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9.在如图所示的方格纸中存在$△ ABC$,其中点$A,B,C$均在格点上.
(1)用直尺作出$△ ABC$的外心$O$;
(2)若方格纸中每个小正方形的边长为1,求$△ ABC$外接圆半径$R$的长.
(1)用直尺作出$△ ABC$的外心$O$;
(2)若方格纸中每个小正方形的边长为1,求$△ ABC$外接圆半径$R$的长.
答案
9.解:(1)如答图,点O即为所求。
(2)如答图,连接OB.$OB=\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10}$,
故$△ ABC$外接圆半径R的长为$\sqrt{10}$。
10.如图，在$△ ABC$中，点$D$，$E$分别在$AC$，$AB$上，连接$BD$，$CE$，$BD$，$CE$相交于点$O$。用反证法证明：$BD$和$CE$不可能互相平分。
第10题图
第10题图答案
10.证明:如答图,连接DE,假设BD和CE互相平分,
∴四边形EBCD是平行四边形,$\therefore BE// CD$。
∵在$△ ABC$中,点D,E分别在AC,AB上,
∴AB不可能平行于AC,与已知矛盾,
故假设不成立,原命题正确,
即BD和CE不可能互相平分。
11.某数学兴趣小组,在无理数一课的学习后,对利用“反证法”证明$\sqrt{2}$是无理数产生了很大的兴趣,在课后进行了衍生探究:证明$\sqrt[3]{2}$是无理数.
(1)下面是他们的探究过程,请完成填空.
先假设$\sqrt[3]{2}$是,则可设$\sqrt[3]{2}=\frac{q}{p}(p≠0$,且$p,q$是的整数),
则有$(\sqrt[3]{2})^{3}=(\frac{q}{p})^{3}$,即$=\frac{q^{3}}{p^{3}}$.
整理,得$q^{3}=2p^{3}$,所以$q$是,
所以设$q=2m$,则$(2m)^{3}=2p^{3}$,即$p^{3}=\_\_\_\_\_\_m^{3}$,
所以$p$也是.
这与假设中的$p,q$是的整数矛盾,所以$\sqrt[3]{2}$不是,是无理数.
(2)求证:$\sqrt{3}$是无理数.
易错知识点:反证法;确定一个圆;三角形的外接圆;三角形的外心;圆的内接三角形
(1)下面是他们的探究过程,请完成填空.
先假设$\sqrt[3]{2}$是,则可设$\sqrt[3]{2}=\frac{q}{p}(p≠0$,且$p,q$是的整数),
则有$(\sqrt[3]{2})^{3}=(\frac{q}{p})^{3}$,即$=\frac{q^{3}}{p^{3}}$.
整理,得$q^{3}=2p^{3}$,所以$q$是,
所以设$q=2m$,则$(2m)^{3}=2p^{3}$,即$p^{3}=\_\_\_\_\_\_m^{3}$,
所以$p$也是.
这与假设中的$p,q$是的整数矛盾,所以$\sqrt[3]{2}$不是,是无理数.
(2)求证:$\sqrt{3}$是无理数.
易错知识点:反证法;确定一个圆;三角形的外接圆;三角形的外心;圆的内接三角形
答案
11.(1)有理数 互质 2 偶数 4 偶数 互质 有理数
(2)证明:假设$\sqrt{3}$是一个有理数,那么它可以表示为两个整数的商,
设$\sqrt{3}=\frac{q}{p}$(p,q是互质的正整数),
$\therefore (\frac{q}{p})^2=3,\therefore \frac{q^2}{p^2}=3,\therefore q^2=3p^2$。
$\because q^2$是3的倍数,
∴q也是3的倍数。
设$q=3k$(k是正整数),
$\therefore (3k)^2=3p^2,\therefore p^2=3k^2,\therefore p^2$是3的倍数,
∴p是3的倍数,
∴p和q均为3的倍数,
这与p,q是互质的正整数的假设矛盾。
这个矛盾表明假设“$\sqrt{3}$是一个有理数”不成立,
所以$\sqrt{3}$是无理数。
(2)证明:假设$\sqrt{3}$是一个有理数,那么它可以表示为两个整数的商,
设$\sqrt{3}=\frac{q}{p}$(p,q是互质的正整数),
$\therefore (\frac{q}{p})^2=3,\therefore \frac{q^2}{p^2}=3,\therefore q^2=3p^2$。
$\because q^2$是3的倍数,
∴q也是3的倍数。
设$q=3k$(k是正整数),
$\therefore (3k)^2=3p^2,\therefore p^2=3k^2,\therefore p^2$是3的倍数,
∴p是3的倍数,
∴p和q均为3的倍数,
这与p,q是互质的正整数的假设矛盾。
这个矛盾表明假设“$\sqrt{3}$是一个有理数”不成立,
所以$\sqrt{3}$是无理数。
