7.(2025·德州期末)如图,$\odot O$的半径为 3,P 是弦 AB 延长线上的一点,连接 OP,若$OP=4$,$∠P=30°$,则弦 AB 的长为 ()

A.$2\sqrt{5}$
B.$2\sqrt{3}$
C.$\sqrt{5}$
D.2

7.A

8.(2025·仪征期末)如图，AB是$\odot O$的弦，C是AB的三等分点，连接OC并延长交$\odot O$于点D.若$OC=3,CD=2$,则圆心O到弦AB的距离是.

8.$\sqrt{7}$

9. 如图,在半径为$\sqrt{13}$的$\odot O$中,弦AB与CD交于点E,$∠ DEB=75°$,$AB=6$,$AE=1$,求CD的长.

9.解:如答图,过点O作$OF⊥CD$于点F,$OG⊥AB$于点G,连接OB,OD,OE,则$DF=CF,AG=BG=\frac{1}{2}AB=3$.
$\because AE=1,\therefore EG=AG-AE=2$.
$\because$ 在$\mathrm{Rt}△ BOG$中,$OB=\sqrt{13}$,
$\therefore OG=\sqrt{OB^2-BG^2}=\sqrt{(\sqrt{13})^2-3^2}=2$,
$\therefore EG=OG,\therefore △ EOG$是等腰直角三角形,
$\therefore ∠ OEG=45°,OE=\sqrt{2}OG=2\sqrt{2}$.
$\because ∠ DEB=75°,\therefore ∠ OEF=30°$,
$\therefore OF=\frac{1}{2}OE=\sqrt{2}$.
$\because$ 在$\mathrm{Rt}△ ODF$中,$OD=\sqrt{13}$,
$\therefore DF=\sqrt{OD^2-OF^2}=\sqrt{(\sqrt{13})^2-(\sqrt{2})^2}=\sqrt{11}$,
$\therefore CD=2DF=2\sqrt{11}$.
第9题答图

10.如图,在平面直角坐标系中,$\odot P$的圆心坐标是$(3,a)(a＞3)$,半径为3,函数$y=x$的图象被$\odot P$截得的弦$AB$的长为$4\sqrt{2}$,求$a$的值.

10.解:过点P作$PC⊥x$轴于点C,交AB于点D,作$PE⊥AB$于点E,连接PB,如答图.
$\because \odot P$的圆心坐标是$(3,a),\therefore OC=3,PC=a$.
把$x=3$代入$y=x$,得$y=3$,
$\therefore$ 点D的坐标为$(3,3)$,
$\therefore CD=3,\therefore △ OCD$为等腰直角三角形,
$\therefore △ PED$也为等腰直角三角形.
$\because PE⊥AB,\therefore AE=BE=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×4\sqrt{2}=2\sqrt{2}$.
在$\mathrm{Rt}△ PBE$中,$PB=3,BE=2\sqrt{2}$,
$\therefore PE=\sqrt{3^2-(2\sqrt{2})^2}=1$,
$\therefore PD=\sqrt{2}PE=\sqrt{2},\therefore a=3+\sqrt{2}$.
第10题答图