8. 如图，AB是$\odot O$的直径，C为$\overset{\frown}{AB}$的中点，D为$\overset{\frown}{AB}$上的一个动点，连接CD，作$DE⊥ CD$，交AB于点E，连接CE.若$\odot O$的半径为5，且$\frac{$$}{CD}=\frac{3}{4}$，则$△ CDE$的面积为（）

A.6
B.7.5
C.$5\sqrt{2}$
D.10

8.B

9.(2025·海门区模拟)如图,在$Rt△ ABC$中,$∠ ACB=90°$,$∠ A=32°$,D为斜边AB上一点,作$△ BCD$的外接圆,交边AC于点E,若$BC=CE$,则$∠ ACD$的度数为.

9.$13°$

10.(2025·丽水期末)如图，C是以AB为直径的半圆O上的一点，且$0°＜∠ ABC＜45°$，将BC沿弦BC折叠交AB于点D，E是$\overset{\frown}{BD}$的中点，连接CE恰好经过圆心O，若AB=2，则AD的长为。

10.$2-\sqrt{2}$

11. 如图，AB是$\odot O$的直径，$∠ ACD$是$\overset{\frown}{AD}$所对的圆周角，$∠ ACD=30°$.
(1)求$∠ DAB$的度数；
(2)过点D作$DE⊥ AB$，垂足为E，DE的延长线交$\odot O$于点F，若$AB=4$，求DF的长.

11.解:(1)如答图,连接BD.

$\because ∠ ACD=30°,\therefore ∠ B=∠ ACD=30°.$
$\because AB$是$\odot O$的直径,$\therefore ∠ ADB=90°,$
$\therefore ∠ DAB=90°-∠ B=60°.$
(2)$\because ∠ ADB=90°,∠ B=30°,AB=4,\therefore AD=\frac{1}{2}AB=2.$
$\because ∠ DAB=60°,DE⊥ AB,且AB是直径,$
$\therefore EF=DE=\frac{\sqrt{3}}{2}AD=\sqrt{3},\therefore DF=2DE=2\sqrt{3}.$

12. 如图，OA,OB,OC都是$\odot O$的半径，$∠ ACB=2∠ BAC$.
(1) 求证：$∠ AOB=2∠ BOC$；
(2) 若$AB=4$，$BC=\sqrt{5}$，求$\odot O$的半径.

12.(1)证明:$\because ∠ AOB=2∠ ACB,∠ ACB=2∠ BAC,$
$\therefore ∠ AOB=4∠ BAC.$
$\because ∠ BOC=2∠ BAC,\therefore ∠ AOB=2∠ BOC.$
(2)解:如答图,过点O作半径$OD⊥ AB$于点E,连接BD,
则$∠ DOB=\frac{1}{2}∠ AOB,AE=BE.$

$\because ∠ AOB=2∠ BOC,\therefore ∠ DOB=∠ BOC,\therefore BD=BC.$
$\because AB=4,BC=\sqrt{5},\therefore BE=2,DB=\sqrt{5}.$
在$Rt△ BDE$中,$∠ DEB=90°,$
$\therefore DE=\sqrt{BD^2-BE^2}=1.$
在$Rt△ BOE$中,$∠ OEB=90°,$
由勾股定理,得$OB^2=(OB-1)^2+2^2,$解得$OB=\frac{5}{2},$
即$\odot O$的半径是$\frac{5}{2}.$

13.如图,在$\odot O$中,A,B,C是$\odot O$上的点,$∠ ABC=120°$,弦BM平分$∠ ABC$交AC于点D,连接MA,MC.求证:$AB+BC=BM.$

13.证明:如答图,在BM上截取BF,使$BF=BC$,连接CF.

$\because BM$平分$∠ ABC,∠ ABC=120°,$
$\therefore ∠ CBF=\frac{1}{2}∠ ABC=60°,$
$\therefore △ BCF$为等边三角形,
$\therefore ∠ BFC=60°,BF=BC=FC,$
$\therefore ∠ CFM=180°-∠ BFC=120°.$
又$\because ∠ ABC=120°,\therefore ∠ ABC=∠ MFC.$
$\because \overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{BC},\therefore ∠ BAC=∠ FMC,$
$\therefore △ ABC≌△ MFC(\mathrm{AAS}),\therefore MF=AB.$
又$\because BM=MF+BF,BF=BC,$
$\therefore AB+BC=BM.$