一、选择题(本大题共7小题,每小题5分,共35分)
1 [2026河北唐山期末]如图,若$\odot O$的半径为2,圆心O到一条直线的距离为1,则这条直线可能是 ()

A.$l_1$
B.$l_2$
C.$l_3$
D.$l_4$
(第1题图)
(第2题图)

1. B 【解析】$\because$ 圆心O到一条直线的距离为1,$\odot O$的半径为2,$\therefore \odot O$与该直线相交,$\therefore$ 这条直线可能是$l_2$,故选 B.

2[2026浙江台州期末]如图，正八边形ABCDEF-GH内接于$\odot O$，连接CG，HE相交于点Q，则$∠ GQH$的度数为（）

A.$75°$
B.$72°$
C.$67.5°$
D.$62.5°$

2. C 【解析】如图,连接AE.$\because$ 正八边形ABCDEFGH内接于$\odot O$,$\therefore AE,CG$都是$\odot O$的直径,且 $AE ⊥ CG$,$∠ BAH = \frac{(8-2)×180°}{8} = 135°$,$\therefore ∠ EAH=\frac{1}{2}∠ BAH=67.5°$. $\because AE$是$\odot O$的直径,$\therefore ∠ EHA=90°$,$\therefore ∠ AEH+∠ EAH=90°$. $\because AE⊥ CG$,$\therefore ∠ AEH+∠ EQO=90°$,$\therefore ∠ EQO=∠ EAH=67.5°$,$\therefore ∠ GQH = ∠ EQO = 67.5°$,故选 C.

3 新考向传统文化 [2026安徽六安质检]《九章算术》是我国古代数学名著，也是古代东方数学的代表作之一.如图，书中记载了一个问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容圆半径几何？”译文：“今有直角三角形，勾（短直角边）长为5步，股（长直角边）长为12步，问该直角三角形能容纳的圆（内切圆）的半径是多少步？”根据题意，该直角三角形内切圆的半径为（）

A.1步
B.2步
C.3步
D.2.5步

（第3题图）
（第4题图）

3. B 【解析】如图,$∠ C=90°$,$BC=5$,$AC=12$,$\odot O$为$\mathrm{Rt}△ ABC$的内切圆,分别与三边切于D,E,F,连接OD,OE,设$\odot O$的半径为r. $\because AC,BC$与$\odot O$相切,$\therefore CD=CE$,$OD⊥ BC$,$OE⊥ AC$,$\therefore$ 四边形ODCE为正方形,$\therefore CD=CE=OD=r$,$\therefore BD=5-r$,$AE=12-r$. 由切线长定理得 $BD=BF$,$AF=AE$,$\therefore BF=5-r$,$AF=12-r$. 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,由勾股定理得 $AB=\sqrt{5^2+12^2}=13$,$\therefore 5-r+12-r=13$,解得 $r=2$,$\therefore \odot O$的半径为2步. 故选 B.

4[2026江苏南京质检]如图，$\odot O$是$△ ABC$的外接圆，且$BC$为$\odot O$的直径，点$E$为$△ ABC$的内心，$BE$的延长线交$\odot O$于点$F$，连接$CE$，$CF$。若$BC=5$，$CE=\sqrt{10}$，则$AC$的长为（）

A.$3$
B.$4$
C.$5$
D.$2\sqrt{5}$

4. B 【解析】如图,连接OF交AC于点G,作$FH⊥ BC$于点H. $\because$ 点E为$△ ABC$的内心,$\therefore ∠ CBF=∠ ABF=\frac{1}{2}∠ ABC$,$∠ ACE=∠ BCE=\frac{1}{2}∠ ACB$,$\therefore \overset{\frown}{AF} = \overset{\frown}{CF}$,$\therefore OG⊥ AC$,$AG=CG=\frac{1}{2}AC$. $\because BC$为$\odot O$的直径,$\therefore ∠ BFC=90°$. $\because ∠ CEF=∠ CBF+∠ BCE$,$∠ ECF = ∠ ACF + ∠ ACE$,$∠ CBF = ∠ ABF = ∠ ACF$,$\therefore ∠ CEF=∠ ECF$,$\therefore$ 易得 $CF=EF=\sqrt{5}$. 在$\mathrm{Rt}△ BCF$中,由勾股定理得 $BF=\sqrt{BC^2-CF^2}=\sqrt{5^2-(\sqrt{5})^2}=2\sqrt{5}$. $\because S_{△ BCF}=\frac{1}{2} BF· CF = \frac{1}{2} BC · FH$ , $\therefore FH = \frac{BF· CF}{BC} = \frac{2\sqrt{5}×\sqrt{5}}{5} = 2$. $\because S_{△ OCF}=\frac{1}{2} OC · FH = \frac{1}{2} OF · CG$ , $OC=OF$,$\therefore CG=FH=2$,$\therefore AC=2CG=4$,故选 B.

