1 122张照片，求该班的人数.
(3)如图①是一本长26 cm、宽18.5 cm、厚1 cm的数学书.小明用一张面积为1 120 cm²的矩形纸(如图②)给这本书包书皮，图中虚线为折痕，阴影是裁剪掉的部分，四角均为全等的小正方形，小正方形的边长即为折叠进去的宽度，求小正方形的边长.
(1)一个直角三角形的斜边长为$2\sqrt{10}$，两条直角边相差2，求两条直角边的长.
(2)某毕业班的同学每两人互赠了一张照片，全班同学共赠送了1 122张照片，求该班的人数.
(3)如图①是一本长26 cm、宽18.5 cm、厚1 cm的数学书.小明用一张面积为1 120 cm²的矩形纸(如图②)给这本书包书皮，图中虚线为折痕，阴影是裁剪掉的部分，四角均为全等的小正方形，小正方形的边长即为折叠进去的宽度，求小正方形的边长.
答案
(1)设较长的直角边长为$x$,由题意得$x^2 + (x-2)^2=(2\sqrt{10})^2$,一般形式为$x^2 -2x -18=0$(合理即可).
(2)设该班有$x$人,由题意得$x(x-1)=1122$,一般形式为$x^2 -x -1122=0$.
(3)设小正方形的边长为$x$ cm,由题意得$(18.5×2 +1 +2x)·(26 +2x)=1120$,化为一般形式为$x^2 +32x -33=0$.
(2)设该班有$x$人,由题意得$x(x-1)=1122$,一般形式为$x^2 -x -1122=0$.
(3)设小正方形的边长为$x$ cm,由题意得$(18.5×2 +1 +2x)·(26 +2x)=1120$,化为一般形式为$x^2 +32x -33=0$.