5 如图,在梯形ABCD中,AD//BC,∠B=90°,AD=2,AB=4,BC=6,点O是边BC上一点,以O为圆心,OC长为半径的⊙O,与边AD只有一个公共点,则OC的取值范围是 ()

A.$4＜OC≤\frac{13}{3}$
B.$4≤OC≤\frac{13}{3}$
C.$4＜OC≤\frac{14}{3}$
D.$4≤OC≤\frac{14}{3}$

(第5题图)
(第6题图)

5. B 【解析】如图,作$DE⊥ BC$于E,则 $DE=AB=4$,$BE=AD=2$,$\therefore CE=4=DE$. 当$\odot O$与边AD相切时,切点为D,圆心O与点E重合,即$OC=4$;当$OA=OC$,即点O位于点$O'$处时,$\odot O'$与AD交于点A,设$O'A=O'C=x$,则$O'B=6-x$. 在$\mathrm{Rt}△ ABO'$中,由勾股定理得 $4^2+(6-x)^2=x^2$,解得 $x=\frac{13}{3}$. 综上,以O为圆心,OC长为半径的$\odot O$,与边AD只有一个公共点,则OC的取值范围是$4≤ OC≤\frac{13}{3}$. 故选 B.

6[2025江苏连云港质检]如图,在平面直角坐标系中,$\odot O$是以原点为圆心,4为半径的圆,已知直线$y=kx-2(k+1)$与$\odot O$有两个交点A,B,则弦AB长的最小值为 ()

A.4
B.$4\sqrt{2}$
C.8
D.$2\sqrt{2}$

6. B 【解析】如图,设$\odot O$交x轴的正半轴于点D,交y轴的负半轴于点C,则 $D(4,0)$,$C(0,-4)$,连接CD,则 $CD=4\sqrt{2}$. 过点O作$OE⊥ CD$于点E,则点E为CD的中点,$\therefore E(\frac{0+4}{2}, \frac{-4+0}{2})$,即 $E(2,-2)$. 又$\because$ 直线$y=kx-2(k+1)=(x-2)k-2$经过定点$E(2,-2)$,$OE⊥ CD$,$\therefore$ 当直线AB与直线CD重合时,弦AB的长最小,为$4\sqrt{2}$,故选 B.
关键点拨
得出直线 $y=kx-2(k+1)$ 经过定点 $E(2,-2)$ 是解题的关键.

7[2026湖南长沙期中]如图,已知在平面直角坐标系$xOy$中,$O$为坐标原点,抛物线$y=-\dfrac{5}{16}x^2 + bx$与$x$轴的一个交点为$A(-8,0)$,点$C$是抛物线的顶点,且$\odot C$与$y$轴相切,点$P$为$\odot C$上一动点.若点$D$为$PA$的中点,连接$OD$,则$OD$的最大值是
()


A.$\sqrt{89}$
B.$\dfrac{17}{2}$
C.$\dfrac{15}{2}$
D.$\dfrac{\sqrt{281}}{2}$

7. B 【解析】如图,取点$H(8,0)$,连接PH.$\because$ 抛物线 $y=-\frac{5}{16}x^2 +bx$ 与x轴的一个交点为$A(-8,0)$,$\therefore 0=-\frac{5}{16} ×(-8)^2 + (-8)× b$,解得 $b=-\frac{5}{2}$,$\therefore$ 抛物线解析式为 $y=-\frac{5}{16} x^2 -\frac{5}{2} x$. $\because$ 抛物线 $y=-\frac{5}{16} x^2 -\frac{5}{2} x$ 过原点$(0,0)$与点$A(-8,0)$,$\therefore$ 对称轴为直线$x=\frac{-8+0}{2}=-4$. 当$x=-4$时,$y=-\frac{5}{16} ×(-4)^2 -\frac{5}{2} ×(-4)=5$,$\therefore$ 顶点$C(-4,5)$. $\because \odot C$与y轴相切,$\therefore \odot C$的半径为4. $\because$ 点D为PA的中点,点O为AH的中点,$\therefore OD=\frac{1}{2} PH$,$\therefore$ 当PH最大时,OD最大. $\because$ 当PH过点C时,PH有最大值,$\therefore PH$的最大值为$4+\sqrt{(-4-8)^2+5^2}=4+13=17$,$\therefore OD$的最大值为$\frac{17}{2}$,故选 B.
关键点拨
解题的关键是确定点 B 第一次落在 x 轴上时,点 P 和点 A 的位置,以及明确旋转过程中 $\overset{\frown}{AB}$ 的长度不变.